流体力学相似原理和量纲分析PPT学习教案

1、会计学1 流体力学相似原理和量纲分析流体力学相似原理和量纲分析 以相似理论为基础的模型试验法（常规试验程序： 小中生产规模） 优点：易于控制、调节、节省投资； 试验参数少，工作量小； 实验充实数学分析，同时数学分析指导实验 。 第1页/共67页 为了实验流场与真实流场具有一定的对应关 系（相似性），实验中的各物理参数应 该如何确定？模型实验中的各种测量值 应该如何被换算为实物上的相应值？ 如何科学地设计实验，正确有效地反映出相 关物理参数之间的实质性联系。 目的 例：圆管的压强损失与圆管的长度、流体的密度、粘度、平均速度和圆管直径、粗糙度有关。 d f d l v p Re, 2 第2页/共6

2、7页 主要内容 4.1 流动的力学相似 4.2 动力相似准则 4.3 流动相似的条件 4.4 近似模型试验 4.5 量纲分析法 第3页/共67页 几何相似 同类现象 相似现象 4.1 流动的力学相似 流动相似 形状相似尺度成比例 遵循同一方程 物理量成比例 尺度成比例 速度成比例 力成比例 几何相似 运动相似 动力相似 第4页/共67页 长度比例尺： l l k l 面积比例尺： 2 lA kk 体积比例尺： 3 lV kk 模型与原型对应线性长度比例相等（相似前提条件） 。 第5页/共67页 速度比例尺： v v kv 时间比例尺： v l t k k vl vl t t k / / 模型与

3、原型流场中所有对应点上、对应时刻的流速方 向相同，大小成同一比例（流动相似的表现）。 第6页/共67页 vl t l V V qv kk k k tl tl q q k 2 3 3 3 / / l v t v a k k k k tv tv a a k 2 / / vl t l kk k k tl tl k 2 2 2 / / l v k k lv lv k / / 第7页/共67页 力比例尺： i i g g p p F F F F F F F F F k 上述四种力分别代表 总压力、切向力、重 力和惯性力。 密度比例尺： 22 vl F Va F i i kk k kk k aVF VaF

4、 k 模型与原型流场中所有对应点流体微团上受到的各 种力方向相同，大小成同一比例（流动相似的主导 因素）。 第8页/共67页 223 vlalF kkkkkk aV aV k 23 vllFM kkkkk Fl lF M M k 2 / / v A F p p p kk k k AF AF p p k 32 vlvFP kkkkk Fv vF P P k vlk kkkkk 第9页/共67页 动力相似（受力相似）用相似准则（相 似准数）的形式来表示，即：要使模型流动 和原型流动动力相似，需要这两个流动在时 空相似的条件下各相似准则都相等。 第10页/共67页 Ne vl F kkk k dtd

5、vV dtdvV F F vl F 2222 1 / / 由力比例尺可得： （牛顿数） NeNe 模型与原型的流场动力相似，则（牛 顿相似准则） 作用力与惯性力之比 1.重力相似准则 gl g g F kkk Vg gV F F k 3 （弗劳德数） 各单项力作用下的相似准则： 惯性力与重力之比 4.2 动力相似准则 maF （牛顿第二定律 ） r gl v F gl v kk k 2/1 2 1 第11页/共67页 2. 粘滞力相似准则 Re 1 / / vlvl k kkk kkk Adydv Aydvd F F k vl lv x x F （雷诺数） 惯性力与粘滞力之比 3. 压力相似准

6、则 Eu v p kk k kk pA Ap k v p lpF 22 2 1 （欧拉数） 总压力与惯性力之比 欧拉数中的压强p也可用压差p来代替，即 2 v p Eu 1 22 vl F kkk k 第12页/共67页 v lf Sr 4. 非定常性相似准则（由时间比例尺可得） 对于非定常流的模型试验，必须使模型与原型的流动随时间的变化相似。 Sr vt l kk k kkkk tvV tvV F F k tv l tvl x x it it F 1 13 （斯特劳哈尔 数或谐时数） 当地加速度引起的惯性力之比 当地惯性力与迁移惯性力之比 1 22 vl F kkk k 第13页/共67页

7、5. 弹性力相似准则 对于可压缩流的模型试验，要使流动相似，由压缩引起的弹性力场必须相似 Ca K v k kk kk AVKdV AVVdK dpA Apd k K v lKF 2 2 2 1 / / （柯西数） 惯性力与弹性力之比 体积模量比例尺 Ma c v cK 2 /（马赫数） 对于气体： 1 22 vl F kkk k 第14页/共67页 以上分析可知：物理现象中物理量不是单个起作用 的，而是由其组成的准则起作用的微分方程式的 解应是准则方程式。 We lv k kkk kk l l F F k vl lF 2 2 （韦伯数） 表面张力比例尺 惯性力与张力的比值 第15页/共67页

