离散型随机变量及其分布函数ppt课件

1、第二节第二节 离散型随机变量及其分布函数离散型随机变量及其分布函数离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布 常用离散分布常用离散分布 二项分布的泊松近似二项分布的泊松近似 例题选讲：例题选讲：一、离散型随机变量及其概率分布一、离散型随机变量及其概率分布 定义 设离散型随机变量 的一切能够取值为 , 称 为 的概率分布或分布律, 也称概率函数. 常用表格方式来表示 的概率分布: X), 2 , 1(ixi, 2 , 1,ipxXPiiXXninppppxxxX2121二、常用离散分布二、常用离散分布 退化分布退化分布 两点分布两点分布 个点上的均匀个点上的均匀分布分布 二项分布二项分

2、布 几何分布几何分布 超几何分布超几何分布 泊松分布：泊松分布是概率论中最重泊松分布：泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一要的几个分布之一. 实践问题中许多随机实践问题中许多随机景象都服从或近似服从泊松分布景象都服从或近似服从泊松分布. 三、二项分布的泊松近似 定理定理1 (泊松定理泊松定理) 在在 重伯努利实验中重伯努利实验中, 事件事件 在每次实验中发生的概率为在每次实验中发生的概率为 (留意这与实验留意这与实验的次数的次数 有关有关), 假设假设 时时, ( 为常为常数数), 那么对恣意给定的那么对恣意给定的 , 有有 . nAnpnnnnp0kekpnkbknn!),(lim例题选讲

3、：例题选讲： 离散型随机变量及其概率分布 例1 (讲义例1) 某篮球运发动投中篮圈的概率是0.9, 求他两次独立投篮投中次数 的概率分布. 解 可取0, 1, 2为值, 且于是, 的概率分布可表示为XX01. 0) 1 . 0)(1 . 0(0XP18. 0) 1 . 0)(9 . 0(21XP81. 0)9 . 0)(9 . 0(2XP1210XPXPXPX.81. 018. 001. 0210iPX 例例2 设随机变量设随机变量 的概率分布为的概率分布为: . 试确定常数试确定常数 . 解解根据概率分布的性质：根据概率分布的性质： 欲使上述函数为概率分布应有欲使上述函数为概率分布应有 从中

4、解得从中解得 注注: 这里用到了常见的幂级数展开式这里用到了常见的幂级数展开式X0, 2, 1, 0,!kkaKXPka,10kkXPkXP, 0a, 1!0kkaeKa. ea.!0kkKe 两点分布两点分布 例例3 (讲义例讲义例2) 200件产品中件产品中, 有有196件是正品件是正品, 4件是次品件是次品, 今从中随机地抽取一件今从中随机地抽取一件, 假设规定假设规定 那么那么 于是于是, 服从服从参数为参数为0.98的两点分布的两点分布., 0, 1取到次品取到正品X1XP200196,98. 00XP2004.02. 0X 二项分布二项分布 例例4 (讲义例讲义例3) 知知100个

5、产品中有个产品中有5个次品个次品, 现从中有放现从中有放回地取回地取3次次, 每次任取每次任取1个个, 求在所取的求在所取的3个中恰有个中恰有2个个次品的概率次品的概率. 解解由于这是有放回地取由于这是有放回地取3次次, 因此这因此这3次实验的条件次实验的条件完全一样且独立完全一样且独立, 它是伯努利实验它是伯努利实验, 依题意依题意, 每次实验每次实验取到次品的概率为取到次品的概率为0.05. 设设 为所取的为所取的3个中的次品数个中的次品数, 那么那么 于是于是, 所求概率为所求概率为: X),05. 0 , 3( bX.007125. 0)95. 0()05. 0(2223CXP 注注:

6、 假设将本例中的假设将本例中的 “有放回有放回 改为改为 “无放无放回回, 那么各次实验条件就不同了那么各次实验条件就不同了, 已不是伯努已不是伯努利概型利概型, 此时此时, 只能用古典概型求解只能用古典概型求解.00618. 02310025195CCCXP 例例5 (讲义例讲义例4) 某人进展射击某人进展射击, 设每次射击的命设每次射击的命中率为中率为0.02, 独立射击独立射击400次次, 试求至少击中试求至少击中两次的概率两次的概率. 解解 将一次射击看成是一次实验将一次射击看成是一次实验. 设击中的次数设击中的次数为为 , 那么那么 的分布律为的分布律为 于是所求概率为于是所求概率为

7、X).02. 0 ,400( bXX,)98. 0()02. 0(400400 kkkkXP.400, 1 , 0 k1012XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1.9972. 0例例6 设有设有80台同类型设备台同类型设备, 各台任务是相互独立的各台任务是相互独立的,发发生缺点的概率都是生缺点的概率都是0.01, 且一台设备的缺点能由一个且一台设备的缺点能由一个人处置人处置. 思索两种配备维修工人的方法思索两种配备维修工人的方法, 其一是由其一是由4人人维护维护, 每人担任每人担任20台台; 其二是由其二是由3人共同维护人共同维护80台台. 试试比较这两种

