【公开课课件】必修第二册第八章8.6.3 平面与平面垂直

1、人教2019A版必修 第二册8.6.3 平面与平面垂直平面与平面垂直 第八章 立体几何初步第1课时平面与平面垂直的判定课程目标课程目标1理解二面角的概念，并会求简单的二面角；2理解直二面角与面面垂直的关系，理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.3. 通过面面垂直定理的理解及运用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力数学学科素养数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的判定定理，找垂直关系；2. 数学运算：求二面角；3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系. 1.在立体几何中，在立体几何中，“异面直线所成的角异面直线所成的角”是怎样定义的？是怎样定义的？ 直线直线a、

2、b是异面直线，经过空间任意一点是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线，分别引直线a /a， b/ b，我们把相交直线，我们把相交直线a 和和 b所成的锐角所成的锐角 （或直角）叫做异面（或直角）叫做异面直线所成的角直线所成的角. 2.在立体几何中在立体几何中,直线和平面所成的角直线和平面所成的角是怎样定义的？是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角线和这个平面所成的角. 范围：范围：( 0o, 90o 范围：范围： 0o, 90o 复习复习 在铁路公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护在

3、铁路公路旁，为防止山体滑坡，常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝坡斜面，并使护坡斜面与水平面成适当的角度；修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度，如何从数学的观点认识这种现象？的角度，如何从数学的观点认识这种现象？问题问题 AOBBBBBBB 角角两个面组成的图形两个面组成的图形?新课引入新课引入(1) 半平面的定义半平面的定义1.二面角的概念二面角的概念平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面分都叫做半平面l半平面半平面半平

4、面半平面(2) 二面角的定义二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面面l棱棱面面面面平卧式：平卧式：直立式：直立式：l lAB (3) 二面角的画法和记法：二面角的画法和记法：1.二面角的概念二面角的概念面面1棱面棱面2点点1棱点棱点2二面角二面角 l 二面角二面角 AB 二面角二面角CAB DABCD上述变化过程中图形在变化，形成的上述变化过程中图形在变化，形成的“角度角度”的大小如何来确定的大小如何来确定 ？学习新知学习新知我们

5、常说我们常说“把门开大些把门开大些”，是指哪个角开大一些，是指哪个角开大一些，我们应该怎么刻画二面角的大小？我们应该怎么刻画二面角的大小？ 4.二面角大小的刻画二面角大小的刻画把书打开，相邻两页书也构成二面角，把书打开，相邻两页书也构成二面角，随着打开的程度不同，得到不同的二面角随着打开的程度不同，得到不同的二面角受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢，能否转化为两相交直线所成的角大小呢，能否转化为两相交直线所成的角学习新知学习新知 AOlB 二面角的平面角二面角的平面角ABO以二面角的棱上任意一点为端点以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直

6、于棱在两个面内分别作垂直于棱的两条射线的两条射线，这两条射线所成的角叫做这两条射线所成的角叫做二面角的平面角二面角的平面角. .如图，如图， ，则，则AOB成为二面角成为二面角 的平面角的平面角. 它的大小与点它的大小与点O的选取无关的选取无关.,OAl OBll 二面角的平面角必须满足：二面角的平面角必须满足：角的边都要垂直于二面角的棱角的边都要垂直于二面角的棱角的顶点在棱上角的顶点在棱上角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内13质疑质疑:在二面角的平面角的定义中在二面角的平面角的定义中O点是在棱上任取的，点是在棱上任取的，那么那么AOB的大小与点的大小与点O在棱上的位置有关系吗？在棱

7、上的位置有关系吗？OAOB=BOA 等角定理等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。）lABAB二面角的平面角大小与点二面角的平面角大小与点O在棱上的位置无在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。关，只与二面角的张角大小有关。结论：结论：二面角是用它的平面角来度量的，一二面角是用它的平面角来度量的，一个二面角的平面角多大，就说这个二面角是个二面角的平面角多大，就说这个二面角是多少度的二面角。多少度的二面角。O.二面角的范围：二面角的范围： 0o, 180o 二面角的两个面重合：二面角的两个面重合： 0o； 二面角的两个面合成一个平面：二面角的两个

8、面合成一个平面：180o； 平面角是直角的二面角叫平面角是直角的二面角叫直二面角直二面角OAB在正方体在正方体ABCD-ABCD中中,找出下列二面角的平面角：找出下列二面角的平面角：（1）二面角）二面角D-AB-D和和A-AB-D；（2）二面角）二面角C-BD-C和和C-BD-A.BACDABCDO巩固练习巩固练习角角BAO边边边边顶点顶点从一点出发的两条射线从一点出发的两条射线所组成的图形叫做所组成的图形叫做角角。定义定义构成构成边边点点边边 （顶点）（顶点）表示法表示法AOB二面角二面角AB面面面面棱棱 a从一条直线出发的两个从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫半平面所组成的图形叫做做

9、二面角二面角。面面直线直线面面 （棱）（棱）二面角二面角l或二面角或二面角AB图形图形角与二面角的比较角与二面角的比较学习新知学习新知例例1、已知二面角、已知二面角 l ，A为面为面 内一点，内一点，A到到 的的距离为距离为 ,到到 l 的距离为的距离为 4.求求二面角二面角 l 的大小的大小.D32 lA.A. O典型例题典型例题A.A.O DBA .O解解：AD .sinADO= 432 ADO=60.二面角 l 的大小为60或120.在RtADO中，AOAD 例例1、已知二面角、已知二面角 l ，A为面为面 内一点，内一点，A到到 的的距离为距离为 2 ，到，到 l 的距离为的距离为 4

