正弦定理课堂设计

1、A B正弦定理教学课例一、教学目标1、知识与技能:通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索,掌握正弦 定理的内容及其证明方法。2、 过程与方法:让学生从已有的知识出发 , 共同探究在任意三角形中,边与 其对角的关系,引导学生通过观察、归纳、猜想、证明,由特殊到一般得到正弦 定理等方法,体验数学发现和创造的历程。3、情感态度与价值观:在平等的教学氛围中,通过学生之间、师生之间的 交流、合作和评价,实现共同探究、教学相长的教学情境,激发学生对数学的学 习兴趣。二、教学重点与难点重点:正弦定理的发现和推导 难点:正弦定理的推导三、教学过程1、创设情境教师:展示情景图如图 1, 船从港口 B 航行到港

2、口 C , 测得 BC 的距离为 600m , 船在港口 C 卸货后继续向港口 A 航行,由于船员的疏忽没有测得 CA 距离,如果 船上有测角仪我们能否计算出 A 、 B 的距离? 学生:思考提出测量角 A , 老 师 :若 已 知 测 得 75BAC =, 45ACB =,要计算 A 、 B 两地距离,你 有办法解决吗?学生:思考交流,画一个三角形 A B C , 使得 B C 为 6cm , 75B A C =,45A C B = ,量得 A B 距离约为 4.9cm ,利 用 三 角 形 相 似 性 质 可 知 AB 约 490m 。 (图 1老师:对,很好,在初中,我们学过相似三角形,

3、也学过解直角三角形,大 家还记得吗?师生:共同回忆解直角三角形,直角三角形中,已知两边,可以求第三边 及两个角。直角三角形中,已知一边和一角,可以求另两边及第三个角。 。 教师:引导, ABC 是斜三角形, 能否利用解直角三角形,精确计算 AB 呢? 学生:思考,交流,得出过 B 作 BD AC 于 D 如图 2,把 ABC 分为两个直 角三角形,解题过程,学生阐述,教师板书。解:过 B 作 BD AC 于 D在 Rt BCD 中, sin BDACB BC= sin 6002BD BC ACB = (图 2D CA在 Rt ABD 中, sin BDBAC AB=1 sin BD AB m

4、BAC = 教师:表示对学生赞赏,那么刚才解决问题的过程中,若 AC b =, AB c =, 能否用 B 、 b 、 C 表示 c 呢?教师:引导学生再观察刚才解题过程。学生:发现 sin BD C a =, sin BDA c=sin sin BD a C c A =sin sin a Cc A=教师:引导 ,在刚才的推理过程中,你能想到什么?你能发现什么?学生:发现即然有 sin sin a C c A =,那么也有 sin sin b C c B =, sin sin b Aa B=。教师:引导 sin sin b C c B =, sin sin a C c A =, sin sin

5、 b Aa B=,我们习惯写成对称形式sin sin c b C B =, sin sin c a C A =, sin sin a bA B =, 因 此 我 们 可 以 发 现 s i n s i n a b A B =s i ncC =,是否任意三角形都有这种边角关系呢? 反思:在实际情境下进行学习,可以使学生利用已有知识与经验“同化” 和 “索引” 当前要学习的新知识。 这里, 通过从学生日常生活中的实际问题引入, 激发学生思维和求知欲, 引导学生转化为解直角三角形的问题, 同时激活了学生 学习“正弦定理”的兴趣,又引发了学生记忆中的“解直角三角形” 。在解决问 题后, 对特殊问题一般

6、化, 得出一个猜测性的结论猜想, 培养学生从特殊到 一般思想意识和创造性思维能力。 在教学过程中, 也让学生充分感受到了解决问 题的快乐,激发了学生学习数学的兴趣。2、验证猜想教师:指明方向,先通过特殊例子检验 sin sin a b A B =sin cC=是否成立。分 小组合作讨论,举出特例:(1 在 ABC 中, A , B , C 分别为 60, 60, 60, 考察 A a sin Bbsin ,Ccsin 的关系。 (2 在 ABC 中, A , B , C 分别为 45, 45, 90, 考察 A a sin Bbsin ,Ccsin 的关系。(3 在 ABC 中, A , B

7、, C 分别为 30, 60, 90, 考察A a sin Bbsin , Ccsin 的关系。 BBC(图 3学生通过验证,得到的结论是:上述三角形均满足sin sin a b A B =sin cC=。 教师:对于任意的 Rt ABC 呢?学生:思考交流得出,如图 4,在 Rt ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c,有 =sin a A , =sin b B ,又 sin 1c C =, 则 sin sin sin a b c c A B C= 从而在直角三角形 ABC 中, sin sin sin a b cA B C =教师:那么任意三角形是否有 sin sin sin a b

