tx062小波包理论在信号去噪和压缩中的应用
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江苏科技大学本科毕业设计(论文)小波包理论在信号去噪和压缩中的应用系 名:数理学院 专 业:信息与计算科学班 级:03405011学 号:0340501110姓 名:韩仲兵指导教师:王亚军数理学院2007年06月20日摘 要当今,我们正处在一个高速发展的信息时代,为了有效地利用现代通讯业务和信息处理中的宝贵资源,需要对大量的数据信息进行处理,因此信号数据压缩技术和解压缩技术成了多媒体技术的关键技术之一。本文简要研究了近年来小波分析的发展及其在信号处理方面的应用情况,然后引入了小波变换的一些基本理论,在此基础上提出了小波包变换。小波包变换对信号进行压缩和消噪的原理和小波变换的基本相同,不同的是小波包变换属于线性时频分析法,因而具有良好的时频定位特性以及对信号的自适应能力,能够对各种时变信号进行有效的分解。最后本文系统地描述了目前常用的小波包对信号消噪和压缩的方法,利用Matlab的小波工具箱中的函数进行了一些实验,通过实验结果比较看出小波包处理信号的效果好于小波变换。关键词:小波变换; 小波包变换; 信号压缩; 信号消噪AbstractToday, we are engaged in a high-speed development of the information age. In order to effectively use modern communication and information processing operations of valuable resources,we need deal with a large amount of date and information. Therefore, the signal compression and decompression technology has become one of the key multimedia technologies. This paper briefly studied the development of the wavelet analysis and its application in signal processing in recent years, and then introduced some basic theory in wavelet transform. On this basis, we recommend the wavelet packets transform. The basic method used wavelet packets transform in signal de-noising and compression is closed to the method used by wavelet transform. The differences are that wavelet packets transform have good time-frequency orienting feature and adaptive faculty in signals, so it is more effective in processing signals. At last we use Wavelet Toolbox to carry out some experiments. Comparing from the experiment, we proved the theory above.Keywords : wavelet transform ; wavelet packets transform ; signal de-noising; signal compressionII目 录摘 要IAbstract第1章 绪 论11.1 小波分析的发展历史11.2 小波包理论在信号处理中的简介21.2.1 小波包用于信号消噪处理21.2.2 小波包用于信号压缩处理3第2章 小波分析理论简介42.1 傅立叶分析42.1.1 Fourier变换42.1.2 Garbor变换-窗口Fourier变换52.1.3窗口Fourier变换的测不准原理62.2 小波分析72.2.1 克服傅立叶变换的一些不足方法72.2.2 选择小波函数的四项原则82.2.3 小波分类简介13 2.3 正交小波包与双正交小波包分析14 2.4 向量分解小波包简介15第3章小波包在信号消噪和压缩中的应用183.1 小波变换在信号处理中的应用183.1.1 小波变换在信号降噪中的应用183.1.2 小波变换在信号压缩中的应用183.2 小波包分析的特点193.3 小波包在信号消噪中的应用193.3.1 基本原理193.3.2 仿真实验203.4 小波包在信号压缩中的应用223.4.1 基本原理223.4.2 仿真实验22结 论24参 考 文 献26 附 录27致 谢30第1章 绪论小波分析作为一种新兴理论已经在科学技术界掀起了一场轩然大波。