误差理论和测定结果表达(新02)

1、大学物理实验误差理论基础误差理论基础物理实验教学中心物理实验教学中心http:/ 论论物理实验物理实验：是研究自然现象、总结物理规律的基本方法，同时也是验证新理论的必经之路。是一门独立的公共必修课，分二个学期。 本课程的目的和任务：本课程的目的和任务： a.a.通过对实验现象的观测、分析和对物理量的测量，学习通过对实验现象的观测、分析和对物理量的测量，学习物理实验知识，加深对物理学原理的理解，提高对科学物理实验知识，加深对物理学原理的理解，提高对科学实验重要性的认识；实验重要性的认识； b.b.培养与提高学生的科学实验能力：如阅读资料、常用培养与提高学生的科学实验能力：如阅读资料、常用仪器使用

2、、实验现象分析与判断、数据记录与处理等。仪器使用、实验现象分析与判断、数据记录与处理等。 c.c.培养与提高学生的科学实验素养，要求学生具有理论联培养与提高学生的科学实验素养，要求学生具有理论联系实际和实事求是的科学作风，严肃认真的工作态度，系实际和实事求是的科学作风，严肃认真的工作态度，主动研究的探索精神等。主动研究的探索精神等。 实验环节及成绩组成实验环节及成绩组成1 1 实验预习并写出预习报告实验预习并写出预习报告 15%15%三三 实验数据处理及总结并完成实实验数据处理及总结并完成实 验报告验报告 30% 30%二二 实验实际操作实验实际操作 5 50%+0%+5 5% %（整理仪器）

3、（整理仪器）预习报告和实验报告预习报告和实验报告1 1预习内容预习内容 a a 实验名称实验名称 b b 实验目的实验目的 c c 主要仪器设备主要仪器设备 d d 实验原理摘要实验原理摘要二二 实验报告实验报告 a a 实验名称实验名称 实验环境记录实验环境记录 b b 实验目的实验目的 c c 主要仪器设备（型号、规格、编号等）主要仪器设备（型号、规格、编号等） d d 实验原理摘要实验原理摘要 e e 实验步骤实验步骤 f f 数据处理与结果表示（数据表报告中也要画）数据处理与结果表示（数据表报告中也要画） g g 小结与讨论小结与讨论 为避免与实验报告两次重复，为避免与实验报告两次重复

4、，直接写在实验报告上直接写在实验报告上注意：注意： 还需在实验原始记录纸中画好实验原始数据记录表。还需在实验原始记录纸中画好实验原始数据记录表。画好原始数据记录表画好原始数据记录表画好原始数据记录表画好原始数据记录表原始数据经教师原始数据经教师签字认可才有效签字认可才有效名称名称目的目的仪器仪器原理原理预习部分内容或内容或步骤步骤数据记录数据记录和处理和处理数据处理和数据处理和结果表示结果表示小结和讨论小结和讨论二、误差理论基础二、误差理论基础主要内容：主要内容：v基本概念基本概念物理实验和测量误差物理实验和测量误差v误差分类误差分类偶然误差和系统误差偶然误差和系统误差v误差计算误差计算测量结

5、果的不确定度测量结果的不确定度 v数据格式数据格式有效数字有效数字误误 差差 理理 论论 基基 础础一、一、 物理实验和测量误差物理实验和测量误差测量测量 就是把待测的物理量与一个被选做标准的同类物就是把待测的物理量与一个被选做标准的同类物 理量进行比较，确定它是标准量的多少倍。理量进行比较，确定它是标准量的多少倍。测量值必须包括测量值必须包括: : 数值和单位数值和单位， 如测量课桌的长度为如测量课桌的长度为1.53m1.53m。 测量的分类：测量的分类： 按测量方式通常可分为：按测量方式通常可分为：直接测量直接测量由仪器或量具直接与待测量进行比较读数。由仪器或量具直接与待测量进行比较读数。

6、 如：用米尺测量如：用米尺测量课桌的长度，电压表测量电压等课桌的长度，电压表测量电压等间接测量间接测量借助一些函数关系由直接测量量计算出所借助一些函数关系由直接测量量计算出所要求的物理量要求的物理量 如：测量单摆的振动周期如：测量单摆的振动周期t，用公式，用公式 求得求得glt/2gv由于测量方法、测量环境、测量仪器和测量者的局限性误差的不可避免性，待测物理量的真值同测量值之间总会存在某种差异，这种差异就称为测量误差，定义为测量误差测量误差= = 测量值测量值- - 真值真值v绝对误差 = x - x v相对误差 误误 差差 理理 论论 基基 础础100%100%exx误误 差差 理理 论论

