信号与系统第二章

1、第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 连续时间系统一般是采用连续时间系统一般是采用高阶微分方程高阶微分方程进行描述。进行描述。时域分析：时域分析：指对系统的分析与计算全部指对系统的分析与计算全部在时间变量领域内在时间变量领域内 进行，不通过任何变换。进行，不通过任何变换。 经典分析：经典分析：求解系统模型（微分方程）求解系统模型（微分方程） 卷积分析：卷积分析：利用单位冲激响应求得利用单位冲激响应求得零状态响应零状态响应两种方式两种方式输入输入- -输出法（端口描述法）输出法（端口描述法）2.2 2.2 系统数学模型（微分方程）的建立系统数学模型（微分方程）的建立 元件约

2、束特性：元件约束特性：表征元件特性的关系式。表征元件特性的关系式。 网络拓扑约束：网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系，由网络结构决定的电压电流约束关系， 即即KVLKVL或或KCLKCL。电感电感电阻电阻 tvRtiR1 d1tLvLti电容电容 ttvCtiCdd根据根据KCLKCL titititiCLRS将元件关系代入，并化简将元件关系代入，并化简 ttitvLttvRttvCdd1dd1dds22二阶微分方程二阶微分方程例例2-2-1 2-2-1 求并联电路的端电压求并联电路的端电压 与激励与激励 间的关系。间的关系。 tv tis解：以解：以 作变量，各元件的电压电流关系

3、为：作变量，各元件的电压电流关系为： tv tisRRiLLiCciab tv)(tiR)(tiL)(tiC 不同性质的系统可能具有相同的数学模型不同性质的系统可能具有相同的数学模型。 对于复杂系统，可以用高阶微分方程描述。对于复杂系统，可以用高阶微分方程描述。 机械位移系统机械位移系统 ttFtkvttvfttvmddddddS22msFfk二阶微分方程二阶微分方程 与刚体运动速度与刚体运动速度 间的关系可由推导得到：间的关系可由推导得到： tFS tv)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmm

4、mmmmnnnnnn 若线性系统的若线性系统的激励信号为激励信号为 ，响应为，响应为 ，其数学模，其数学模型可用如下高阶微分方程来描述：型可用如下高阶微分方程来描述：)(te)(tr 若系统若系统为时不变的，则为时不变的，则C、E均为常数均为常数，此方程为，此方程为常常系数的系数的n阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。2.3 2.3 用时域经典法求解微分方程用时域经典法求解微分方程0)(d)(dd)(dd)(d11110trCttrCttrCttrCnnnnnn令令 ，代入上式。由于，代入上式。由于 ，且对任意时间，且对任意时间t均均成立，因此有：成立，因此有：tAetr)(0nC 齐次解齐次

5、解是齐次微分方程的解，是齐次微分方程的解，是形式为是形式为 的一些指的一些指数函数的线性组合。数函数的线性组合。tAe01110nnnnCCCC特征方程特征方程 对应的对应的n个根个根 为微分方程的为微分方程的特征根。特征根。n,21 一、齐次解一、齐次解 若若n个特征根各不相同，则微分方程的齐次解：个特征根各不相同，则微分方程的齐次解：tntthneAeAeAtr 2121)(nitiieA1 由初始条件决定。由初始条件决定。nAAA ,21 若若有重根，如有重根，如 为为 阶重根阶重根，则相应于，则相应于 的重根部分的重根部分将有将有 项：项：1k1ktkiikitkkkketBeBtBt

6、BtB11112211)( 特征方程特征方程 求出特征根求出特征根 齐次解齐次解01216723 0322 3 , 221 重重根根 tthAAtAtr33221ee特征根特征根齐次解齐次解 的的齐齐次次解解。求求微微分分方方程程tetrtrttrttrt 12dd16dd7dd2233例例2-32-3：解：解：系统的特征方程系统的特征方程二、特解二、特解 特解的函数形式与激励函数形式有关。将激励特解的函数形式与激励函数形式有关。将激励 代入微分方程的右端，化简后右端的表达式称为代入微分方程的右端，化简后右端的表达式称为“自由自由项项”。根据自由项的形式可设定特解的函数表达式根据自由项的形式可

