2.4z变换的基本性质和定理

1、2021/6/161数数 字字 信信 号号 处处 理理第二章 z变换（2.4）主主 讲：熊美英讲：熊美英 E-mail： 九江学院电子工程学院九江学院电子工程学院2021/6/162第二章 z变换n2.1 引言n2.2 z变换的定义及收敛域n2.3 z反变换n2.4 z变换的基本性质和定理n2.5 z变换与拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系 n2.6 序列的傅里叶变换n2.7 傅里叶变换的一些对称性质n2.8 离散系统的系统函数及频率响应2021/6/163回顾：2.3 z反变换求z反变换的方法： 1、围线积分法（留数法）； 2、部分分式展开法； 3、长除法。2021/6/164n1、围线积分法（

2、留数法）mzznkzznmkzzXnxzzXnx)()(Res)()()(Res)(11围线外的极点或利用围线内的极点 注意：应用第二式计算时，要求 的分母多项式中z的阶次比分子多项式z的阶数高二阶或以上。1)(nzzX2021/6/165n2、部分分式展开法)(.)()()()()(21zXzXzXzAzBzXK分解然后各部分查表作z反变换，再相加。)(.)()()(.)()()()(21121111nxnxnxzXzzXzzXzzXznxKK2021/6/166 部分分式的系数Ak，Ck分别为（留数定理求出）： rNkzzXzzXzzzXzzAkkkzzzzkzz-kk,.,2 , 1,)

3、(Res)()()()1 (1rkzzxzzdzdkrCizzkrikrkrk2 , 1,)()()!(12021/6/167n3、长除法 将X(z）分解成简单分式和的形式，每部分对应一个因果序列或一个反因果序列。 对因果序列，分子、分母多项式按降幂排列相除； 对反因果序列，分子、分母多项式按升幂排列相除。2021/6/1682.4 z变换的基本性质和定理1、线性2、序列的移位3、乘以指数序列（z域尺度变换）4、序列的线性加权（z域求导数）5、共轭序列 6、翻褶序列7、初值定理 8、终值定理9、有限项累加特性10、序列的卷积和（时域卷积和定理）11、序列相乘 12、帕赛瓦定理2021/6/16

4、91、线性 如果 则有：yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ, )()(, )()()()(nbynaxZ序列线性组合的z变换等于z变换的线性组合。 收敛域为两者重叠部分，如果在z变换的线性组合中，存在零极点相消，则收敛域可能扩大。),()(zbYzaX),min(),max(yxyxRRzRR2021/6/1610例2-10：已知 ,求其z变换。)()cos()(0nunnx解：azaznuaZn,11)(1)(21)()cos(000nueenunnjnj1,11)(0001jjnjezzenueZ2021/6/16111cos1cos1111121)()cos(2010111000z

5、zzzzezenunZjj，1,11)(0001jjnjezzenueZ2021/6/1612 收敛域为两者重叠部分，如果在z变换的线性组合中，存在零极点相消，则收敛域可能扩大。 参见例2-11： （见性质2）2021/6/16132、序列的移位 如果 则有： 证明：根据z变换的定义证明xxRzRzXnxZ, )()(xxmRzRzXzmnxZ;)()(nkmkmnzXzzkxzzmnxmnxZ)()()()(移位后的序列z变换等于原序列z变换mz收敛域规律？2021/6/1614例2-11 ： 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。解：0,111)(1,11)3(1,1)(2222

6、3zzzzzzzznxZzzzzzznuZzzznuZ2021/6/16153、乘以指数序列（z域尺度变换） 如果 则有：xxRzRzXnxZ, )()(xxnRazRaazXnxaZ;)()(证明：根据z变换的定义证明xxxxnnnnnnRazRaRazRazXaznxznxanxaZ即;)()()()(2021/6/16164、序列的线性加权（z域求导数） 如果 则有： 证明： （见下页，怎样证明？）xxRzRzXnxZ, )()(xxRzRzXdzdznnxZ, )()(从右至左证明。2021/6/1617dzzdXznnxZznnxzznnxzdzdnxznxdzddzzdXznxzX

7、nnnnnnnnnn)()()()()()()()(,)()(11即，对其两端求导得2021/6/16185、共轭序列 如果 则有： 证明：xxRzRzXnxZ, )()(的共轭序列。为其中，)()(;)()(*nxnxRzRzXnxZxx;)()()()()(*xxnnnnnnRzRzXznxznxznxnxZ，2021/6/16196、翻褶序列 如果 则有： 证明： （见下页）xxRzRzXnxZ, )()(xxRzRzXnxZ11;)1()(2021/6/1620证明：nnznxnxZ)()(xxxxnnRzRRzRzXznx11)1()(11即，nnznx)(2021/6/16217、