7、基基 础础真值真值 就是与给定的特定量的定义相一致的量值。客观存就是与给定的特定量的定义相一致的量值。客观存在的、但不可测得的（测量的不完善造成在的、但不可测得的（测量的不完善造成）。可知的真值：可知的真值：a.a.理论真值理论真值-理论设计值、理论公式表达值等理论设计值、理论公式表达值等 如三角形内角和如三角形内角和180180度；度；b.b.约定约定( (实用实用) )真值真值-指定值指定值, ,最佳值等，最佳值等， 如算术平均值当真值等。如算术平均值当真值等。二、偶然误差和系统误差二、偶然误差和系统误差误差分类按其性质和原因可分为三类: 系统误差 偶然误差(随机误差) 粗大误差误误 差差

8、 理理 论论 基基 础础误误 差差 理理 论论 基基 础础1 1系统误差系统误差：误差值的大小和正负总保持不变，或：误差值的大小和正负总保持不变，或按一定的规律变化，或是有规律的重复。按一定的规律变化，或是有规律的重复。来源：来源：仪器的示值误差；仪器的示值误差；仪器的零值误差；仪器的零值误差；仪器测量附件误差；仪器测量附件误差；理论或方法误差；理论或方法误差；人员误差人员误差-生理或心理特点所造成的误差生理或心理特点所造成的误差。标准器误差标准器误差；仪器安装调整不妥仪器安装调整不妥, ,不水平、不不水平、不垂直、偏心、零点不准等，如天平不等臂垂直、偏心、零点不准等，如天平不等臂, ,分分光

9、计读数装置的偏心；光计读数装置的偏心； 理论公式为近似理论公式为近似或实验条件达不或实验条件达不到理论公式所规到理论公式所规定的要求定的要求 特点：特点：同一被测量物多次测量中，保持恒定或以可预知的同一被测量物多次测量中，保持恒定或以可预知的方式变化（一经查明就应设法消除其影响）方式变化（一经查明就应设法消除其影响）误误 差差 理理 论论 基基 础础2偶然误差（随机误差）：是指在同一被测量量的多次测量过程中，测量误差的绝对值与符号以不可预知（随机）的方式变化并具有抵偿性的测量误差分量。来源：是实验中各种因数的微小变动性引起的。例如实验周围环境或操作条件的微小波动，测量对象的自身涨落，测量仪器指

10、示数值的变动性，以及观测者本人在判断和估计读数上的变动性等 特点：个体而言是不确定的; 但其总体服从一定的统计规律。处理：可以用统计方法估算其对测量结果的影响（标准差），不可修正，但可减小之。正态分布规律正态分布规律: : 大多数偶然误差服从正态分布大多数偶然误差服从正态分布(高斯分布高斯分布)规律规律 特点特点：1）有界性）有界性.2）单峰性）单峰性. 3）对称性）对称性.4）抵偿性）抵偿性. 可以通过多次测量，利用其统计规律达到互相抵偿可以通过多次测量，利用其统计规律达到互相抵偿随机误差，找到真值的最佳近似值随机误差，找到真值的最佳近似值(又叫最佳估计值或又叫最佳估计值或最近真值最近真值)

11、。niinn101lim误误 差差 理理 论论 基基 础础误误 差差 理理 论论 基基 础础结论二结论一 当系统误差已被消除时，测量值的算术平均值最接近被测量的真值，测量次数越多，接近程度越高（当 时，平均值趋近于真值），因此我们用算术平均值表示测量结果的最佳值。nniinxnxxxxnx13211)(1一测量列的随机误差用平均值的标准偏差来估算。平均值的标准偏差计算公式为22()()(1)(1)iixxxxsn nn n误误 差差 理理 论论 基基 础础3 3粗大误差粗大误差 ：明显超出规定条件下预期值的误差：明显超出规定条件下预期值的误差来源：使用仪器的方法不正确，粗心大意读错、记错、来源

12、：使用仪器的方法不正确，粗心大意读错、记错、算错数据或实验条件突变等原因造成的（坏值）。算错数据或实验条件突变等原因造成的（坏值）。处理：实验测量中要尽力避免过失错误；处理：实验测量中要尽力避免过失错误； 在数据处理中要尽量剔除坏值。在数据处理中要尽量剔除坏值。误误 差差 理理 论论 基基 础础实验结果的评估：实验结果的评估：1 1精密度：表示测量结果中随机误差大小的程度。精密度：表示测量结果中随机误差大小的程度。 即是指在规定条件下对被测量量进行多次测量时，所即是指在规定条件下对被测量量进行多次测量时，所得结果之间符合的程度，简称为精度得结果之间符合的程度，简称为精度。2. 2. 准确度：表

