数学实验第四次作业

1、1.题目：分别用fzero和fsolve程序求方程的所有根，准确到，去不同的初值计算，输出初值、根的近似值和迭代次数，分析不同根的收敛域；自己构造某个迭代公式（如等）用迭代法求解，并自己编写牛顿法的程序进行求解和比较。模型：通过观察的函数图象，可以发现有两个根，其中一个为0，另一个在区间1,2之间。用四种迭代方法分别计算这个方程：fzero命令用于求单变量方程的根，所采用的算法主要是二分法、割线法和逆二次插值法等混合的方法；fsolve命令用于非线性方程组的求解（当然也可以用于方程求根，但效果一般不如fzero程序）。这两个命令的使用方法课本上已经解释的很清楚，就不一一赘述。自已编写用的迭代公

2、式的算法：x0=0;n=100;tol=10(-10);x(1)=x0; b=1; k=1;while or(k=1,abs(b)tol*abs(x(k) x(k+1)=(2*sin(x(k)0.5; b=x(k+1)-x(k); k=k+1; if(kn) error(Error: Reached maximum iteration times); endendy=x(k-1)if nargout1 z=k-1end编写牛顿法的迭代方法：function y,z=newton(fv,df,x0,n,tol)x(1)=x0; b=1; k=1;while or(k=1,abs(b)tol*ab

3、s(x(k) x(k+1)=x(k)-feval(fv,x(k)/feval(df,x(k); b=x(k+1)-x(k); k=k+1; if(kn) error(Error: Reached maximum iteration times); endendy=x(k-1);if nargout1 z=k-1;end输出迭代结果和迭代次数。实验结果：opt=optimset(TolX,1e-10)x,fv,ef,out=fzero(inline(sin(x)-0.5*x2),-1,opt)x,fv,ef,out=fsolve(inline(sin(x)-0.5*x2),-1,opt)输出：x

4、 = -8.948271056828617e-011fv = -8.948271057228975e-011ef = 1out = intervaliterations: 12 iterations: 6 funcCount: 30 algorithm: bisection, interpolation message: Zero found in the interval 0.28,-1.9051x = -2.607187949859896e-010fv = -2.607187950199768e-010ef = 1out = iterations: 4 funcCount: 10 algo

5、rithm: trust-region-dogleg firstorderopt: 2.607187970304575e-010 message: 1x695 char改变x0的值k=1;x=0;y=0;for x0=-50:50x(k)=fzero(inline(sin(x)-0.5*x2),x0,opt);y(k)=fsolve(inline(sin(x)-0.5*x2),x0,opt);z(k)=x0;k=k+1;endz,x,y输出结果1见最后。继续细化：k=1;x=0;y=0;for x0=-6:0.1:15;x(k)=fzero(inline(sin(x)-0.5*x2),x0,o

6、pt);y(k)=fsolve(inline(sin(x)-0.5*x2),x0,opt);z(k)=x0;k=k+1;endz,x,y输出结果2见最后。用fzero命令，x0在-5,0.7收敛到0，在0.8,14.7收敛到1.4044；用fsolve命令，x0在小于0.7收敛到0，在大于0.8收敛到1.4044。使用的迭代公式，发现x0取除0外的值，得到的结果都是1.4044。用牛顿法求解：y,z=newton(inline(sin(x)-0.5*x2),inline(cos(x)-x),x0,100,1e-10)发现取x0在小于0.7收敛到0，在大于0.8收敛到1.4044。实验结果分析与

7、讨论：从得到的数据来看，fzero命令、fsolve命令和牛顿法都能很好的解这个方程，相反，题目给出的迭代公式只能求出一个解，迭代效率也不高。6.题目：给定4种物质对应的参数和交互作用矩阵Q如下：a=18.607,15.841,20.443,19.293;b=2643.31,2755,64,4628.96,4117.07;c=239.73,219.16,252.64,227.44;Q=1.0 0.192 2.169 1.611 0.316 1.0 0.477 0.524 0.377 0.360 1.0 0.296 0.524 0.282 2.065 1.0;在压强p=760mmHg下，为了形成

8、均相共沸混合物，温度和组分分别是多少？请尽量找出所有可能的解。模型：均相共沸混合物的模型参见课本。编写程序：function f=azeofun(XT,n,P,a,b,c,Q)x(n)=1;for i=1:n-1 x(i)=XT(i); x(n)=x(n)-x(i);end T=XT(n);p=log(P);for i=1:n d(i) = x * Q(i,1:n); dd(i)=x(i)/d(i);endfor i=1:n f(i)=x(i)*(b(i)/(T+c(i) + log(x*Q(i,1:n) + dd*Q(1:n,i) - a(i) - 1 + p);end实验结果：输入a,b,

9、c和Q的值，输入一个初值n=4;P=760;a=18.607,15.841,20.443,19.293;b=2643.31,2755.64,4628.96,4117.07;c=239.73,219.16,252.64,227.44;Q=1.0 0.192 2.169 1.611 0.316 1.0 0.477 0.524 0.377 0.360 1.0 0.296 0.524 0.282 2.065 1.0;XT0=0.25,0.25,0.25,50;XT,Y=fsolve(azeofun,XT0,n,P,a,b,c,Q)得到XT = 0.000000000223472 0.585821812

10、989530 0.414178858880802 71.965660351178812Y = 1.0e-006 * -0.000893080623929 -0.042222910083616 0.442848407267163 -0.470051331881832输入不同的初值，不断尝试，发现有两种可能的情况：（1） 0.0% 58.6% 41.4% 0.0% 72.0（2） 0.0% 78.0% 0.00% 22.0% 76.97.题目：用迭代公式计算序列，分析其收敛性，其中a分别取5，11，15；b（0）任意，初值。观察是否有混沌现象出现，并找出前几个分岔点，观察分岔点的极限趋势是否符合F

11、eigenbaum常数解释的规律。模型：a=5 11 15;b=1;x(1)=1;n=50;for j=1:3 A=a(j);for i=1:n x(i+1)=A*x(i)*exp(-b*x(i);endxx(:,j)=x;endk=(0:50);k,xxsubplot(1,3,1),plot(k,xx(:,1),subplot(1,3,2),plot(k,xx(:,2),subplot(1,3,3),plot(k,xx(:,3)发现，只有a=5时，函数是收敛的。且收敛到1.609.而当a=11时，方程的有两个收敛子列，分别收敛到3,974和0.821，当a=15时方程出现混沌现象。 分析：差

12、分方程xk+1=axke-xk 则方程x=axe-x的根就是方程的平衡点。 又令fx=axe-x 易知x=0与x=lna式方程的平衡点。把两个平衡点代入f(x)=ae-x-axe-x. 将0代入。|f(x)|=a0 属于不稳定平衡 将lna代入。|f(x)|=|1-lna| 在题设中只有当a=5时，|f(x)|=0.6091,属于不稳定平衡。 易知1ae2时，迭代方程收敛到一个值。 要研究a=11时有两个收敛子列。 xk+2=ffxk=f2(xk) 本题中 x=a(axe-x)e-(axe-x) 整理得 2xlna=x(1-ae-x) 除了x=0的不稳定平衡点外，还有一个平衡点x1,2=3lna 将a=11代入，|f2x|1,不稳定。function chaos(iter_fun,x0,r,n)kr=0;for rr=r(1):r(3):r(2) kr=kr+1; y(kr,1)=feval(iter_fun,x0,rr); for i=2:n(2