在数学家们看来,小波分析是一个新的数学分支,它是泛函分析、Fourier分析、样条分析、调和分析、数值分析的最完美结晶;在应用领域,特别是在信号处理、图像处理、语音分析以及众多非线性科学领域,它被认为是继Fourier分析之后又一有效的时频分析方法。从原则上讲,凡是传统上能使用Fourier分析的地方,都可用小波分析来代替。小波分析在对时域和频域同时具有的局部化特性,克服了传统Fourier分析的不足,而且由于它对高频采取逐渐精细的时域步长,从而可以聚焦到被分析信号的任意细节,因此小波分析具有“数学显微镜”的美称。近年来小波理论得到了进一步的发展,人们构造出同时具有多种优良性质的小波,如多函数小波、M带小波等,同时也从另外一个角度去放宽正交小波基的条件,去研究更一般的非正交向量族,如滤波器组、平移正交小波等,使得小波理论不断完善。随着小波理论的不断完善,它的应用领域也越来越广泛。小波变换与Fourier分析的本质区别在于:Fourier分析只考虑时域和频域之间的一对一的映射,它以单个变量的函数表示信号:小波分析则利用联合时间一尺度函数分析非平稳信号。小波分析与时频分析的区别在于:时频分析在时频平面上表示非平稳信号,小波分析描述非平稳信号虽然也在二维平面上,但不是在时频平面上,而是在所谓的时间-尺度平面上,在小波分析中,人们可以在不同尺度上来观察信号,这种对信号分析的多尺度分析观点是小波分析的基本特征。1.1 小波分析的发展历史任何理论的提出都有一个漫长的准备过程,小波分析也不例外。1910年Haar提出了小波规范正交基,这是最早的小波基,但是当时并没有出现“小波”这个词。1936年Littlewood和Paley对Fourier分析建立了二进制频率分量分组讨论:对频率按进行划分,其Fourier变换的相位变化并不影响函数的大小,这是多尺度分析思想的最早来源。1946年Gabor提出的加窗Fourier变换对弥补Fourier变换的不足起到了一定的作用,但并没有彻底解决这个问题。后来,Calderon,Zygmund,Stern和Weiss等人将L-P理论推广到高维,并建立了奇异积分算子理论。1965年Calderon给出了再生公式。1974年,Coifmann对一维空间和高维给出了原子分解。1975年,Calderon用他最先提出的再生公式给出了抛物型的原子分解,这一公式现在成为学多函数分解的出发点,其离散形式已接近小波展开。此后许多数学家为着各种不同目的,给出了各自函数空间上的“原子分解”、“分子分解”、“拟正交分解”、“框架分解”等。1976年,Peetre在用L-P方法给出Besov空间统一描述的同时,引入Besov空间的一组基,其展开系数的大小刻画了Besov空间本身。1981年,Stromberg通过对Haar正交基的改进,引入了Sobolev空间的正交基。这些工作为小波分析奠定了基础。1981年,法国地址物理学家Morlet在分析地址数据时基于群论首先提出了小波分析这一概念。Morlet最先提出的是形状不变的小波,因为在分析函数(信号),加窗Fourier变换并不具有形状。Morlet方法所取得的数值分析的成功不仅激发了Morlet本人对小波分析进行深入研究,而且也大大鼓舞了法国物理学家Grossmann,于是他们携手共同研究小波理论。1985年,法国大数学家Meyer首先提出光滑的正交小波基,后来被称为Meyer基,对小波理论作出了重要的贡献。1986年,Meyer及其学生Lemarie提出了多尺度分析的思想。1988年,年轻的女数学家Daubechies构造出具有紧支集的光滑正交小波基-Daubechies基,为小波的应用研究增添了催化剂,也正因此,Daubechies名扬世界。后来,信号分析专家Mallat提出了多分辨分析的概念,给出了构造正交小波基的一般方法,而在这以前构造的正交小波基具有高度的技巧性和不可模仿性。Mallat受金字塔算法的启发,以多分辨分析为基础提出了著名的快速小波算法Mallat算法(FWT)。Mallat算法的提出宣告了小波分析从理论研究走向宽广的应用研究。1990年,崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的所谓正交小波函数,并讨论了具有最好局部化性质的多尺度分析的生成函数及相应的小波函数。也是1990年Beylkin,Coifman等将小波变换应用于算子理论。1991年,Jaffard及Laurencot将小波变换应用于偏微分方程的数值解,而Wickhauser等将Mallat算法进一步深化,得到了小波包算法。从以上小波理论发展的历史我们不难发现,小波分析的提出首先是取得应用成果,再形成系统理论,最后在应用领域全面展开,这是“应用-理论应用”的过程,说明小波理论具有很高的实用价值。1.2 小波包理论在信号处理中的简介传统的数字信号分析和处理是建立在傅立叶变换的基础上,傅氏变换是平稳信号在时域与频域间互相转换的算法工具,但无法表述信号的时频局域性质;对于非平稳信号人们使用短时傅立叶变换,但它使用的是一个固定的短时窗函数是一种单一分辨力的信号分析方法,存在着不可弥补的缺陷。