8、初值定理 证明： （怎样证明？）。，则对于因果序列)(lim)0()(zXxnxz210) 2 () 1 () 0 ()()()()(zxzxxznxznunxzXnnnn)0()(limxzXz显然：2021/6/16228、终值定理 则有处有一阶极点），最多在在单位圆内（单位圆上的极点，且对于因果序列1)()()(znxZzXnx11)(Res)()1(lim)(limzznzXzXznx证明： （见下页，怎样证明？）处的极限。，然后取构造1z)()1(zXz 2021/6/1623（接下页）为因果序列利用nmmnnnnxnnnnzmxmxznxnxznxznxzXz11)()() 1(l

9、im)() 1()() 1()() 1(证明：2021/6/1624 又由于只允许X(z)在z=1处可能有一阶极点，故因子(z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z1的极限。)(lim)() 1(lim)(lim)1(lim)() 1()0 () 1 ( 0) 0 (lim1 )() 1(limlim)() 1(lim1111nxzXznxnxnxnxxxxzmxmxzXznznnnnmmnzz2021/6/16259、有限项累加特性 证明： （见下页）nmxxRzzXzzmxZRznxZzXnx0 1 ,max),(1)(,),()()(则，且对于因果序列2021/

10、6/1626证明：，交换求和次序，得的取值范围分别为可知，则令, 0, 0,)()()()()(0000nmnmnzmxmxZnyZmxnynnmnnmnm 2021/6/1627 1 ,max),(1)(1111)()1 ()()()(0011021000 xmmmmmmmmnnnnnmRzzXzzzmxzzzmxzzzmxzmxzmx2021/6/162810、序列的卷积和（时域卷积和定理）,min,max)()()()(,)()(,)()()()()()()(hxhxnnxxmRRzRRzHzXnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXmnhmxnhnxny则有：，而且如果2021/6/

11、1629证明：nnmnnmnnzmnhmxzmnhmxznhnxnhnxZ)( )()()()()()()(2021/6/1630 ,min,max)()()()()( )()( )(hxhxmmlmlmnnmRRzRRzHzXzHzmxzzlhmxzmnhmx，2021/6/1631 例2-12：解：.),()()(),1()()(),()(1abnhnxnynuabnubnhnuanxnnn求已知;,)()(;,)()(1bzbzazbzabzzbzzazbzznhZzHazazznxZzX先求X(z)、H(z)，然后相乘，再作反变换。2021/6/1632)()()()()(.)()()

12、()()()(1nubzYZnhnxnybzzYzHzXbzzbzazazzzHzXzYn的收敛域扩大，为的零点相消，的极点与2021/6/163311、序列相乘（z域复卷积定理）nxnxcchhxxRRzRRdvvvzHvXjdvvvHvzXjnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXnhnxny;)()(21)()(21)()(),()(;),()(),()()(11或则有：，且如果 其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）2021/6/1634例2-13：解：见下页。).()()(),1()(),()(1nhnxZzYnubn

13、hnuanxnn求已知2021/6/1635解：;,)(211121)()()(;,1)()(;,)()(ccabzdvbvzavvjdvvbvzavvjnhnxZzYbzbznhZzHazazznxZzX2021/6/1636 ，用留数可得：内只有一个极点因此围线重叠部分为，即为的收敛域，而的收敛域为avcbzvabzvbvzvzHavvX;)()(2021/6/1637 .,)(Res)(21)(abzabzabvzvbvzavvdvbvzavvjzYavavc2021/6/1638 12、帕赛瓦定理.1;,)()(;,)()(hxhxhhxxRRRRRzRnhZzHRzRnxZzX且dH

14、Xjnhnxcn1*)1()(21)()( 其中“*”表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 （证明从略）2021/6/1639*几点说明：。为实序列时，则当dHXjnhnxnhcn1*)1()(21)()()(.1。则时，当围线取单位圆deHeXnhnxevvvjjnj)()(21)()(,/11. 22021/6/1640理）。这就是帕塞瓦公式（定求得的能量是相等的。和在频域中用频谱密度的能量，这表明在时域中求序列。时，则当)()(21)()()(. 322jXdjXnxnxnhn2021/6/1641回顾：2.4 z变换的基本性质和定理1、线性2、序列的移位3、乘以指数序列（z域尺度

15、变换）4、序列的线性加权（z域求导数）5、共轭序列 6、翻褶序列7、初值定理 8、终值定理9、有限项累加特性10、序列的卷积和（时域卷积和定理）11、序列相乘 12、帕赛瓦定理2021/6/1642序列Z变换收敛域说明两者交集线性性质不变移位性质上下限放大|a|乘以指数序列)(nx)(zXxxRzR)(nh)(zHhhRzR)()(nbynax)()(zbYzaX)(zXzm)(mnx)(nxan)(azX2021/6/1643序列Z变换收敛域说明不变线性加权不变共轭上下限分别倒数翻褶不变实部z变换不变j倍虚部z变换)(nnx)(zXdzdz)(*nx)(*zX)( nx )1 ( zX)(Renx)()( 5 . 0*zXzX)(Imnxj)()( 5 . 0*zXzX2021/6/1644序列Z变换收敛域说明有限项累加特性两者交集序列的卷积和上下限对应相乘序列相乘x(n)为因果序列初值定理且X(z)的极点落在单位圆内部，最多在z=1处有一极点终值定理)(1zX