数学：2.3《数学归纳法》课件新完整版

1、问题问题1：有一台晚会，若知道晚会的第一个：有一台晚会，若知道晚会的第一个节目是唱歌，第二个节目是唱歌、第三个节节目是唱歌，第二个节目是唱歌、第三个节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题问题2：有一台晚会，若知道唱歌的节目后面：有一台晚会，若知道唱歌的节目后面一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题问题3：有一台晚会，若知道第一个节目是：有一台晚会，若知道第一个节目是唱歌，如果一个节目是唱歌则它后面的节目唱歌，如果一个节目是唱歌则它后面的节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌

2、？一、设置情景，导学探究：一、设置情景，导学探究：思考思考2 2：有若干块骨牌竖直摆放，若将它有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么办法？一般地，多们全部推倒，有什么办法？一般地，多米诺骨牌游戏的原理是什么？米诺骨牌游戏的原理是什么？（1 1）推倒第一块骨牌；）推倒第一块骨牌； （2 2）前一块骨牌倒下时）前一块骨牌倒下时能碰倒后一块骨牌能碰倒后一块骨牌. .多米诺骨牌课件演示多米诺骨牌课件演示 如何保证骨牌一一倒下？需要哪些条件？如何保证骨牌一一倒下？需要哪些条件？（2）任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则）任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则必须保证下一块要相继倒下。必须保证下一块

3、要相继倒下。（1）第一块骨牌倒下）第一块骨牌倒下-递推关系；递推关系；即第即第k块倒下，则相邻的第块倒下，则相邻的第k+1块也倒下块也倒下-奠基；奠基；思考思考3 3：某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某家族所有男人世代都姓王的条件是什某家族所有男人世代都姓王的条件是什么？么？ （1 1）始祖姓王；）始祖姓王； （2 2）子随父姓）子随父姓. . （第（第1 1代姓王）代姓王）（如果第（如果第k k代姓代姓T T，则第，则第k+1k+1代也姓代也姓T T）思考思考4 4：已知数列已知数列aan n 满足满足: : （nnN*），那么该数列），那么该数列的各项能确定吗？

4、上述递推关系只说明的各项能确定吗？上述递推关系只说明什么问题？若确定数列中的每一项，还什么问题？若确定数列中的每一项，还需增加什么条件？需增加什么条件？ 11nnnaaa+=+由第由第k k项可推出第项可推出第k k1 1项项. . 给出第给出第1 1项；项；（1 1）（2 2）思考思考5 5：上述证明方法叫做上述证明方法叫做数学归纳法数学归纳法，一般地，用数学归纳法证明一个与正整一般地，用数学归纳法证明一个与正整数数n n有关的命题，其证明步骤如何？有关的命题，其证明步骤如何？（1 1）证明当）证明当n n取第一个值取第一个值n n0 0(n(n0 0NN*) )时时命题成立；命题成立；（2

5、 2）假设当）假设当n nk(knk(kn0 0，kNkN*) )时命题时命题成立，证明当成立，证明当n nk k1 1时命题也成立时命题也成立. . 思考思考6 6：数学归纳法由两个步骤组成，其数学归纳法由两个步骤组成，其中第一步是中第一步是归纳奠基归纳奠基，第二步是，第二步是归纳递归纳递推推，完成这两个步骤的证明，实质上解，完成这两个步骤的证明，实质上解决了什么问题？决了什么问题？逐一验证命题对从逐一验证命题对从n n0 0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立都成立. .证明：证明：1、当、当n=1时时,左左=12=1，右，右=n=1时，等式成立时，等式成立2、假设、假设n=k时，

6、等式成立，即时，等式成立，即那么，当那么，当n=k+1时时左左=12+22+k2+(k+1)2=右右n=k+1时，原不等式成立时，原不等式成立由由1、2知当知当n N*时，原不等式都成立时，原不等式都成立16)12)(11(1 2)1(6)12)(1( kkkk6)32)(2)(1(6)1(6)12)(1(2 kkkkkkk6)12)(1(3212222 kkkk6)12)(1(3212222 nnnn例例1、用数学归纳法证明：、用数学归纳法证明： 练习：用数学归纳法证明 1212121751531311nnnn证明：(1) n=1时，左边= 311那么,(2) 假设n=k（kN*)时等式成立