小波理论是在傅立叶变换的短时傅立叶变换的基础上发展起来的,它具有多分辨分析的特点,在时域和频域上都具有表征信号局部特征的能力,是信号时频分析的优良工具。小波包分析是小波分析的延伸,具有十分广发的应用价值。运用小波包分析进行一维信号消噪、压缩是小波包分析在数字信号处理中的重要运用。1.2.1 小波包用于信号消噪处理一般有用信号的频率比较低、比较平缓,噪声则一般表征为高频信号。但在实际工程中,采集的信号可能包含许多高频的突变信息,基于傅立叶变换的数字绿波(FFT)对此类信号的消噪效果不佳。采用低通滤波器滤波时,若截止频率太高,则滤波后信号中大量噪声仍残存;若截止频率太低,则表征为高频的有用信号被滤除了,FFT不能有效区分同时高频的有用信号和噪声干扰。运用小波包分析消噪时,对信号在低频段和高频段同时进行征缴小波分解,得到信号在任意频段的频段的频率成分,因此具有比FFT和小波分析更为精确的局部分析能力,重构信号可以充分抑制信号中的高频噪声,有效保存有用信号的高频部分。小波包分解和重构信号时,无冗余、无泄漏、信息量完整,是非常理想的消噪应用工具。小波变换作为信号处理的一种手段,逐渐被越来越多的理论工作者和工程技术人员所重视和应用,并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比,小波变换产生了质的飞跃,在信号处理方面具有更大的优势,比如小波分析可以用于电力负载信号的分析与处理、小波变换可以用于语音信号的分析、变换和综合,还可以检测噪声中未知瞬态信号等。由实验可以看出经过小波包处理后的信号比经过小波分析处理后的信号区分度更强,处理的效果更好。1.2.2 小波包用于信号压缩处理当今,我们正处在一个高速发展的信息时代,为了有效地利用现代通讯业务和信息处理中的宝贵资源,需要对大量的数据信息,因此信号数据压缩技术和解压缩技术成了多媒体技术的关键技术之一。但是经典信号压缩算法已不能满足实际应用的需要,迫切需要有更高压缩效率和适用于各种需要的新压缩算法。经典压缩算法一般是在时域或者频域进行分析和操作,因而经典信号压缩算法只是利用了信号的部分特征,研究人员希望同时利用两个域的特征,兼容时域和频域分析的优越性。另外经典压缩算法一般使用的DCT和傅立叶变换是用余弦曲线和正弦曲线作为它们的正交函数基,但这些函数都不是紧支集。而我们在实际应用中处理的大部分是瞬态信号。特别地,在信号处理中许多重要特征(例如边缘)也是空间位置高度局部化的,如果使用一般的变换,这些瞬态和局部化成分的信息就很难得到最佳表示。实际上,DCT和傅立叶变换能用余弦和正弦函数表示任何分析函数,甚至是一个瞬态信号,但这种表示在函数频谱上会呈现相当混乱的构成。为了克服这种缺陷,研究人员已经发现若干种使用优先宽度的基函数,我们称之为小波。使用这些基函数的变换被称之为小波变换。小波包分析是近些年在小波分析的基础上发展起来的,将信号在小波包最优基下展开,利用小波包最优基极好的空间、尺度定位性,使得信号的小波包变换系数在小波变换域尽可能的集中,从而使在不降低压缩信号的质量情况下,进一步地提高信号压缩比成为可能。第2章 小波分析理论简介 2.1 傅立叶分析2.1.1 Fourier 变换1807年,法国数学、物理学家傅立叶(Jean Baptistle Joseph Fourier ,1786-1830),提出任意一个周期为的函数,都可以用三角级数表示: (2.1) (2.2) (2.3)对于离散的时程,即个离散的测点值,为测量时间 (2.4) 其中 , (2.5) , (2.6) , (2.7) , (2.8)当时,化为傅立叶积分(即 Fourier 变换): (2.9) (2.10)傅立叶变换的理论是人类数学发展史上的一个里程碑,从1807 年开始,直到1966年(1807年傅立叶提出任意一个周期函数都可以表示为傅立叶级数的结论是有误的,直到1966年才证明了可积的周期函数才能表示为傅立叶级数),整整用了一个半世纪多,才发展成熟。它在各个领域产生了深刻的影响,得到了广泛的应用,推动了人类文明的发展。其原因是,傅立叶理论不仅仅在数学上有很大的理论价值,更重要的是傅立叶变换或傅立叶积分得到的频谱信息具有物理意义。数学上的插值方法除了傅立叶级数外,还有拉格朗日插值,有限元插值,勒让德多项式插值即高斯积分使用的插值方法,但是这些理论都具有一定的局限性:(1)傅立叶变换的三种形式中的傅立叶系数都是常数,不随时间变化,因而只能处理频谱成分不变的平稳信号,相反的,在处理非平稳信号时会带来很大误差,甚至与实际情况大相径庭。(举例:无阻尼与有阻尼的单自由度的自由振动、打秋千、座钟、讨论会与大合唱等)。在实际信号中,若高频与低频差别很大,在相同的时间间隔内,高频信号衰减了而低频信号尚未衰减,所以,在不同时刻,信号的频谱成分是不同的。硬要用傅立叶变换找出所有时刻的频谱成分,硬要把幅值的变化用频率的变化来补偿,不仅高频的傅立叶系数有误差,低频的傅立叶系数也有很大误差,包括求出的频率当然也有误差。 (2)求傅立叶系数是全时间域上的加权平均,这从上面的(2.5)、(2.6)、(2.7)公式可以清楚看到。局部突变信息被平均掉了,局部突变信息的作用很难反映出来。差别很大的信号,如方波、三角波、正弦波,都可以得到相同的频率,所以,处理、捕捉突变信号如故障信号,灵敏度很差。处理、捕捉突变信号应使用能反映局部信息的变换。 为了克服以上两点局限性,这就要求:(1)将变换系数视为随时间变化的,级数求和由一重变为两重。(2)使用能反映局部信息的变换,则函数组不能使用全域上的函数,只能使用有所谓紧支撑的函数,即“小波函数”或 加窗傅立叶变换的窗函数。2.1.2 Garbor 变换窗口 Fourier 变换 在时间频率分析中, Fourier 变换公式的不足已经被 D. Garbor 注意到了,在 1946 年的论文中,为了提取信号的Fourier 变换的局部信息,引入了一个时间局部化的 Gaussian 函数作为“窗函数”,其中参数用于平移动窗以便覆盖整个时间域。因为一个 Gaussian 函数的Fourier 变换还是Gaussian 函数,所以Fourier 逆变换即频率也是局部的。窗口 Fourier 变换简介:对于时间局部化的“最优”窗,用任意Gaussian 函数 (2.11)“Garbor 变换”的定义为 (2.12)由于 (2.13)所以 (2.14)令 (2.15)利用 Parseval 恒等式, (2.16)这个等式说明,除去乘数项 之外,在 具有窗函数的的“窗口 Fourier 变换”,与在 具有窗函数的的“窗口 Fourier 逆变换”一致,根据窗函数 的宽度是的结论,这两个窗的宽度分别是和 这两个窗的笛卡儿积是 加窗傅立叶变换的“时间频率窗”的宽度对于观察所有的频率是不变的。在较长的时间窗内,对于高频信号,可能经过了很多周期,因而求出的Fourier 变换系数是很多周期的平均值,局部化性能不能得到体现。若减小时间窗(减小),高频信号局部化性能得到体现,但对于很低的频率信号来讲,检测不到。总上所述,加窗傅立叶变换对于高频与低频差别很大的信号仍不是很有效的。2.1.3 窗口 Fourier 变换的测不准原理对于一个非平凡函数,若满足 (A)条件,则可作为短时窗口 Fourier 变换的窗函数,若其Fourier 变换也满足上述条件,那么 (B)而且等号成立,有且仅有 (C)其中 。小结:(1)傅立叶级数的正弦与余弦系数为常数,不能反映振幅变化的情况;(2)求傅立叶系数需要所考虑的时间域上所有信息,不能反映局部信息的特征;(3)加窗傅立叶变换时间窗是固定不变的,高频与低频的时间局部化不能同时满足。2.2 小波分析2.2.1 克服傅立叶变换一些不足的方法将时程函数表示为下面的小波级数: = (2.17) (2.18)其中,是小波函数,是小波系数,且 (2.19) 由公式(2.17)到(2.19)可以看到,小波级数是两重求和,小波系数的指标不仅有频率的指标,而且还有时间的指标。小波系数不仅像傅立叶系数那样,是随频率不同而变化的,而且对于同一个频率指标在不同时刻,小波系数也是不同的。这样就克服了上面所述的第一个不足。由于小波函数具有紧支撑的性质,即某一区间外为零。这样在求各频率水平不同时刻的小波系数时,只用到该时刻附近的局部信息,从而克服了上面所述的第二个不足。与有限元比较:在这一点,小波插值要比有限元好,有限元虽然是局部的“单元插值”,但单元之间的公共节点上,只能保证阶连续,而导数不连续。小波插值可保证二阶导数连续,只要选三次样条小波就能做到。第三个不足,小波分析是如何克服的呢?通过与加窗傅立叶变换的“时间频率窗”的相似分析,可得到小波变换的“时间频率窗”的笛卡儿积是 (2.20)其中,时间窗的宽度为 ,随着频率的增大(即的增大)而变窄,随着频率的减小(即 的减小)而变宽,之所以有这样的结果,关键在于公式(2.18)中,时间变量前面乘了个“膨胀系数” 。小波变换的“时间频率窗”的宽度,检测高频信号时变窄,检测低频信号时变宽,这正是时间频率分析所希望的。根据小波变换的“时间频率窗”的宽度可变的特点,为了克服上面所述的第三个不足,只要不同时检测高频与低频信息,问题就迎刃而解了。比如选择从高频到低频的检测次序,首先选择最窄的时间窗,检测到最高频率信息,并将其分离。然后,适当放宽时间窗,再检测剩余信息中的次高频信息。再分离,再放宽时间窗,再检测次次高频信息,依次类推。为了检测到不同频率水平信息,即求出不同频率水平下不同时刻的小波系数,首先要选好小波函数。2.2.2 选择小波函数的四项原则在求小波系数公式(2.19)中,如果 是空间的正交基,则的为的复共轭。小波分析的最重要的应用是滤波,为了保证滤波不失真,小波函数必须具有线性相位,至少具有广义线性相位。小波分析的另一重要应用是捕捉、分析突变信号,这就要使用函数的导数,小波函数至少是连续。由前面分析可知,小波函数必须具有紧支撑的性质。所以,正交、线性相位、连续、紧支撑是选择小波函数的“四项原则”。为了进行小波分解与重构,“四合一”的小波函数不存在,数学家们“一分为四”,选择了四个函数,巧妙地解决了这些问题。