7、设定特解的函数表达式，之后，之后代入方程中，求出特解中的待定系数。代入方程中，求出特解中的待定系数。 )(te激励函数激励函数 e(t)响应函数响应函数r(t)的特解的特解)(常常数数E)(常常数数Bpt1121ppppBtBtBtBtetBetcostsintBtBsincos21tttpsinetttpcosetDtDtDtDtBtBtBtBtpppptppppsinecose11211121 与几种典型激励函数对应的特解形式与几种典型激励函数对应的特解形式 tettetrttrttrdd3dd2dd22已知：已知： 分别求方程的特解。分别求方程的特解。 ,e 2 ; 12ttette例例

8、2-42-4 给定微分方程给定微分方程 3221pBtBtBtr为使等式两端为使等式两端 ,2 , 122tttte 得得到到代代入入方方程程右右端端将将平衡，特解表达式为：平衡，特解表达式为： 代入方程代入方程ttBBBtBBtB2322 34323212121解：解：根据等式两端对应幂次的系数相等，有根据等式两端对应幂次的系数相等，有032223413321211BBBBBB2710 ,92 ,31321BBB 271092312ptttr 为待定系数为待定系数321,BBB ， 特解特解tttttBBBeee3e2e31B trAtrnitip1ie代入方程代入方程tte31)(r p

9、齐次解和特解相加即为方程的完全解齐次解和特解相加即为方程的完全解 tteetpBetr)(三、借助初始条件求待定系数三、借助初始条件求待定系数 对于对于n阶微分方程，若激励阶微分方程，若激励 是是 时刻加入的，时刻加入的，则求解区间为则求解区间为 。一组边界条件可以给定为。一组边界条件可以给定为响应及响应及其各阶导数在此区间内任一时刻其各阶导数在此区间内任一时刻 处的值处的值，即，即)(te0t t00t)(),(),(),(01102200trdtdtrdtdtrdtdtrnn iA通常取通常取 ，有，有00t)0(),0(),0(),0(1122rdtdrdtdrdtdrnn 记为记为)

10、1, 1 , 0()0( nkrk初始条件初始条件由由 trAtrnitip1ie 借助初始条件，即可建立联立方程组，确定系数借助初始条件，即可建立联立方程组，确定系数 ，从而获得惟一解。从而获得惟一解。iA 从系统的角度来看，从系统的角度来看， 是系统的是系统的完全响应完全响应，由两部分，由两部分组成。特征方程的特征根被称为系统的组成。特征方程的特征根被称为系统的“固有频率固有频率”,因因此可以说此可以说齐次解齐次解的函数形式仅依赖于系统本身的特性，而的函数形式仅依赖于系统本身的特性，而与激励的函数形式无关，称为系统的与激励的函数形式无关，称为系统的自由响应自由响应或或固有响应固有响应；特解

11、特解的形式由激励信号确定，称为的形式由激励信号确定，称为强迫响应强迫响应。 )(tr完全响应完全响应自由响应自由响应强迫响应强迫响应解：解： 列写微分方程列写微分方程+ -+ -+ -)(1tv)(2tv)(te1R2R1C2CF21F3111)0()2sin(6)(6)(7)(22222tttvdttdvdttvd 求齐次解求齐次解 特征方程特征方程0672 特征根特征根6, 121 齐次解齐次解tteAeA621例例2-52-5 如图所示电路，已知激励信号如图所示电路，已知激励信号 ， 初始时刻电容端电压均为零初始时刻电容端电压均为零，求输出信号，求输出信号 的表达式。的表达式。)()2s

12、in()(tutte)(2tv 查表可知特解查表可知特解+ -+ -+ -)(1tv)(2tv)(te1R2R1C2CF21F3111例例2-5 2-5 如图所示电路，已知激励信号如图所示电路，已知激励信号 ， 初始时刻电容端电压均为零初始时刻电容端电压均为零，求输出信号，求输出信号 的表达式。的表达式。)()2sin()(tutte)(2tv)2cos()2sin(21tBtB 代入方程代入方程)0()2sin(6)(6)(7)(22222tttvdttdvdttvd求得求得5021,50321BB特解：特解：)2cos(5021)2sin(503tt + -+ -+ -)(1tv)(2tv