7、，即 右边=1121等式成立。1212121751531311kkkk3212112121751531311kkkk3212112kkkk321kk即当n=k+1时等式也成立。根据（1）和（2），可知等式对任何nN* 都成立。这就是说当这就是说当 时等式成立，时等式成立，所以所以 时等式成立时等式成立.1 kn*Nn224621nnn思考思考1：下列推证是否正确，并指出原因下列推证是否正确，并指出原因.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：kn 证明：假设证明：假设 时，等式成立，时，等式成立，126422kkk就是就是122642kk1212kkk2111kk那么那么1)1(1321211nn

8、nn思考思考2：下面是某同学用数学归纳法证明命题下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程的过程.你认为他的证法正确吗你认为他的证法正确吗?为什么为什么?21211211111) 1(1321211kkkk(1)当当n=1时时,左边左边=,右边右边=(2)假设假设n=k(kN*)时命题成立时命题成立，那么那么n=k+1时时,即即n=k+1时时,命题也成立命题也成立.由由(1)(2)知知,对一切自然数对一切自然数,命题均正确命题均正确. 1)1(1211)2111()3121()211( kkkkk=右边右边,左边左边思考思考3：下列证法对吗？下列证法对吗？用数学归纳法证（用数学归纳法证（nNnN+

9、 +):):1+2+3+1+2+3+ 2n = n(2n+1 )+ 2n = n(2n+1 )证明：证明：1)左边左边=1= 2) 2)假设假设n=kn=k时等式成立时等式成立, ,即即: :1+2+3+1+2+3+ 2k = k(2k+1).+ 2k = k(2k+1).1+2+3+1+2+3+ 2k +2(k+1) + 2k +2(k+1) = k( 2k+1)+2(k+1)= = k( 2k+1)+2(k+1)=那么那么，n = k+1 n = k+1 时时，1+2+3+1+2+3+ 2k = k(2k+1).+ 2k = k(2k+1).1+2+3+1+2+3+ 2k+ 2k+(2k+

10、1)+ 2(k+1)(2k+1)+ 2(k+1)= k(2k+1)+= k(2k+1)+(2k+1)+ 2(k+1)(2k+1)+ 2(k+1)= =那么那么，n = k+1 n = k+1 时时，证明：证明：1)左边左边=1+2=3=右边右边 2)2)假设假设n=kn=k时等式成立时等式成立, ,即即: :(2)在第二步中在第二步中,证明证明n=k+1命题成立时命题成立时,必须用到必须用到n=k命题成立这一归纳假设命题成立这一归纳假设,否则就打破数学否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无造成推理无效效.证明中的几个注意问题：证明中的几个注意问题：(

11、1)在第一步中的初始值在第一步中的初始值不一定从不一定从1取起取起，证明时，证明时应根据具体情况而定应根据具体情况而定.(3)在证明在证明n=k+1命题成立用到命题成立用到n=k命题成立时命题成立时,要要分析命题的结构特点分析命题的结构特点,分析分析“n=k+1时时”命题是命题是什什么，并找出与么，并找出与“n=k”时命题形式的差别时命题形式的差别.弄清弄清应增加的项应增加的项. 例例2 2 已知数列：已知数列：试猜想其前试猜想其前n n项和项和S Sn n的表达式，并数学归的表达式，并数学归纳法证明纳法证明. .1111,14 47 710(32)(31)nn创+LL31nnSn=+小结作业

12、小结作业 1.1.数学归纳法的实质是建立一个无穷数学归纳法的实质是建立一个无穷递推机制，从而间接地验证了命题对从递推机制，从而间接地验证了命题对从n0n0开始的所有正整数开始的所有正整数n n都成立，它能证明都成立，它能证明许多与正整数有关的命题，但与正整数许多与正整数有关的命题，但与正整数有关的命题不一定要用数学归纳法证明，有关的命题不一定要用数学归纳法证明，有些命题用数学归纳法也难以证明有些命题用数学归纳法也难以证明. .数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当证明当 取第一个值取第一个值 （如（如 或或2等）时结论正确；等）时结