这四个函数是:尺度函数 ,小波函数 ,对偶尺度函数 ,对偶小波函数 。为什么要选择四个函数呢?由前面小波变换的“时间频率窗”分析可知,小波变换的“时间频率窗”的宽度,当检测高频信号时变窄,检测低频信号时变宽。为了检测到所有频率信号,“时间频率窗”的宽度必须按一定的次序变化,不失一般性,从窄到宽,检测频率信号从高频到低频的次序进行实际上也正是这样的次序。在最高频率水平 (即根据实测数据的时间测量间隔,最高能检测到的频率为 Nyquist 频率 ),选择最窄的“时频窗”宽度,检测到原始信号中的最高频率信号,并将这些信号从原始信号中剥离,存放在空间,而将剥离后的剩余低频信号的总合,存放在另一空间。然后,增大“时频窗”的宽度,再检测空间中的高频信息,将这些信号从空间中剥离,存放在空间,而将剥离后的剩余低频信号的总合,存放在另一空间。依次类推。这就要求有两个互相有联系的空间: , 子空间性质简介:(1)(2)(3) , 即 (2.21)(4)(5) (6) 这样,对于参考子空间,需要单个函数在意义 (2.22) 上生成,其中, (2.23)对于参考子空间,需要单个函数在意义 (2.24)上生成,其中, (2.25)首先,这就要求有两个函数:和,前者称为尺度函数,后者称为小波函数。并且,它们有关。由(2.21)中的(1)式可知,由(4)式可知,而是的一个基,所以存在唯一的序列、 (2.26) (2.27)并引入记号 (2.28) (2.29)(2.26)称为尺度函数的“两尺度关系”,(2.27)称为小波函数的“两尺度关系”,称为尺度函数的“两尺度符号”,称为小波函数的“两尺度符号”。为了由高频到低频逐次检测到不同频率水平的信息,仅有上述两个函数是不够的。由前面分析可知,公式(2.17)中的小波函数与求小波系数使用的与作内积的函数不是同一个函数,除非使用正交的小波函数。这就要求寻找尺度函数与小波函数的对偶函数:对偶尺度函数 、对偶小波函数 ,以便分解原始信号时能求出小波系数来。对偶关系简介:与(2.26)(2.29)相对应,有 (2.30) (2.31) (2.32) (2.33)为了满足对偶关系,必须满足以下对偶条件: (2.34) (2.35)与(2.34)、(2.35)等价的条件是: , (2.36) , (2.37), (2.38) , (2.39)其中 ,为的共轭,为的共轭, (2.40) (2.41)由(2.36)和(2.38)便可以得到 的基到和中的基分解关系: (2.42)由(2.42)式便可得到频率水平子空间和中向量坐标的分解算法 (2.43) (2.44)其中 (2.45) (2.46)根据两尺度关系,便可得到频率水平子空间中向量坐标的重构算法: (2.47)有了上述的系数,就可以使用多分辨分析的金字塔算法,快速求出小波系数。以三次样条函数尺度函数 为例,其步骤如下:1.将投影到上 (2.48)2.小波分解算法使用多分辨分析的金字塔算法 / / / (2.49) (2.50) (2.51) (2.52) (2.53)而、是符号多项式、的系数: (2.54) (2.55) (2.56)3.小波重构算法 / / / 2.2.3 小波分类简介1.正交小波正交小波的两个族与满足:(1)(2)(3)(4)用振动的语言形象的比喻:是子空间的低阶振型,是子空间的高阶振型,。2半正交小波 半正交小波的四个族、与满足:(1)(2) (3) ,,;。(4) 是子空间的低阶振型的线性组合,即低阶剩余模态。(5) 是子空间的高阶振型的线性组合,即高阶剩余模态。(6) ,(7) 3 小波 小波的与满足:(1)(2)正交性都是相对于对偶来说的,本身都不是正交族,只是线性无关族。2.3 正交小波包与双正交小波包分析从上面介绍的多分辨分析的金字塔算法进行小波分解可以看到,每次分解,都是对进行的 :对进行小波分解,将分解为和;再对进行小波分解,将分解为 和,依次类推。而各子空间不再分解,也就是说,每次都是对低频进行再分解,而高频不再分解。究其原因,便是的基向量到和基、有分解关系(2.42),而的基向量没有相应的分解关系。事实上,与、是线性无关的。显然,高频的时间频率局部化不是最优的。为了克复这个缺点,必须使用小波包的分解方法。 无论正交小波包还是双正交小波包,与小波的最基本的区别在于它们具有 (2.57)根据这个特殊的正交的两尺度关系,可以定义关于尺度函数的“小波包”: (2.58)并且,小波包族 具有下属正交性: (2.59) (2.60)因此有分解关系: , (2.61)小波分解中的关系: (2.62)现在可以改写作: (2.63)并且,(2.63)式可以由推广到任意一 : (2.64) (2.65)这样,对于正交小波的小波分解得到的 (2.66)对于每个,可以用小波包再分解: (2.67)双正交小波包与正交小波包类似,略去。2.4 向量分解小波包简介上面介绍了正交小波包与双正交小波包分解,与小波分解的最基本的区别在于它们具有(2.57)式 因而导出了正交小波包和双正交小波包的分解。正如前面提到的,小波分解与小波包分解的共同点,都是高频空间的基向量能向低频空间的基向量分解,若不能分解,便进行不下去。