13、示测量结果中系统误差大小的程度。准确度：表示测量结果中系统误差大小的程度。 它反映了在规定条件下，测量结果中所有系统误差的综它反映了在规定条件下，测量结果中所有系统误差的综合。合。3. 3. 精确度：表示测量结果与被测量的精确度：表示测量结果与被测量的“真值真值”之间的一之间的一致程度。致程度。 它反映了测量结果中系统误差与随机误差的综合。它反映了测量结果中系统误差与随机误差的综合。误误 差差 理理 论论 基基 础础a)精密度低,准确度高(b)精密度高， 准确度低(c)精密度、 准确度和精确度皆高三、测量结果的不确定度三、测量结果的不确定度 1什么是不确定度什么是不确定度 不确定度，是指由于测

14、量误差的存在而被测量值不能不确定度，是指由于测量误差的存在而被测量值不能肯定的程度，或者说它表示被测量的真值在某个量值肯定的程度，或者说它表示被测量的真值在某个量值范围的一个客观的评定，是一个描述尚未确定的误差范围的一个客观的评定，是一个描述尚未确定的误差的特征量的特征量 误误 差差 理理 论论 基基 础础xx （单位）（单位）2不确定度的分类不确定度的分类 bc仪误误 差差 理理 论论 基基 础础%100 xex22ab 修正因子修正因子 c=1=1axs2.2.不确定度的计算不确定度的计算（1 1）仪器误差的确定）仪器误差的确定 一般按仪器的规定取，若没规定则有刻度的按最小一般按仪器的规定

15、取，若没规定则有刻度的按最小分度值的一半取，数字仪器若没有规定取最后一个字。分度值的一半取，数字仪器若没有规定取最后一个字。如：米尺取分度值一半；而游标卡尺的最小分度是如：米尺取分度值一半；而游标卡尺的最小分度是0.02mm0.02mm，不确定度也是，不确定度也是0.02mm0.02mm；千分尺的最小分度；千分尺的最小分度是是0.01mm0.01mm，但仪器规定不确定度是，但仪器规定不确定度是0.004mm0.004mm。(b(b类不确定度类不确定度) )指针式仪表有等级的规定是：指针式仪表有等级的规定是：电表为：电表为：%mak仪如：满量程如：满量程am=100ma100ma，k =1.5=

16、1.5级，则级，则100 1.5% 1.5ma 仪此时就算是测量的值只有此时就算是测量的值只有2 2ma也这个误差。也这个误差。电阻箱的不确定度为：电阻箱的不确定度为：%xk仪读数读数 级别级别% %（2 2）随机误差的确定）随机误差的确定(a(a类不确定度类不确定度) )规定随机误差用标准偏差表示。标准偏差的计算公式为规定随机误差用标准偏差表示。标准偏差的计算公式为211()1nxiisxxn2111niixn因为我们用算术平均值来作为最佳值，所以用因为我们用算术平均值来作为最佳值，所以用xxssn211(1)niixn n所以默认不确定度为所以默认不确定度为22bxs 算术平均标准偏差算术

17、平均标准偏差 表示。公式为表示。公式为 3测量结果的不确定度含义测量结果的不确定度含义误误 差差 理理 论论 基基 础础v在基础物理实验教学中，我们可以将测量结在基础物理实验教学中，我们可以将测量结 果不确定度简化地理解为被测量量的真值在果不确定度简化地理解为被测量量的真值在 区间之外的可能性很小，或者区间之外的可能性很小，或者说，被测量量的真值位于说，被测量量的真值位于 区间之内区间之内的可能性很大的可能性很大。),(xx),(xx误误 差差 理理 论论 基基 础础（1）直接测量中不确定度的估算）直接测量中不确定度的估算 （a)多次测量：在相同条件下对一物理量多次测量：在相同条件下对一物理量