13、论正确；10 nn0n（2）假设时假设时 结论正确，证明结论正确，证明 时结论也正确时结论也正确)N(0nkkkn 且且1 kn递推基础递推基础递推依据递推依据“找准起点，奠基要稳找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真用上假设，递推才真”注注意：意：1、一定要用到归纳假设；、一定要用到归纳假设；2、看清从、看清从k到到k1中间的变化。中间的变化。 2. 2.归纳推理能发现结论，数学归纳归纳推理能发现结论，数学归纳法能证明结论，二者强强联合，优势互法能证明结论，二者强强联合，优势互补，在解决与正整数有关的问题时，具补，在解决与正整数有关的问题时，具有强大的功能作用有强大的功能作用. .但在数学

14、归纳法的实但在数学归纳法的实施过程中，还有许多细节有待进一步明施过程中，还有许多细节有待进一步明确和认识确和认识. .(1)在第一步中的初始值不一定从在第一步中的初始值不一定从1取起，证明取起，证明时应根据具体情况而定时应根据具体情况而定.练习练习1:欲用数学归纳法证明欲用数学归纳法证明2nn2,试问试问n的第的第一个取值应是多少一个取值应是多少?答答:对对n=1,2,3,逐一尝试逐一尝试,可知初始值为可知初始值为n=5.证明中需要注意的问题证明中需要注意的问题练习练习2:用数学归纳法证明用数学归纳法证明3nn2.此题在第二步的证明过程中在假设此题在第二步的证明过程中在假设n=k时时,3kk2

15、成立成立的基础上的基础上,当当n=k+1时时, 要说明此式大于零要说明此式大于零,则必须则必须k2.故故在证明的第一步中在证明的第一步中,初始值应取初始值应取1和和2两个值两个值.2) 1() 12(3) 12(33) 1(32222221kkkkkkkkkk(2)在第二步中在第二步中,证明证明n=k+1命题成立时命题成立时,必须用到必须用到n=k命题成立这一归纳假设命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑递推关系间的逻辑递推关系,造成推理无效造成推理无效. 练习练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程的过程.你认为

16、他的证法正确吗你认为他的证法正确吗?为什么为什么(1).当当n=1时时,左边左边=,右边右边=(2).假设假设n=k时命题成立时命题成立即即那么那么n=k+1时时,左边左边=右边右边,即即n=k+1时时,命题也成立命题也成立.由由(1)(2)知知,对一切自然数对一切自然数,命题均正确命题均正确. 212111)1(1321211nnnn211111)1(211)2111()3121()211 (kkkkk1111 22 3(1)1kkkk(3)在证明在证明n=k+1命题成立用到命题成立用到n=k命题成立时命题成立时,要要分析命题的结构特点分析命题的结构特点,分析分析“n=k+1时时”命题是什命

17、题是什么，并找出与么，并找出与“n=k”时命题形式的差别时命题形式的差别.弄清应弄清应增加的项增加的项.学案学案P74例题例题11 1. .已知已知: ,: ,则则 等于等于( )( ) A: B: A: B: C: D: C: D: 131.2111)( nnnnf) 1( kf1) 1( 31)( Kkf231)( Kkf11431331231)( KKKKkf11431)( KKkfC练习：练习：2.学案学案P74A2.重点：两个步骤、一个结论；重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。结论写明莫忘掉。)2)(1

18、(6112) 1()2(3) 1(21 nnnnnnnn)(kf12) 1()2(3) 1(21 kkkkk) 1( kf)(kf分析分析: :找到找到“递推关系递推关系”就等于把握住解决问题的就等于把握住解决问题的“灵魂灵魂”。有几项？有几项？ 是什么是什么, ,它比它比多出了多少，是首要问题。多出了多少，是首要问题。例例3对于对于nN*用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：事实上f(k+1)不但比f（k）多一项，而且前k项中每一项分别比f（k）中多了1,2,3,4k f(k+1)=f(k)+1+2+3+k证明：设f(n)=(1)当n1时，左边1，右边1，等式成立12) 1()2(3) 1(2

19、1 nnnnn (2)设当设当nk,时等式成立，即时等式成立，即) 2)(1(61)(kkkkf则则n=k+1时，时，f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+(k+1)-23+(k+1)-12+(k+1)=f(k)+1+2+3+k+(k+1)3)(2)(1(61)11)(1(21)2)(1(61kkkkkkkk由（由（1）（）（2）可知）可知当当nN*时等式都成立。时等式都成立。归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论； 数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般