如小波分解中,的基向量 没有相应的分解关系,所以不能再分解。小波包克服了这种弊病,得到了各子空间都能适用的基向量分解关系式(2.65),才解决了这个问题。我们能不能跳出基向量能分解才能分解的框框呢?即,基向量不能分解时也能分解?答案是肯定的,这就是向量分解小波包的理论。现在,让我们从小波重构关系式(2.47), 出发,导出向量分解小波包的理论。首先,将(2.47)改写为矩阵的形式 : (2.68)其中,矩阵、 由两尺度序列、中的数组成。我们把矩阵、的每一列,看成向量空间的一个向量,把也看成向量空间的一个向量,那么,就是这些矩阵、的列向量的一个线性组合: (2.69)问题是,这些矩阵、的列向量是否线性无关?由分解等式(2.43)和(2.44)可知,当为零向量时,这就得出了矩阵、的列向量是线性无关的结论。因此,可以把矩阵中的个列向量看成维向量空间的一组基。找到了维向量空间的一组基,就可以对任意维向量进行分解,继而找出在这组基下的坐标。只要认准被分解的对象是维向量空间的一个向量,而不是再看做或中向量的坐标。这样,在小波分解中,不仅得到各频率水平的坐标可按原来的步骤和方法进行分解,而且得到的各频率水平的坐标也可按向量分解的理论进行再分解,并且分解的步骤和方法可以和对坐标 进行再分解的完全一样。可能有人会产生疑问:前面讲到,现在中的向量怎么又变成中的向量呢?其实,这里使用了“移花接木”的技巧。我们现在对中的向量分解,是通过对其坐标 的分解来实现的。其中中的向量等于 (2.70)既然要求的是等于什么,而不是等于什么,不妨把拿来,虚构中一向量, (2.71)就可以对进行分解了,在分解过程中,使用的是、,求的是新的和,而根本就不出现,只要保证分解后低频与高频分离即可。既然分解,低频与高频能分离,那么,分解,同样低频与高频可以分离的。其实从(2.68)式中两个矩阵、的组成,都是两尺度序列、中的数,不难看出中的列相当于低阶振型,中的列相当于高阶振型。以后的工作和小波包的分解类似,只不过这里是直和分解,不是正交分解罢了。前面曾提到,小波分解的第一步,将投影到上(见公式(2.48)。由于投影到上求小波系数要解方程,很费时间,所以可以近似地把原始数据作为小波系数,误差不大。用向量分解小波包的理论来看,这并非是近似的,而是精确的。事实上,使用上面“移花接木”的技巧,虚构 中一向量 = (2.72) 是原始数据组成的向量。那么,就是中的向量的坐标。只要对它进行分解与重构就可以了。有了向量分解小波包新理论,可以在分解过程中,把各种小波组合到一起,例如,求 时,可以用三次样条小波,这样确保滤波重构不失真、求导精度高的长处,在分解的时候,可使用正交分解的分解序列系数,以提高分解效率。第3章 小波包在信号消噪和压缩中的应用因为小波包对信号进行消噪和压缩的算法思想和小波分析中的基本相同,我们先引入小波变换处理信号的的些基本原理和方法,在此基础上,再进行小波包对信号的处理。3.1 小波变换在信号处理中的应用3.1.1 小波变换在信号降噪中的应用小波分析的重要应用之一就是用于信号降噪,首先简要地阐述一下小波变换实现信号消噪的基本原理。含噪的一维信号模型可以表示如下: ,式中为含噪信号,为有用信号,为噪声信号。这里假设是一个高斯白噪声,通常表现为高频信号,而工程实际中通常为低频信号或者是一些比较平稳的信号。因此我们可按如下方法进行消噪处理:首先对信号进行小波分解,由于噪声信号多包含在具有较高频率的细节中,从而可以利用门限、阈值等形式对分解所得的小波系数进行处理,然后对信号进行小波重构即可达到对信号消噪的目的。对信号消噪实质上是抑制信号中的无用部分,增强信号中的有用部分的过程。一般地,一维信号消噪的过程可分为如下3个步骤。步骤1:一维信号的小波分解。选择一个小波并确定分解的层次,然后进行分解计算。步骤2:小波分解高频系数的阈值量化。对各个分解尺度下的高频系数选择一个阈值进行软阈值量化处理。步骤3:一维小波重构。根据小波分解的最底层低频系数和各层高频系数进行一维小波重构。这3个步骤中,最关键的是如何选取阈值以及进行阈值量化。在某种程度上,它关系到信号消噪的质量。3.1.2 小波变换在信号压缩中的应用应用一维小波分析之所以能对信号进行压缩,是因为一个比较规则的信号是由一个数据量很小的低频系数和几个高频层的系数所组成的。这里对低频系数的选择有一个要求,即需要在一个合适的分解层上选取低频系数。对一维信号进行压缩,可以选用小波分析和小波包分析两种手段进行,主要包括以下几个步骤构成:步骤1:信号的小波(或小波包)分解。步骤2:对高频系数进行阈值量化处理。对第1到第N层的高频系数,均可选择不同的阈值,并且用硬阈值进行系数的量化步骤3:对量化后的系数进行小波(或小波包)重构。由上可以看出,信号的压缩与消噪相比,主要差别在第二步。一般地,有两种比较有效的信号压缩方法,第一种方法是对信号进行小波尺度的扩展,并且保留绝对值最大的系数。在这种情况下,可以选择使用全局阈值,此时仅需要输入一个参数即可。第二种方法是根据分解后各层的效果来确定某一层的阈值,且每一层阈值可以是互不相同的。