13、)(te1R2R1C2CF21F3111例例2-5 2-5 如图所示电路，已知激励信号如图所示电路，已知激励信号 ， 初始时刻电容端电压均为零初始时刻电容端电压均为零，求输出信号，求输出信号 的表达式。的表达式。)()2sin()(tutte)(2tv 完全完全解解)2cos(5021)2sin(503)(6212tteAeAtvtt确定初始条件确定初始条件0)0(2v电容无电流2, 0)0(dtdv02536050212121AAAA25121A5032A)0()2cos(5021)2sin(5035032512)(2622ttBteAetvtt完全解完全解= =齐次解齐次解+ +特解特解(

14、A(A待定）待定）已定系数已定系数A A的完全解的完全解 系统的完全响应系统的完全响应 应用元件电压电流关系、基尔霍夫定律应用元件电压电流关系、基尔霍夫定律列写微分方程列写微分方程将联立微分方程化为一元高阶微分方程将联立微分方程化为一元高阶微分方程 经典法对连续时间系统进行时域分析经典法对连续时间系统进行时域分析齐次解齐次解 ( (系数系数A A待定待定） 特解特解tAe初始条件初始条件 为了区分跳变前后的状态，以为了区分跳变前后的状态，以“ ”“ ”表示激励信号接表示激励信号接入之前入之前的瞬时，以的瞬时，以“ ”“ ”表示激励接入以后表示激励接入以后的瞬时。的瞬时。00相对应地，有两组状态

15、：相对应地，有两组状态： 1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrr 1122d0d,d0d,d0d,00nnktrtrtrrr 激励信号激励信号 在在 时刻加入系统，响应的求解区间时刻加入系统，响应的求解区间为为 。由于。由于激励信号的作用，响应激励信号的作用，响应 及其各阶导及其各阶导数有可能在数有可能在 时刻发生跳变。时刻发生跳变。0t t00t)(te)(tr) 1, 1 , 0( nk2.4 2.4 起始点的跳变起始点的跳变- -从从 到到 状态转换状态转换00起始状态（起始状态（ 状态）状态）0初始条件（初始条件（ 状态）状态）0 由于激励的影响，从由于激励的影响，

16、从 到到 ，相应的状态可能，相应的状态可能发生了变化，这两组状态值有可能是不一样的。发生了变化，这两组状态值有可能是不一样的。 0t 0t “ “ 状态状态”包含了系统的全部过去信息，一般在题目包含了系统的全部过去信息，一般在题目中会给出。中会给出。0如何根据已知的如何根据已知的“ “ 状态状态”和激励信号来求得和激励信号来求得“ “ 状态状态”？00 确切地说，确切地说，响应的求解区间应该是从响应的求解区间应该是从 开始开始。因此，。因此，应使用应使用“ 状态状态”作为初始条件来确定响应中的系数作为初始条件来确定响应中的系数 。00iA 一般情况下，换路期间电容两端的电压和流过电感中一般情况

17、下，换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变，即的电流不会发生突变，即00 ,00LLCCiivv 对于一个具体的电网络，系统的对于一个具体的电网络，系统的 状态就是系统中储状态就是系统中储能元件的储能情况。能元件的储能情况。0 当系统用微分方程表示时，系统从当系统用微分方程表示时，系统从 到到 状态有没状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项中是否包含有跳变取决于微分方程右端自由项中是否包含 及其各及其各阶导数项。阶导数项。 0 0 t 有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感时，电感时， 到到 状态会发生跳变。状态会发生跳变

18、。 00系统内部储能的连续性系统内部储能的连续性解：解：根据根据KVLKVL 及元件特性，有及元件特性，有+ -+ -)(teRC)(tvR例例2-62-6 RC RC一阶电路，一阶电路，无储能，起始电压和电流都为无储能，起始电压和电流都为0 0。 ，求，求 系统的响应系统的响应 。)()(tute0t)(tvRtRRtedRvCtv)()(1)(即即dttdetvRCdttdvRR)()(1)(采用时域经典法，齐次解为采用时域经典法，齐次解为RCtAe 由于由于)()(tdttde在在 时为时为0，故，故特解为特解为0。0t因此因此RCtRAetv)(+ -+ -)(teRC)(tvR例例2