8、 4.3 流动相似的条件 第16页/共67页 vg l 单值条件中的各物理量称为定性量，如密度，特 征长度 ，流速 ，粘度 ，重力加速度 ； vlRe glvFr 由定性量组成的相似准则数称为定性准则数，如雷诺 数弗劳德数 p v 2 vpEu 包含被决定量的相似准则数称为非定性准则数，如压 强 与流速 总是存在一定关系，那么欧拉数 便是非定性准则数。 第17页/共67页 min h 352 250,0.14/ ,7.5 10/ v dmm qmsms 1/5 l k min 60hmm 解：油池最小油深 250/550 l dd kmm 试验条件：（几何相似）模型输出 管内径 minmin

9、/60 5300 l hhkmm （重力场相似）弗劳德数相等 第18页/共67页 1/2 5/2 1/225/2 1 0.01789 5 V vlqlvl vg l kkkkkk vgl 33 0.14 0.017892.504 10/ V VVq qqkms （粘性力相似）雷诺数相等 / vl vl kkk vl 如果采用同一状态流体， 与重力场相 似矛盾，所以必须改变流体粘度。 1 1 vl kkk 3/2 1/23/2 1/50.08944 vllll kk kkkk 562 7.5 100.089446.708 10/kms 第19页/共67页 第20页/共67页 2 1 1 1 /0

10、.07348/0.044091.6666 1/1.66660.6 vlvl l vl kkkkk kk kk 另一流束参数： /7.5/1.66664.5 /12/1.66667.2 /12.5/0.620.83/ l l v ddkcm llkm vvkm s 解：流体破裂是受粘性力和表面张力的共同作 用，其流动相似的条件是雷诺数和韦伯数同时 相等。 第21页/共67页 第22页/共67页 去判别相似的作用，这种状态称为去判别相似的作用，这种状态称为 自模化状态。自模化状态。 1/2 1/2 vl vg l kk vgl / vl vl kkk vl 重力场相似（弗劳德数相等） 粘性力场相似

11、（雷诺数相等） 1k 要同时满足 （常常难以办到） 第23页/共67页 关于自模化区实验 设计模型实验只要求流动处于同一自模化区， 而不必要求两个流动的动力相似参数严格相等。 例：管道湍流进入平方阻力区，沿程损失系数与 Re无关； )100log( 尼古拉兹曲线 log(Re) 圆柱绕流 例：圆柱绕流Re=1033105，CD几乎不随Re变化 。 第24页/共67页 解：模型闸前水深 6/200.3 l hh km 1/21/2 /2 208.944/ vl vvkvkm s 流动相似，弗劳德数相等： 1/2 vl kk 第25页/共67页 21/25/25/23 /0.03 2053.67/

12、 V VVqVllVl qqkqkkqkms 3335 /92 207.36 10 Fgll FFkFk k kFkN 447 /110 201.76 10 MFll MMkMk kMkN m 第26页/共67页 1.5dm 3 1/7.5,1.6/ lV kqms 3 4.0/ v qms 2697,137,2.94pPa FN MN m 333 998.2/,1.005 10,1.205/,kg mPa skg m 5 1.83 10,343.1/Pa s cm s 第27页/共67页 解：原型及模型中流动速度： 22 22 44 4 2.264/ 1.5 1.5/7.50.2 44 1.

13、6 50.93/ 0.2 V l V q vm s d dd km q vm s d 气流马赫数： /50.93/343.10.14840.3 a Mvc （可不考虑气体压缩性的影响） 第28页/共67页 3 /1.205/998.21.207 10 /50.93/2.26422.50 v k kvv 原型参数： 22 222 2 332 2 2697 4414 0.001207 22.5 137 12612 0.0012071/7.522.5 2.94 2030 0.0012071/7.522.5 v lv lv p pPa k k F FN k k k M MN m k k k 第29页/

14、共67页 满足相等时，满足相等时， Eu准数同时可以准数同时可以 满足）满足） 第30页/共67页 第31页/共67页 vm=vpkv=1083/2=162km/h=45m/s 解：首先根据流动性质确定决定性相似准数，这里选 取Re作为决定性相似准数， 即： 再根据决定型相似准数相等，确定几个比例系数的 相互约束关系， 这里k=1，所以 kv=kl-1，由于kl=2/3， 那么 ， kv=1/kl=3/2 最后得到风洞实验段内的气流速度应该是 1 k kk lv 第32页/共67页 例4-6 在上例中，通过风洞模型实验，获得模型轿车 在风洞实验段中的风速为45m/s时，空气阻力为 1000N，