3.2 小波包分析的特点小波包分析属于线性时频分析法,它具有良好的时频定位特性以及对信号的自适应能力,因而能够对各种时变信号进行有效的分解。实际上,在许多问题中我们只是对某些特定时间段或频率段的信号感兴趣,只要提取这些特定时间或频率点上信息即可。因此我们自然希望在感兴趣的频率点上最大可能地提高频率分辨率,在感兴趣的时间点上最大程度地提高时间分辨率,而正交小波变换的多分辨率分解只将尺度空间进行了解,而没有对小波空间进行进一步的分解。而通过对小波空间进行进一步分解,可使正交小波变换的频率窗口进一步分割变细,这就是小波包变换的基本思想。小波包方法是对信号进行时频分解的一种方法,它具有对信号特征的自适应性,因而能够有效地显示信号的时频特征,小波包分解是通过正交镜像滤波器进行的。假设信号为y(t),则有以下递推公式: 函数系称作正交小波包,它是原信号在各种尺度上所有频段的全部分解结果。令,则为信号对尺度在频段上的分解结果。小波包可以组成许多不同正交基的分解结果,其中比较典型的有小波基和子波基,对于所有的组合选取熵最小者,即得到最佳基。最佳基的分解结果最能表征信号的时频特性,因而体现了该方法对于信号的自适应性。信号经过小波包分解并选出最优基后,需要将最佳基上的分解结果在时频面上表示出来。如果原离散信号的样本数为,则分解结果可以表示为时频面上的个面积为的相邻小矩形(和分别为时间和频率分辨率)。3.3 小波包在信号消噪中的应用3.3.1 基本原理在小波包分析中,其信号消噪的算法思想和在前面一章中讨论的小波分析中基本相同(见1.1节),所不同的就是小波包提供了一种更为复杂,也更为灵活的分析手段。因为小波包分析对上一层的低频部分和高频部分同时进行分解,具有更加精确的局部分析能力。对信号进行小波包分解时,可以采用多种小波包基。通常根据分析信号的要求,从中选择最好的一种小波包基,即最优基。最优基的选择标准是熵标准。在Matlab的小波工具箱中可通过besttree函数进行最优基的选择,即计算最优树。应用小波分析对信号进行消噪处理是它的一个最基本的功能。一般地,按照如下步骤进行:(1)信号的小波包分解。选择一个小波并确定所需分解的层次,然后对信号进行小波包分解。(2)确定最优小波包基。对于一个给定的熵标准,计算最优树(3)小波包分解系数的阈值量化。对于一个给定的熵标准,选择一个恰当的阈值并对系数进行阈值量化。(4)信号的小波包重构。根据最低层的小波包分解系数和经过量化处理系数,进行小波包重构。在以上各步中,最关键的是如何选取阈值和进行阈值量化,在一定程度上,它直接关系到对信号进行消噪处理的质量。3.3.2 仿真实验例3.1:利用小波包分析对一个给定的含噪信号进行消噪处理。结果如图3.1所示,可以明显看出,小波包很好地消除了原始信号中的噪声。图3.1 小波包用于信号消噪例3.2:利用小波分析和小波包处理信号的对比实验由实验结果可以看出经过小波包处理后的信号比经过小波分析处理后的信号区分度更强,处理的效果更好。 图3.2 小波分析与小波包处理信号的对比实验3.4 小波包在信号压缩中的应用3.4.1 基本原理在小波包分析中,其信号压缩的算法思想和在小波分析中的基本相同,所不同的就是小波包提供了一种更为复杂,也更为灵活的分析手段。因为小波包分析对上一层的低频部分和高频部分同时进行分解,具有更加精确的局部分析能力。 在用小波包分析进行信号压缩处理中,最关键的是如何选取阈值和进行阈值量化,在一定程度上,这直接关系到对信号进行压缩处理的质量。3.4.2 仿真实验例3.3利用小波包分析对一个给定的一维信号进行压缩处理。结果如图3.3所示图3.3 小波包用于信号压缩perf0=38.7452perfl2=99.0404这说明上述压缩过程保留了99.04%的能量,压缩率为38.74%。例3.4:利用小波分析和小波包对同一信号压缩处理 经小波分析处理后的图像 经小波包处理后的图像图3.4 小波分析与小波包压缩图像的对比实验通过对比实验我们可以看出经过小波包压缩后的图像比小波分析处理效果更好,区分度更高,其原因就是因为小波包分析对低频和高频部分同时进行分解,具有更加精确的局部分析能力。结 论传统的数字信号分析和处理是建立在傅立叶变换的基础上,傅氏变换是平稳信号在时域与频域间互相转换的算法工具,但无法表述信号的时频局域性质;对于非平稳信号人们使用短时傅立叶变换,但它使用的是一个固定的短时窗函数是一种单一分辨力的信号分析方法,存在着不可弥补的缺陷。小波理论是在傅立叶变换的短时傅立叶变换的基础上发展起来的,它具有多分辨分析的特点,在时域和频域上都具有表征信号局部特征的能力,是信号时频分析的优良工具。小波包分析是小波分析的延伸,具有十分广发的应用价值。小波包分析属于线性时频分析法,它具有良好的时频定位特性以及对信号的自适应能力,因而能够对各种时变信号进行有效的分解。实际上,在许多问题中我们只是对某些特定时间段或频率段的信号感兴趣,只要提取这些特定时间或频率点上信息即可。因此我们自然希望在感兴趣的频率点上最大可能地提高频率分辨率,在感兴趣的时间点上最大程度地提高时间分辨率,而正交小波变换的多分辨率分解只将尺度空间进行了解,而没有对小波空间进行进一步的分解。