19、-6 RC2-6 RC一阶电路，一阶电路，无储能，起始电压和电流都为无储能，起始电压和电流都为0 0。 ，求，求 系统的响应系统的响应 。)()(tute0t)(tvR0)0(, 0)0(CRvv1)0(Rv 由由RCtRAetv)(求得求得1A 因此因此)0()(tetvRCtR0)0(Cv ttrtrt33dd 0,0rr求求已已知知例例： 在在 中中 时刻有时刻有 tr0 t tu 9 t 3方程右端含方程右端含 tttr 3dd中必含中必含 ttr 3中包含中包含 t 方程右端不含方程右端不含 ttrtttr 939dd中的中的以平衡以平衡必含必含 中的中的 trtdd t 9 根据微

20、分方程左、右两端的各阶奇异函数应保持平衡根据微分方程左、右两端的各阶奇异函数应保持平衡来确定初始条件。来确定初始条件。900rr 表示表示 到到 的一个单位跳变。的一个单位跳变。00)(tut012在在 中中 时刻有时刻有 根据前面所推根据前面所推 tr0 t tu 9900rr意味着意味着 如图所示：在如图所示：在 和和 时都为常数，只在时都为常数，只在 时刻有一个单位跳变，时刻有一个单位跳变，求导后即为求导后即为 。0t0t0t t )(tu 可可知知由由方方程程ttrtrt 33dd 项，项，方程右端含方程右端含t ttubtatuctbta333900brr tuctbtatrtdd令

21、令 tubtatr则则代入方程代入方程因此因此900rr03033bcaba2793cba与左端的最高阶项与左端的最高阶项 对应对应)(trdtd两边系数平衡相等两边系数平衡相等dttdetvRCdttdvRR)()(1)( 有有)()(1)(ttvRCdttdvRR可知左端最高阶项可知左端最高阶项 中应包含中应包含dttdvR)( t 意味着意味着 在在0时刻发生了跳变，且跳变值为时刻发生了跳变，且跳变值为1。)(tvR 因此因此11)0()0(RRvv+ -+ -)(teRC)(tvR将将 代入方程代入方程)()(tute解：根据解：根据KCLKCL及元件关系，及元件关系，列写方程并化简列

22、写方程并化简例例2-72-7 并联电路并联电路, ,系统无储能，即系统无储能，即 ，求，求 。 0)0()0()0(LCRiii)()(ttiS)(tiL )(11dd1dd22tLCtiLCttiRCttiLLL 特征方程特征方程0112LCRC 有两个不同的特征根有两个不同的特征根21,齐次解齐次解tteAeA2121方程右端方程右端 在在 时为时为0，因此，因此特解为特解为0。)(1tLC0tttLeAeAti2121)( tisRRiLLiCciab tv)(tiL)(tiC)(tiR )(11dd1dd22tLCtiLCttiRCttiLLL求初始条件以确定求初始条件以确定21, A

23、A包含包含 22ddttiL)(1tLC ttiLdd在在 时刻有跳变值时刻有跳变值0tLC1 在在 时无跳变，即时无跳变，即)(tiL0t0)0()0(LLii即即LCLCdtditiLL11)0(d0d为为0 tisRRiLLiCciab tv)(tiL)(tiC)(tiR例例2-72-7 并联电路并联电路, ,系统无储能，即系统无储能，即 ，求，求 。 0)0()0()0(LCRiii)()(ttiS)(tiL 激励为零时，激励为零时，仅由系统的起始状态（仅由系统的起始状态（ 状态）引起的状态）引起的响应响应，记为，记为 。满足方程。满足方程0)(trzi0)(d)(dd)(dd)(d1

24、1110trCttrCttrCttrCzinzinnzinnzin一、一、零输入零输入响应响应及起始状态及起始状态 ，是齐次解的一部分。，是齐次解的一部分。) 1, 1 , 0()0( nkrk nktzikzikeAtr1 由于没有激励的作用，因此系统状态不会发生变化，由于没有激励的作用，因此系统状态不会发生变化，即即 ，系数，系数 可由可由 确定。确定。)0()0(kkrrzikA)0(kr2.5 2.5 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应二、二、零状态零状态响应响应 不考虑起始状态，即认为起始状态为零，不考虑起始状态，即认为起始状态为零，仅由外加激仅由外加激励励 所引起的响应所