8、方法在设备发生缺点时不能及时维修的概比较这两种方法在设备发生缺点时不能及时维修的概率的大小率的大小. 解解按第一种方法按第一种方法. 以以 记记 “第第1人维护的人维护的20台中同一时辰发生缺点的台数台中同一时辰发生缺点的台数, 以以 表示表示 “第人维护的第人维护的20台中发生缺点不能台中发生缺点不能及时维修及时维修, 那么知那么知80台中发生缺点不台中发生缺点不能及时维修的概率为能及时维修的概率为 而而 故有故有 即即X)4 , 3 , 2 , 1( iAii.2)()(14321XPAPAAAAP),01. 0 ,20( bX1012kkXPXPkkkk2010)99. 0()01. 0

9、(201.0169. 0.0169. 0)(4321AAAAP 按第二种方法. 以 记80台中同一时辰发生缺点的台数. 此时 故80台中发生缺点而不能及时维修的概率为 结果阐明, 在后一种情况虽然义务重了(每人平均维护约27台), 但任务效率不仅没有降低, 反而提高了.Y),01. 0 ,80( bY0087. 0)99. 0()01. 0(80148030kkkkYP 例例7 某射手延续向一目的射击某射手延续向一目的射击, 直到命中为止直到命中为止, 知他每知他每发命中的概率是发命中的概率是 , 求所需射击发数求所需射击发数 的概率分布的概率分布. 解解显然显然, 能够取的值是能够取的值是

10、为计算为计算 设设 第第 发命中发命中, 那么那么 可见所求需射击发数的概率分布为可见所求需射击发数的概率分布为pXX, 2 , 1,kXP, 2 , 1kkAk, 2 , 1k,)(11pAPXP,)1 ()(221ppAAPXP,)1 ()(32321ppAAAPXP,)1 (1ppkXPk., 2 , 1k 泊松分布 例8 (讲义例5) 某一城市每天发生火灾的次数X服从参数 的泊松分布, 求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率. 解 由概率的性质, 得8 . 0313XPXP2101XPXPXP! 28 . 0! 18 . 0! 08 . 012108 . 0e.0474. 0 二项

11、分布的泊松近似 例9 (讲义例6) 某公司消费的一种产品300件. 根据历史消费记录知废品率为0.01. 问如今这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少? 解解把每件产品的检验看作一次伯努利实验把每件产品的检验看作一次伯努利实验, 它有两个它有两个结果结果: 正品正品, 废品废品.检验检验300件产品就是作件产品就是作300次独立的伯努利实验次独立的伯努利实验. 用用 表示检验出的废品数表示检验出的废品数, 那么那么 我们要计算我们要计算 对对 有有 于是于是, 得得 查泊松分布表查泊松分布表, 得得AAX),01. 0 ,300( bX.5XP,01. 0,300pn, 3 np6)01

12、. 0 ,300;(5kkbXP50)01. 0 ,300;(1kkb.!31350ekkk.08. 0916082. 015XP 例例10 (讲义例讲义例7) 一家商店采用科学管理一家商店采用科学管理,由该由该商店过去的销售记录知道商店过去的销售记录知道, 某种商品每月的销某种商品每月的销售数可以用参数的泊松分布来描画售数可以用参数的泊松分布来描画, 为了以为了以95%以上的把握保证不脱销以上的把握保证不脱销, 问商店在月底至问商店在月底至少应进某种商品多少件少应进某种商品多少件? 解解 设该商品每月的销售数为设该商品每月的销售数为 知知 服从参数服从参数 的泊松分布的泊松分布. 设商店在月

13、底应进该种商品设商店在月底应进该种商品 件件, 求满足求满足 的最小的的最小的 即即 查泊松分布表查泊松分布表, 得得 于是得于是得 件件.,X,X5m95. 0 mXP,m95. 0!505mkkke,968172. 0!5905kkke931906. 0!5805kkke9m 例例11 自自1875年至年至1955年中的某年中的某63年间年间, 上海市夏季上海市夏季(59月月)共发生大暴雨共发生大暴雨180次次, 试试建立上海市夏季暴雨发生次数的概率分布模型建立上海市夏季暴雨发生次数的概率分布模型. 解解每年夏季共有每年夏季共有 天天, 每次暴雨每次暴雨发生以发生以1天计算天计算, 那么夏季每天发生暴雨的概率那么夏季每天发生暴雨的概率 将暴雨发生看做稀有事件将暴雨发生看做稀有事件, 利用泊松分布来建利用泊松分布来建立上海市一个夏季暴雨发生立上海市一个夏季暴雨发生 次的概率分次的概率分布模型布模型.)303131