而通过对小波空间进行进一步分解,可使正交小波变换的频率窗口进一步分割变细,这就是小波包变换的基本思想。小波包方法是对信号进行时频分解的一种方法,它具有对信号特征的自适应性,因而能够有效地显示信号的时频特征,小波包分解是通过正交镜像滤波器进行的。假设信号为y(t),则有以下递推公式: 函数系称作正交小波包,它是原信号在各种尺度上所有频段的全部分解结果。令,则为信号对尺度在频段上的分解结果。小波包可以组成许多不同正交基的分解结果,其中比较典型的有小波基和子波基,对于所有的组合选取熵最小者,即得到最佳基。最佳基的分解结果最能表征信号的时频特性,因而体现了该方法对于信号的自适应性。信号经过小波包分解并选出最优基后,需要将最佳基上的分解结果在时频面上表示出来。如果原离散信号的样本数为,则分解结果可以表示为时频面上的个面积为的相邻小矩形(和分别为时间和频率分辨率)。运用小波包分析进行一维信号消噪、压缩是小波包分析在数字信号处理中的重要运用。本论文先简要研究了小波分析的发展历史和基本的理论,在此基础上引入了小波包变换。接着我们讨论了小波分析和小波包在信号消噪和压缩中的一些基本原理。最后通过小波分析和小波包处理信号的对比实验,可以看出小波包比小波分析处理信号的效果更好,区分度更高。通过实验我们得出下面两条结论: 1. 运用小波包分析消噪时,对信号在低频段和高频段同时进行正交小波分解,得到信号在任意频段的频率成分,因此具有比FFT和小波分析更为精确的局部分析能力,重构信号可以充分抑制信号中的高频噪声,有效保存有用信号的高频部分。小波包分解和重构信号时,无冗余、无泄漏、信息量完整。信号消噪的步骤:(1)信号的小波包分解。选择一个小波并确定所需分解的层次,然后对信号进行小波包分解。(2)确定最优小波包基。对于一个给定的熵标准,计算最优树(3)小波包分解系数的阈值量化。对于一个给定的熵标准,选择一个恰当的阈值并对系数进行阈值量化。(4)信号的小波包重构。根据最低层的小波包分解系数和经过量化处理系数,进行小波包重构。在以上各步中,最关键的是如何选取阈值和进行阈值量化,在一定程度上,它直接关系到对信号进行消噪处理的质量2. 基于小波包变换的信号压缩方法能获得比基于其他变换的信号压缩方法更好的压缩效果。该方法能在高压缩比的情况下保持良好的重建信号质量,这是因为它具有很好的能量集中能力、具有很大的可选择性、能有效保留原始信号的细节和边缘,是一种与信号压缩方法相适应的高效的信号压缩方法。参 考 文 献1 Daubechie I.Ten lectures on wavelets.Philadelphia:SIAM Publ,19922 Wavelet Toolbox Users Guide.Mathworks Inc,2004 3 (美)崔锦泰著.小波分析导论.程正兴译.西安:西安交通大学出版社,19954 秦前清.杨宗凯编著.实用小波分析.西安:西安电子科技大学出版社,19945 程正兴著.小波分析算法与应用.西安:西安交通大学出版社,19986 杨福生著.小波变换的工程分析与应用.北京:科学出版社,19997 彭玉华著.小波变换与工程应用.北京:科学出版社,19998 李建平著.小波分析方法与应用.重庆大学出版社,19999 胡昌华,张军波等编著.基于MATLAB的系统分析与设计小波分析.西安:西安电子科技大学出版社,199910 成礼智,王红霞等著.小波的理论与应用.北京:科学出版社,200511 赵瑞真.小波理论及其在图像、信号处理中的算法研究.西安:西安电子科技大学,2001,6附 录例3.1:利用小波包分析对一个给定的含噪信号进行消噪处理。%装载原始信号并图示之load noismima;s=noismima(1:1000);figure(1);subplot(2,2,1);plot(s);xlabel(样本序号n);ylabel(幅值 A);title(原始信号);%采用默认阈值、用wdencmp函数进行消噪处理thr,sorh,keepapp,crit=ddencmp(den,wp,s);%用全局阈值选项进行消噪处理c,treed,perf0,perfl2=wpdencmp(s,sorh,3,db2,crit,thr,keepapp);subplot(2,2,3);plot(c);xlabel(样本序号n);ylabel(幅值 A);title(默认阈值消噪信号);%根据前面的消噪效果,调节阈值大小进行消噪thr=thr+15c1,treed,perf0,perfl2=wpdencmp(s,sorh,3,db2,crit,thr,keepapp);subplot(2,2,4);plot(c1);xlabel(样本序号n);ylabel(幅值 A); title(调节阈值后的消噪信号);例3.2给出了用小波分析和小波包处理信号的实验%设置信噪比和随机种子值snr=4;init=2055615866;%产生原始信号sef和被高斯白噪声污染的信号
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