25、引起的响应，记为，记为 。满足方程。满足方程)(te)(trzs)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110teEtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmzsnzsnnzsnnzsn及及起始状态起始状态 ，由一部分齐次解和，由一部分齐次解和特解组成。特解组成。) 1, 1 , 0(0)0( nkrk tBeAtrnktzskzsk1 tBeAeAnktzsknktzikkk11 = 暂态响应暂态响应+ 稳态响应稳态响应(Transient+Steady-state)自由响应自由响应 强迫响应强迫响应 (Natural + forced)

26、 tBeAtrnktkk1零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应(Zero-input + Zero-state)系统完全响应的分解系统完全响应的分解 自由响应和零输入响应都是齐次方程的解。自由响应和零输入响应都是齐次方程的解。 二者的系数各不相同：二者的系数各不相同： 仅由系统的仅由系统的起始状态起始状态决定，而决定，而 却由却由初始条件初始条件（即起始状态和激励信号）确定。（即起始状态和激励信号）确定。zikAkA 若系统的起始状态为零，则零输入响应为零若系统的起始状态为零，则零输入响应为零。但在激励。但在激励信号的作用下，自由响应并不为零，即自由响应中包含了信号的作用下，自由响应并不

27、为零，即自由响应中包含了零输入响应和一部分的零状态响应。零输入响应和一部分的零状态响应。 零输入响应与外加激励无关零输入响应与外加激励无关。不管外加激励如何变化，。不管外加激励如何变化，一个系统的零输入响应是固定的、不变的，且从一个系统的零输入响应是固定的、不变的，且从 时刻到时刻到 时刻不跳变。时刻不跳变。00解：解： 特征根特征根3齐次解为齐次解为tAe3完全响应完全响应1)(3 tAetr例例2-8:2-8: 已知系统已知系统)(3)(3)(tetrdttdr起始状态起始状态23)0(r ，求系统的自由响应、强迫响应、零输入、零状，求系统的自由响应、强迫响应、零输入、零状态及完全响应。态

28、及完全响应。)()(tute 在在 时无跳变，即时无跳变，即)(tr0t23)0()0(rr231A21A完全响应完全响应121)(3 tetr自由响应自由响应强迫响应强迫响应特解为特解为1B零输入响应零输入响应 根据定义根据定义 tzieAtr31由起始状态得由起始状态得231A tzietr323根据定义根据定义 ，满足起始状态为，满足起始状态为0 0 132 tzseAtr 已知已知 在在 时无跳变，即时无跳变，即)(tr0t0)0()0(zszsrr12A 13 tzsetr完全响应完全响应123)(33tteetr1213 te例例2-8:2-8: 已知系统已知系统)(3)(3)(t

29、etrdttdr起始状态起始状态23)0(r ，求系统的自由响应、强迫响应、零输入、零状，求系统的自由响应、强迫响应、零输入、零状态及完全响应。态及完全响应。)()(tute零状态响应零状态响应暂态响应暂态响应：完全响应中暂时出现的响应分量。随着时间增：完全响应中暂时出现的响应分量。随着时间增 长，将趋近于零。（长，将趋近于零。（瞬态响应瞬态响应）121)(3 tetr暂态响应暂态响应稳态响应稳态响应：完全响应中去掉暂态响应，保留下来的响应分：完全响应中去掉暂态响应，保留下来的响应分 量。量。稳态响应稳态响应 常系数线性微分方程描述的系统只有在常系数线性微分方程描述的系统只有在起始状态为零起始

30、状态为零的条件下，系统才是线性时不变的，且是因果的。的条件下，系统才是线性时不变的，且是因果的。三、对系统三、对系统线性、时不变性线性、时不变性的进一步认识的进一步认识 如果起始状态不为零，则系统的完全响应中如果起始状态不为零，则系统的完全响应中存在零输存在零输入响应入响应分量，导致完全响应对外加激励分量，导致完全响应对外加激励 不满足叠加性不满足叠加性与均匀性，也不满足时不变性，因而是非线性时变系统。与均匀性，也不满足时不变性，因而是非线性时变系统。同样，由于零输入响应分量的存在，导致同样，由于零输入响应分量的存在，导致响应并不完全都响应并不完全都是由激励来引发是由激励来引发的，因而系统也是