15、问：此轿车以108km/h的速度在公路上行驶 时，所受的空气阻力有多大？ 第33页/共67页 量纲：物理量单位的种类 基本量纲：基本物理量量纲，如：时间T、长度L、质量M 导出量纲：由物理定义导出，由基本量纲组成，如：速度LT-1 加速度LT-2力MLT-2压强ML-1T-2 准则方程：用相似准则数表示的物理方程。 常用的量纲分析法：瑞利法和定理 量纲分析法主要用于分析物理现象中的未知规律，通过对有关的物理量作量纲幂次分析，将它们组合成无量纲形式的组合量，用无量纲参数之间的关系代替有量纲的物理量之间的关系，揭示物理量之间在量纲上的内在联系，降低变量数目，用于指导理论分析和实验研究。 第34页/

16、共67页 SI制中的基本量纲： 一、物理量的量纲 导出量纲：用基本量纲的幂次表示。 dim m = M , dim l = L , dim t = T 物理量 大小 类别 导出量纲 工程单位制 国际单位制 英 制 单位制 量纲 基本量纲 量纲幂次式 第35页/共67页 应变率 角速度，角加速度 其他量 1 dimdimT xx 2 dimT 1 dimT 粘度，运动粘度 压强，压力，弹性模量 力，力矩 密度，重度 体积流量，质量流量 速度，加速度 常用量 31 dimLTQ 3 dimML 2 dimMLTF 12 dimdimdimML TpK 11 dimML T 1 dimMTm 22

17、dimML T 22 dimML TL 21 dimL Tv 1 dimLTV 2 dimLTg 第36页/共67页 注： 为温度量纲 比焓，比内能 比熵 导热系数 比定压（容）热容 表面张力 功率 能量，功，热 动量，动量矩 惯性矩，惯性积 4 dimdimL xxy II 1 dimMLTI 22 dimdimdimML TEWQ 23 dimML TW 221 dimdimL T pv cc 21 dimML TL 31 dimMLTk 2 dimMT 221 dimL Ts 22 dimdimL The 第37页/共67页 同一方程中各项的量纲必须相同。用基本量纲的幂次式表示时，每个基

18、本量纲的幂次应相等，称为量纲一致性。 二、量纲一致性原理 pzgv 2 2 1 常数 （沿流线） 2 31122 dimMLLTM 2 L T 1 v 3212 dim ()(ML )(LT)LML Tgz 12 dimML Tp 12 dim()ML T 常常数数 单位体积流体伯努利方程 第38页/共67页 例4-7： 不可压缩粘性流体在粗糙管内定常流动时，沿 管道的压强降p，与管道长度 l、内径d 、绝对粗糙度 、平均流速v 、流体密度 和动力粘度有关。用瑞利 法导出压强降的表达式。 654321aaaaaa vdklp 三、瑞利法： n xxx, 21 y an n aa xxkxy 2

19、 2 1 1 y 用定性物理量 的某种幂次之积的函数来 表示被决定的物理量 ，即 ，根 据量纲一致性原则求出待定指数，进而确定 。 解：根据瑞利法可以写出用基本量纲表示上方程的物 理量，则有 第39页/共67页 611534132121 )()()( aaaaaa TMLMLLTLLLTML 1362 112343 56 246 156 426 516 2136 ( ) ( ) () aaa Laaaaaa Taa Maa aa aa aaaa l pkv ddvd 三个方程六个指数（选a1,a3,a6为待定指数） 管道长径比 管道相对粗糙度 相似准则数 Re 1 1 1 a 根据量纲一致性原

20、则，有 1362 112343 56 246 156 426 516 2136 ( ) ( ) () aaa Laaaaaa Taa Maa aa aa aaaa l pkv ddvd 三个方程六个指数（选a1,a3,a6为待定指数） 1362 112343 56 246 156 426 516 2136 ( ) ( ) () aaa Laaaaaa Taa Maa aa aa aaaa l pkv ddvd 三个方程六个指数（选a1,a3,a6为待定指数） 三个方程六个指数（选 a1,a3,a6为待定指数） 第40页/共67页 )(Re, d f 令 2 )(Re, 2 v d l d fp

21、 沿程损失系数，由实验确定 单位重力流体沿程能量损失 沿管道的压强降 这就是著名的达西-魏斯巴赫公式（下一章讲解） g v d l h v d l p f 2 2 2 2 或 第41页/共67页 四、定理 量纲分析的布金汉定理( 定理) 若某物理问题有n个变量，满足函数关系 0),.,( 321 n qqqqf 其中涉及m个独立的基本量纲， 则n个变量 可组成nm个独立的无量纲数 这些无量纲数存在函数关系 0),.,( 321 mn F mn ,., 321 1、几何相似要求有一个长度量纲 2、运动相似要求有一个速度量纲 3、加上一个包含质量的量纲 不可压流动有三个独立的基本量纲（有多种选择）