8、 cA B C=呢?学生按事先安排分 组,对任意三角形做实验探究,让学生展示实验报告。质疑提问:有什么不明白 的地方或者有什么问题吗? (如果学生没有问题, 教师让学生动手计算, 填写实 验报告。 学生:分组互动,每组画一个三角形,度量出三边和三个角度数值,通过实验数据计算,比较 sin a A 、 sin b B 、 sin cC的近似值。教师:借助多媒体演示随着三角形任意变换, sin a A 、 sin b B 、 sin cC值仍然保持相等。我们猜想:A a sin =B b sin =Ccsin反思:让学生体验数学实验, 激起学生的好奇心和求知欲望。 学生自己进行 实验, 体会到数学

9、实验的归纳和演绎推理的两个侧面。 通过小组交流, 提供一定 的研究学习与情感交流的时空, 培养学生合作学习的能力, 也激发了学生学习的 兴趣。 最后通过展示研究结论, 强化学生学习的动机, 增进学生的成功感及学习 信心。3、证明猜想教师:虽然经历了数学实验,多媒体技术支持,对任意的三角形,如何用数Ba A C cb (图 4学的思想方法证明sin sin sin a b cA B C=呢?前面探索过程对我们有没有启发? 学生分组讨论,每组派一个代表总结。 (以下证明过程,根据学生回答情况进行 叙述在 Rt ABC 中,成立,如前面检验。在锐角三角形中,如图 5设 BC a =, CA b =,

10、 AB c = 作:AD BC ,垂足为 D在 Rt ABD 中, sin ADB AB=sin sin AD AB B c B = 在 Rt ADC 中, sin ADC AC=sin sin AD AC C b C = sin sin c B b C =sin sin c b C B= 同理,在 ABC 中, sin sin a cA C=sin sin sin a b c A B C= 在钝角三角形中,如图 6设 C 为钝角, BC a =, CA b =, AB c = 作 AD BC 交 BC 的延长线于 D在 Rt ADB 中, sin AD B AB= sin sin AD AB

11、 B c B =在 Rt ADC 中, sin ADACD AC=sin sin AD AC ACD b ACB = sin sin c B b ACB =sin sin c bACB B= 同锐角三角形证明可知 sin sin a cA C= sin sin sin a b cA B ACB= 教师:我们把这条性质称为正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等,即A a sin =B b sin =Ccsin 反思:经历证明猜想的过程,进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证 猜想, 力图让学生体验数学的学习过程。 且在整个过程中, 始终让学生成为正弦 定理的“发现者”和“创造

12、者” ,使他们经历了知识形成的过程,感受到创新的 快乐,激发学生学习数学的兴趣。A B CD (图 6 AB C D (图 54、应用定理(1教师:现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。 学生:马上得出在 ABC 中,由正弦定理得:sin sin c aC A=,所以sin 600sin 451 sin sin 75a C c m A = 反思:利用正弦定理,重新解决引例,让学生体会用新的知识,新的定理, 解决问题更方便, 更简单, 激发学生不断探索新知识的欲望, 也体现了数学在现 实生活中的应用价值,说明正弦定理源于现实生活,并在现实生活中广泛应用, 有利于培养学生学习数学的兴趣。(2例

13、题分析教师:引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。 学生:讨论正弦定理可以解决的问题类型:如果已知三角形的任意两个角与一边,求三角形的另一角和另两边,如 sin sin b A a B=;如果已知三角形任意两边与其中一边的对角,求另一边与另两角,如sin sin aA B b=。例 1的处理,先让学生思考回答解题思路,教师板书,让学生思考主要是 突出主体,教师板书的目的是规范解题步骤。例 1:在 ABC 中,已知 30A =, 45B =, 6a cm =,解三角形。分析“已知三角形中两角及一边,求其他元素” ,第一步可由三角 形内角和为 180求出第三个角 C ,再由正弦定理求其

14、他两边。例 2:在 ABC 中,已知 a =b =45A =,解三角形。 例 2的处理, 目的是让学生掌握分类讨论的数学思想, 可先让学生讲解解题 思路,其他同学补充交流。反思:通过例题分析,让学生深入了解解三角形概念,形成知识的完整性, 并利用新知识解决实际问题,强化了数学知识的应用性。同时,在例题分析中, 让学生自行解决问题, 提高学生学习的热情和动力, 使学生体验到成功的愉悦感。5、小结教师:提示引导学生总结本节课的主要内容。 学生:思考交流,归纳总结。师生:让学生尝试小结,教师及时补充:(1正弦定理的内容(2sin sin sin a b cR A B C=及其证明思想方法。 (2正弦定理的应用范围:已知三角形中两角及一边,求其他元素; 已知三角形中两边和其中一边所对的角,求其他元素。 (3分类讨论的数学思想。反思:通过学生的总结,培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。 6、作业设计作业：第 10 页习题 1.1A 组第 1、2 题。 教学反思：数学源于现实并应用于现实生活，本课从学生日常生活中的实际 问题引入，激发学生学习