31、非因果的。的，因而系统也是非因果的。)(te 响应可分解性响应可分解性 零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应 可对线性系统的定义加以可对线性系统的定义加以扩展扩展。由常系数线性微分方。由常系数线性微分方程描述的系统在程描述的系统在起始状态不为零起始状态不为零时，也可以是时，也可以是线性线性的，只的，只要满足以下条件：要满足以下条件：时不变特性只是针对零状态响应而言时不变特性只是针对零状态响应而言 满足零状态线性满足零状态线性 当起始状态为零时，系统的零状态当起始状态为零时，系统的零状态 响应对于各激励信号呈线性。响应对于各激励信号呈线性。 满足零输入线性满足零输入线性 当激励为零时，系统的

32、零输入响应当激励为零时，系统的零输入响应 对于各起始状态呈线性。对于各起始状态呈线性。 )()()(zszi1trtrtr)()2sin(2e 3tutt解解： 设零输入响应为设零输入响应为 ，激励为，激励为 时的零状态响应时的零状态响应 为为 ，则，则)(trzi)(trzs)(te)()2sin(e23tutt)(2)()(zszi2trtrtr)()()(0zszi3ttrtrtr)()22sin(e)(e300)(330ttutttuttt tuttutt2sine5 . 0e3233解得解得)(e3)(3zitutrt)()2sin(e)(3zstuttrt tutt2sin5 .

33、0e5 . 53)(5 . 0)(2)(zszi4trtrtr)()(zszitrtr)()2sin(e23tutt)(2)(zszitrtr)()2sin(2e 3tutt 起始状态增大起始状态增大1倍，激励为倍，激励为 时的全响应为时的全响应为)(5 . 0te起始状态不变，激励为起始状态不变，激励为 时的全响应时的全响应 为为)(0tte)(3tr一、定义一、定义单位阶跃响应单位阶跃响应：系统在单位阶跃信号：系统在单位阶跃信号 作用下产生的作用下产生的 零状态响应零状态响应，简称，简称“阶跃响应阶跃响应”，记为，记为 。)(tu)(tg2.6 2.6 冲激响应与阶跃响应冲激响应与阶跃响应

34、单位冲激响应单位冲激响应：系统在单位冲激信号：系统在单位冲激信号 作用下产生的作用下产生的 零状态响应零状态响应，简称，简称“冲激响应冲激响应”，记为，记为 。)(th)(t响应及其各阶导数响应及其各阶导数( (最高阶为最高阶为n次次) )对于线性时不变系统对于线性时不变系统, ,可以用一个可以用一个高阶微分方程高阶微分方程描述描述: : 激励及其各阶导数激励及其各阶导数( (最高阶为最高阶为m次次) )令令 e(t)= (t) 则则 r(t)=h(t)二、冲激响应的求解二、冲激响应的求解)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110tEttEttEttEthCt

35、thCtthCtthCmmmmmmnnnnnn)(d)(dd)(dd)(d11110trCttrCttrCttrCnnnnnn)(d)(dd)(dd)(d11110teEtteEtteEtteEmmmmmm若特征根为简单根（若特征根为简单根（无重根的单根无重根的单根）)(e)(1tuAthnitii是是 时的响应时的响应0t 与特征根有关与特征根有关 由于由于 及其导数在及其导数在 时都为零，因而方程式右时都为零，因而方程式右端的端的自由项恒等于零自由项恒等于零，这样系统的，这样系统的冲激响应形式与齐次解冲激响应形式与齐次解的形式相同。的形式相同。 具体表达式与两个因素有关：具体表达式与两个因

36、素有关：0t t )(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110tEttEttEttEthCtthCtthCtthCmmmmmmnnnnnn 时都为时都为0 00t :及其各阶导数应包含时，当；中应包含时，当及其各阶导数；不含时，当tthmntthmntthmn 与与n、m相对大小有关相对大小有关 )(),(),(1tttnmnm )(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110tEttEttEttEthCtthCtthCtthCmmmmmmnnnnnn 把把 的表达式直接代入方程中，利用两端奇异函数的表达式直接代入方程中，利用两端奇异