22、： 第42页/共67页 x1 =f (x 2，x 3, , x n ) 1 = f (2, 3, , n-m ) 提议用量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh,1877),奠定 理论基础的是布金汉（E.Buckingham,1914): 定理 方 法 充要条件 n个物理量 m个独立 基本量 n-m个导出量 选m个独立 基本量 组成n-m个 独立数 量纲分析方法等 第43页/共67页 一般步骤：以圆柱绕流为例 第1步、列举所有相关的物理量。 第2步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（ 或 称为重复量，取3个）。 第3步、将其余的物理量作为导出量，分别与基本量 的幂次式组成表达式。 阻力密度速

23、度 直径 粘度系数 选 、v 、d 导出量即 、 D F ) , , , (dvfFD 第44页/共67页 D cba Fdv 111 1 222 2 cba dv 第4步、用量纲幂次式求解每个表达式中的指数，组 成数。 1 111 1 :10 :310 0 M : L T2 a abc b 解得 a1 = -1 , b1 = -2 , c1= -2 D D C dv F 22 1 （CD 称为阻力系数 ） 11 1 ab c000-3-1-2 M L T = MLLTLMLT 2 22 c ab000-3-1-1-1 M L T = (ML ) (LT ) L (ML T ) 第45页/共6

24、7页 解得: a 2 = -1, b 2 = -1, c 2 = -1 2 222 2 10 310 M L T10 a abc b ： ： ： 第5步、用数组成新的方程。 1 = f (2 ) （Re为雷诺数） Re 1 2 vd (Re) 22 f dv F C D D (Re) 22 fdvFD 第46页/共67页 , , , , , ,0Fpld v 7个物理量涉及3个基本量纲，可以组成（7-3=）4个 无量纲量。选取 为基本量。, ,d v 12 111222 34 333444 abcabc abcabc p d vdv l d vdv 第47页/共67页 用基本量纲表示 中各物理

25、量，得： 1 11 12113 bc a ML TLLTML 由量纲一致性： 1 111 1 1 13 2 Mc Labc Tb 解得： 1111 2 0,2,1 p abcEu v 第48页/共67页 用基本量纲表示 中各物理量，得： 2 22 11213 bc a ML TLLTML 由量纲一致性： 2 222 2 1 13 1 Mc Labc Tb 解得： 2222 1 1,1,1 Re abc vd 第49页/共67页 用基本量纲表示 中各物理量，得：3 33 313 bc a LLLTML 由量纲一致性： 3 333 3 0 13 0 Mc Labc Tb 解得： 3333 1,0,

26、0 l abc d 与 具有相同量纲结构：3 4 4444 1,0,0abc d 第50页/共67页 准则方程可写为： 1234 22 ,Re, / , / Re, 22 fEufl dd lvlv pf ddd 量纲分析法求取准则数的特点： 优点：方法简单，不必列出微分方程，只要知道影 响因素。 缺点：不分析现象的物理本质，漏列因素将导致错误。 可见，结果与瑞利法完全一样，但该法推导时未出 现待定指数选取问题。 第51页/共67页 应用量纲分析法得到的物理方程是否符合客观规律， 和所选入的物理量是否正确有关。而量纲分析法本 身对有关物理量的选取却不能提供任何指导和启示 。弥补量纲分析法的局限

27、性，需要已有的理论分析 和实验成果，要依靠研究者的经验和对流动现象的 观察认识。 可以说，量纲分析法是沟通流体力学理论和实验之间 的桥梁。 第52页/共67页 实验发现，球形物体在粘性流体中运动所受 阻力FD与球体直径d、球体运动速度v、流体的密度 和动力粘度有关，试用定理量纲分析法建立FD的 公式结构。 第53页/共67页 选、v、d 0),( dvFf 解: 第1步、列举所有相关的物理量: 第2步、选择包含不同基本量纲的物理量为基本量 Ld ML LTv dim dim dim 3 1 222 111 2 1 cba D cba dv Fdv 第3步、将其余的物理量作为导出量，即 F D

28、、 分别与基本量的幂次式组成表达式 第54页/共67页 20: 130: 10: )()( 1 111 1 213000 111 bT cbaL aM MLTLLTMLTLM cba : 1 0),( 21 由上述三元一次方程组得：221 111 cba 因此 D D C dv F 22 1 同理： Re 1 2 vd 第55页/共67页 0),( 21 (Re) 22 f dv F C D D 式中CD 为绕流阻力系数，Re是雷诺数 (Re)fCD 4列数方程 第56页/共67页 量纲分析的优点 D F v D F d D F D F D C Re (Re)FCD ),( dVfFD 第57页/共67页 模型和原型的受力换算问题 在做模型实验时，往往很容易测得模型所受的升力和阻力，这就存在一个如何将由模型所受的力推得真实物体所