18、x进行了进行了n次独立次独立的直接测量，所得的直接测量，所得n个测量值为个测量值为x1，x2，xn，称其为测称其为测量列。量列。11niixxn2()1)ixxxsn n（4不确定度的估算方法 22xs 器xx1 0 0 %xex合成不确定度：（宁大勿小原则） 平均值的标准偏差：测量结果的表示： 算术平均值：误误 差差 理理 论论 基基 础础（b)b)单次测量结果总不确定度的估算：单次测量结果总不确定度的估算： 在单次测量的情况下，往往在单次测量的情况下，往往b b类误差要比类误差要比a a类类误差大的多，按照微小误差原则，即只要大误差大的多，按照微小误差原则，即只要大于于3 3倍以上，在计算

19、总不确定度时，可以忽倍以上，在计算总不确定度时，可以忽略略a a类误差的影响。类误差的影响。测量结果的表示测量结果的表示: :%)100()(xexx仪仪单位误误 差差 理理 论论 基基 础础例题例题1 1例例1 1：用螺旋测微器测量小钢球的直径，转动小钢球：用螺旋测微器测量小钢球的直径，转动小钢球在不同方向测，得以下数据在不同方向测，得以下数据：计算并写出测量结果：计算并写出测量结果：次数次数1 12 23 34 45 5d(mm)d(mm)11.93211.93211.91311.91311.92111.92111.91411.91411.93011.930 问题：1.计算平均值（近真值）

20、2.计算a、b类两类不确定度以及合成不确定度 3.最后写出测量结果误误 差差 理理 论论 基基 础础1.1.计算平均值（近真值）计算平均值（近真值）11.922mm9220.11 11.930)11.91411.92111.913(11.93251d2.2.计算计算a a、b b类两类不确定度以及合成不确定度类两类不确定度以及合成不确定度a a类不确定度类不确定度551122()(11.9220 )()0.002(1)54iidddsdm mnnb b类不确定度：该实验较为简单，主要是仪器误差，由表类不确定度：该实验较为简单，主要是仪器误差，由表一查得螺旋测微器的仪器误差为一查得螺旋测微器的仪

21、器误差为0.0040.004mmmm。合成不确定度：合成不确定度：220.0020.0040.00450.005mmmm 3.3.最后写出测量结果最后写出测量结果d=d=（11.922 11.922 0.005 0.005）mmmm(2)(2)间接测量结果不确定度的估计：间接测量结果不确定度的估计： 设间接测量设间接测量n=f（x，y，z）222222zyxnzfyfxf不确定度传递公式不确定度传递公式：误误 差差 理理 论论 基基 础础相对不确定度传递公式相对不确定度传递公式：( (积商形式比较方便积商形式比较方便) )222222lnlnlnzyxnzfyfxfn%100nennnrn单位

22、间接测量结果的表达间接测量结果的表达计算顺序计算顺序：计算公式以加减运算为主，先算总不确定度计算公式以加减运算为主，先算总不确定度，再算相再算相对对不确定度不确定度；计算公式以乘除或乘方运算为主，先算相对计算公式以乘除或乘方运算为主，先算相对不确定度不确定度，再算总再算总不确定度。不确定度。误误 差差 理理 论论 基基 础础误误 差差 理理 论论 基基 础础 例题例题2 2：经测量，金属环的内径：经测量，金属环的内径d=d=（2.8802.8800.0040.004）cmcm，外径外径d=d=（3.6003.6000.0040.004）cmcm，厚度厚度h=h=（2.5752.5750.004

23、0.004）cmcm，求环体积求环体积v v的的测量结果。测量结果。 22v ()4h dd222233.1416v ()2.575 (3.600 -2.880 )9.43579.43644h ddcm环体积公式：环体积公式：v v的近真值：的近真值：方法一：方法一：直接求不确定度直接求不确定度 先求先求v v对各变量的偏导数，对某对各变量的偏导数，对某一变量求偏导数时，把其它变量看作常数。一变量求偏导数时，把其它变量看作常数。222223.1416()()()4224vhddhdhddd222223(3.600 -2.880 ) 0.004(2 2.575 2.880 0.004)(2 2.