37、函数系数匹配可直接确定相应系数系数匹配可直接确定相应系数 ，无需使用，无需使用 状态。状态。)(th0例例2-92-9 已知系统已知系统)(2)()(3)(4)(22tedttdetrdttdrdttrd求冲激响应求冲激响应 。)(th解：解：22( )( )43 ( )( )2 ( )d h tdh th tttdtdt特征根特征根 ，且，且3, 121mn 因此因此)()()(321tueAeAthtt)()()()3()(321321teAeAtueAeAthtttt)()()()3(21321tAAtueAeAtt)()9()()3()()()(3212121 tueAeAtAAtAA

38、thtt代入方程并比较两边的系数，可得代入方程并比较两边的系数，可得21,2121AA)()(21)(3tueethtt特征根特征根 ，且，且 ，方程两边阶次相同，方程两边阶次相同5mn 代入方程，有代入方程，有解：解：dttdthdttdh)(2)(5)(因此因此)()()(251tAtueAtht)(2)(5)(5)()()(52512151ttAtueAtAtAtueAtt205221AAA求得求得2,1021AA)(2)(10)(5ttuetht例例2-6-1 2-6-1 已知系统已知系统 ，求冲激响应，求冲激响应 。dttdetrdttdr)(2)(5)()(th 根据阶跃响应的定义

39、，可知阶跃响应满足方程根据阶跃响应的定义，可知阶跃响应满足方程三、阶跃响应的求解三、阶跃响应的求解)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110tuEttuEttuEttuEtgCttgCttgCttgCmmmmmmnnnnnn及起始状态及起始状态) 1, 1 , 0(0)0( nkgk 在方程右端的自由项中除在方程右端的自由项中除 及其各阶导数外，及其各阶导数外，还有还有 阶跃函数，因此在阶跃响应的表示式中，阶跃函数，因此在阶跃响应的表示式中，除齐次解外，还除齐次解外，还应有特解项。应有特解项。)(t1.1.直接求解直接求解0 时都为时都为0 00t tudtd

40、t )( tgdtdth)(线性时不变系统满足线性时不变系统满足微、积分微、积分特性特性2.2.借助冲激响应求解借助冲激响应求解ttud)()(或或或或thtgd)()(对于因果系统，对于因果系统，积分下限为积分下限为0 因果系统的充要条件：因果系统的充要条件： 时，冲激响应（或阶跃响应）为零。时，冲激响应（或阶跃响应）为零。0t2.7 2.7 卷积卷积一、定义一、定义 两个函数两个函数 和和 ，卷积积分为卷积积分为)(1tf)(2tf d)(2121tfftftf d)(1212tfftftf或或 d)(2121tfftftf二、利用卷积求系统二、利用卷积求系统零状态响应零状态响应 激励信号

41、可用冲激信号的组合表示激励信号可用冲激信号的组合表示 dtete 作用到作用到冲激响应为冲激响应为 的线性时不变系统，的线性时不变系统，则系统响应则系统响应)(th teHtr)( dteH dtHe dthe线性变换线性变换 thte trzs三、卷积运算三、卷积运算 d)(2121tfftftf 将将 沿沿 轴平移，平移量为轴平移，平移量为 ，得，得 。 的定义的定义区间为区间为 ，因此因此 是沿着是沿着 轴的正方向由轴的正方向由 向向 平移平移，在移动过程中，与，在移动过程中，与 相乘、积分。相乘、积分。)(2ft)(2tftt)(2tf)(1f 自变量代换，由自变量代换，由 改为改为t

42、)()()()(2211ftfftf， 反褶、移位反褶、移位)()()(222tfff移位反褶 两信号重叠部分相乘两信号重叠部分相乘)()(21tff 乘积积分乘积积分d)(. )(21tfft需要分情况确定积需要分情况确定积分的上下限，积分分的上下限，积分结果为结果为 的函数的函数tOt tf1111 O 1f111 t例例2-7-12-7-1Ot tf2323O 2f3 23)30(2)(1011)(21tttftttfO tf2233ttttt ：移位量：移位量 未移动未移动)(2f0t0t0t 右移右移)(2f 左移左移)(2fO 1f111 的定义区间为的定义区间为 ，因此因此 是沿

43、着是沿着 轴轴的正方向的正方向从左向右平移，从左向右平移，得到得到 。tt)(2f)(2tf3 tt tf2两波形没有重叠部分，二者乘积为两波形没有重叠部分，二者乘积为0 0，即积分为，即积分为0 0 021tff 0)(21tftftg1t d)(2121tfftftfO 1f111 3 tt tf2O 1f111 d)()()(211tfftgtd211tt1422tt41242tt11t d)(2121tfftftf3 tt tf2O 1f111 3 tt tf2O 1f111 3 tt42t21ttttgd21)(11d)(21)(13ttgt2242ttO 1f111 0tg4t d

44、)(2121tfftftf3 tt tf2elsetttttttttg04222421114124)(22Ot tf1111 )(tgtO2421 1 卷积中积分限的确定取决于两个图形重叠部分的范围。卷积中积分限的确定取决于两个图形重叠部分的范围。 卷积结果所占有的时宽等于两个信号各自时宽的总和。卷积结果所占有的时宽等于两个信号各自时宽的总和。Ot tf2323解：解：d)()()( thetrd)(e)2()(e)(21tuuut例例2-7-2:2-7-2: 已知已知 ，求，求 。 )2()(e)( ,2tututetuethtt tethd)()2(ed)()(ee22tuuetuutt

45、tutt02deed)()(ee2tuut)2(dee22tuttd)()2(e2tuuet )2(deedee2202tututttt)2(ee2)(ee2)1(22tututtttd)()2(ed)()(ee)(22tuuetuutrtt 分配律分配律)()()()()()()(3121321tftftftftftftf)(tg)(tf)(tf)(tf)(th)(1th)(2th)(th)()()()()(21thtfthtftr)()()(21ththtf)()(1thtf)()(2thtf)()(thtf thth21 交换律交换律)()()()(1221tftftftf一、代数运算一

46、、代数运算2.8 2.8 卷积的性质卷积的性质 结合律结合律 )()()()()()(321321tftftftftftf 串联系统串联系统的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激的冲激响应等于组成串联系统的各子系统冲激响应的卷积。响应的卷积。)(th)(tf)(1th)(2th)(tg)()(1thtf )()()(21ththtf )()(1thtf)()()()(21ththtftr)()(thtf)()(21thth二、微分与积分二、微分与积分)()(21tftfdtd或或)()()()(2121tfdttdftftfdtd 两信号卷积后求导等于其中一信号的导数与另一信号两信号卷积后求

47、导等于其中一信号的导数与另一信号的卷积。的卷积。 微分性微分性dttdftf)()(21dtffdtd)()(21ddttdff)()(21 微积分性微积分性 两信号卷积后求积分等于其中一信号的积分与另一信两信号卷积后求积分等于其中一信号的积分与另一信号的卷积。号的卷积。 积分性积分性dttdfdfdfdttdftftftt)(*)()(*)()()(212121用于求导的信号不能为常数用于求导的信号不能为常数若若)()()(21tftfts 则则)()()()(2)(1)(tftftsjiji 取正整数时为导数的阶次，取负整数时为重积分取正整数时为导数的阶次，取负整数时为重积分次数。次数。j

48、i,ttdftfdff)()()()(2121tdftf)()(12推广：推广：)()()(2121tttfttttf )()()(tfttfkk)()()(00ttftttf tftftfttfd d )()()(00ttftttfkk三、与冲激函数或阶跃函数的卷积三、与冲激函数或阶跃函数的卷积)( )()()()(tfttfdtdttftttdfdfdtftutf)()()()()()()( 为整数：正求导、负积分为整数：正求导、负积分k)()()(ttututu) 1() 1()() 1(tuttutu)()()(ttt)(2tf例例2-8-12-8-1 已知已知 、 ，求，求 ，画出其

49、波形。，画出其波形。)(1tf )(21tftf)(1tf110-1t)(2tf03t(1)(1)解：解：则则 ) 3()()()() 3()()()(11121ttfttftttftftf) 3()()(2tttf) 3()(11tftf110-1t243例例2-8-22-8-2 已知波形如图，求已知波形如图，求 ，并画出其波形。，并画出其波形。解：解：)()(thte)(te20123t)(th1-1012t)()( )()()1(thtethte(2)( te0123t(2)(1th012tt2 )()(thte0123-245解：解：例例2-8-32-8-3 已知波形如图，求已知波形如图，求 ，并画出其波形。，并画出其波形。)