24、575 3.600 0.004)0.0760.08cmv222()()vddvvvhhdd（）222233.1416v ()2.575 (3.600 -2.880 )9.43579.43644h ddcm39.440.08vcm结果表示为：结果表示为：二边微分得二边微分得22221220ddvdddhdddvhdddd22221220vhddddvhdddd 22lnlnlnln()4vhdd2222222122()()()vvhddddevhdddd可得相对不确定度可得相对不确定度0.081若结果是若结果是0.073360.07336也取也取0.080.08，宁大勿小。，宁大勿小。绝对不确定

25、度为绝对不确定度为vxe v30.081 9.4360.076430.08cm结果表示为结果表示为: :39.440.08vcm 方法二：方法二：先求相对不确定度先求相对不确定度e ev v，再求不确定度再求不确定度有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算四、有效数字 数字分类：完全准确数字；有效数字。有效数字的构成(读取)：可靠数字+可疑数字(误差所在位)。 ( (i) )物体长度物体长度l估读为估读为4.27cm或或4.28cm ( (ii) )右端恰好与右端恰好与15cm刻度线对齐刻度线对齐, ,准确数字为准确数字为“15.0”，再加上估读数再加上估读数“0”，则物体长度，则物体长

26、度l的有效数字应记为的有效数字应记为15.00cm 估计值，一般为最小分度值的估计值，一般为最小分度值的1/10的整数倍的整数倍位数无限多，如1/3，等 位数有限，如0.333，3.14159等 有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算有效数字位数的特点：有效数字位数的特点：a.a.位数与仪器最小分度值有关，与被测量的大小也有关；位数与仪器最小分度值有关，与被测量的大小也有关；如用最小分度值如用最小分度值0.0.0 1mm0 1mm的千分尺测量的长度读数为的千分尺测量的长度读数为 8.3448.344mmmm，用最小分度值为用最小分度值为0.020.02mmmm的游标卡尺来测量，的游标卡

27、尺来测量，其读数为其读数为 8.34 8.34mmmm。b.b.位数与小数点的位置（单位）无关；位数与小数点的位置（单位）无关；如重力加速度如重力加速度9.80m9.80ms s2 2，0.009800.00980kmkms s2 2 或或 980980cmcms s2 2, , 9.809.80 x10 x103 3mmmms s2 2 都是三位有效数字都是三位有效数字c.c.位数粗略反映测量的误差位数粗略反映测量的误差. .位数越多，测量的相对误差就越小位数越多，测量的相对误差就越小, , 不要写成不要写成9800 mm/s2 有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算原则原则：四舍，

28、六入，整五凑偶。：四舍，六入，整五凑偶。如保留四位有效数字如保留四位有效数字: :3.1423.1422.7172.7174.5104.5103.2163.2166.3786.3783.141593.14159 2.717292.71729 4.510504.51050 3.215503.21550 6.378506.37850l l 7.6914997.691499 7.6917.691测量误差测量误差的有效位数：修约原则的有效位数：修约原则-宁大勿小、只入不舍宁大勿小、只入不舍一般保留一般保留一位，当为一位，当为1或或9时，可以保留两位。时，可以保留两位。如：如：0.00123写为写为0.

29、0013，0.0962写为写为0.10。保留末位为奇数保留末位为奇数, , 加加1，保留末位为偶数保留末位为偶数, , 不变不变 有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算3. 3. 有效数字运算有效数字运算: :规则规则: : 可靠数字与可靠数字的运算结果仍为可靠数字，可靠数字与可靠数字的运算结果仍为可靠数字，可靠数字与可疑数字或可疑数字与可疑数字的运算结果可靠数字与可疑数字或可疑数字与可疑数字的运算结果为可疑数字。运算结果只保留一位可疑数字。为可疑数字。运算结果只保留一位可疑数字。(1)加减法运算加减法运算 诸量相加（相减）时，其和（差）值在小数点后所应诸量相加（相减）时，其和（差）值

30、在小数点后所应保留的位数与诸数中小数点后位数最少的一个相同。保留的位数与诸数中小数点后位数最少的一个相同。(2)乘除法运算乘除法运算 结果的位数与所有参与运算的数字中有效数字位数最结果的位数与所有参与运算的数字中有效数字位数最少的相同少的相同(3)(3)乘方开方乘方开方 结果的位数与相应的底数的位数相同结果的位数与相应的底数的位数相同如如674.6-21.3542的结果取为的结果取为653.2如如23.4*26的结果取为的结果取为6.1*102 如如23.42的结果取为的结果取为548 有有 效效 数数 字字 及及 其其 运运 算算4. 4. 测量最终结果测量最终结果的有效数字的有效数字：100%nnnnen 位 结果的总不确定度求出并修约后，测量量结果的最结果的总不确定度求出并修约后，测量量结果的最后位与总不确定度对齐，测量量结果按四舍六入五凑偶后位与总不确定度对齐，测量量结果按四舍六入五凑偶的原则修约。的原则修约。如如由公式求得的杨氏模量由公式求得的杨氏模量 y=