10、。求求二面角二面角 l 的大小。的大小。 lD过 A作 AO于O，过 O作 OD l 于D，连AD，l4, 32ADAOADO 就是二面角 l 的平面角.分析：首先应找到或作出二面角的平面角分析：首先应找到或作出二面角的平面角,然后证明这个然后证明这个角就是所求的平面角角就是所求的平面角, 最后求出这个角的大小。最后求出这个角的大小。3典型例题典型例题达标检测 1、二面角的定义：、二面角的定义：2、二面角的画法和记法：、二面角的画法和记法：3、二面角的平面角：、二面角的平面角：4 4、二面角的平面角的作法：、二面角的平面角的作法：画法：直立式和平卧式画法：直立式和平卧式记法：二面角记法：二面角

11、 AB 二面角二面角 l 1、根据定义作出来、根据定义作出来2、利用直线和平面垂、利用直线和平面垂 直作出来直作出来从一条直线出发的两个半从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做平面所组成的图形叫做二二面角面角。这条直线叫做。这条直线叫做二面二面角的棱角的棱。这两个半平面叫。这两个半平面叫做做二面角的面二面角的面。 1、二面角的平面角、二面角的平面角 的大小与的大小与 其顶点其顶点 在棱上的位置无关在棱上的位置无关2、二面角的大小用、二面角的大小用 它的平面角的大它的平面角的大 小来度量小来度量 课堂小结课堂小结6 6、数学思想、数学思想*转化思想转化思想降维降维*类比思想类比思想观察：教室

12、相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成观察：教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数。这些二面角的面、棱、平面角及其度数。三个图形表示图形表示 平面与平面垂直的定义平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这是直二面角，就说这两个平面互相垂直两个平面互相垂直. .记作记作 如右图，建筑工人在砌墙时如右图，建筑工人在砌墙时, ,常用铅锤常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直来检测所砌的墙面与地面是否垂直. .如果系如果系有铅锤的细线紧贴墙面有铅锤的细线紧

13、贴墙面, ,工人师傅就认为墙工人师傅就认为墙面垂直于地面面垂直于地面, ,否则他就认为墙面不垂直于否则他就认为墙面不垂直于地面地面. .这种方法说明了什么道理这种方法说明了什么道理? ? 类似结论也可以在长方体中发现类似结论也可以在长方体中发现. .如右图如右图, ,在在长方体长方体ABCDABCD- -ABCDABCD中中, ,平面平面A ADDDDAA经过平面经过平面ABCDABCD的一条垂线的一条垂线AAAA，此时，平面，此时，平面A ADDDDAA垂直于垂直于平面平面ABCD.ABCD.若墙面过地面的垂线若墙面过地面的垂线, ,则墙面与地面垂直则墙面与地面垂直. .D DB BC CA

14、 ADDCCBBAA四、四、平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？面垂直？应用于生活应用于生活铅垂线铅垂线直线直线墙面墙面平面平面水平面水平面平面平面BAC 平面与平面垂直的判定定理平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的一个平面过另一个平面的垂线垂线，则这两个平面垂直，则这两个平面垂直. .aA简记：线面垂直，则面面垂直aa 面符号:面面垂直线面垂直线线垂直例例1 1 已知：已知：如右图如右图, ,正方体正方体ABCD-ABCDABCD-ABCD. . 求证：求证：平面平面ABDABD平面平面ACCA.

15、ACCA.典型例题典型例题D DC CB BA ADDCCBBAA证明：证明：ABCD-ABCDABCD-ABCD是正方体，是正方体，AAAA平面平面ABCDABCD. .BDBDAAAA. . 又又BDACBDAC，ACAA=AACAA=A，ACAC、AAAA 平面平面ACCAACCABDBD平面平面ACCAACCA，平面平面ABDABD平面平面ACCA.ACCA.又又BDBD 平面平面ABCDABCD又又BDBD 平面平面ABDABD例例2 2 如图如图,AB,AB是圆是圆O O的直径，的直径，PAPA垂直于垂直于O O所在的平面，所在的平面，C C是圆周上不是圆周上不同于同于A A，B

16、B的任意一点，求证：平面的任意一点，求证：平面PACPAC平面平面PBC.PBC.AB是圆O直径PA面ABCBC面ABCBCACBCPABC面PAC平面平面PACPAC平面平面PBCPBC证明证明: :设已知O平面为,PABC面面BCPA为圆的直径又ABBCAC PAACABCPAC面PACPBC面面BCPBC面PABCACBCPAPACACPAC面面达标检测CDD 一：一：平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定小结二：数学思想：转化思想二：数学思想：转化思想面面垂直线面垂直线线垂直1.定义：两个相交平面所成二面角为 直二面角2.判定定理：在一个平面内找到另 一个平面的垂线第2课时平面与平面

17、垂直的性质 课程目标课程目标1理解平面和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.2通过对性质定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力数学学科素养数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的性质定理，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化；2.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系. 2、平面与平面垂直的、平面与平面垂直的判定定理判定定理1、平面与平面垂直的、平面与平面垂直的定义定义 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直直.符号表示：符号表示：b 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二两个平面相交，如果它们所成的二面角

18、是直二面角，就说这两个平面互相垂直面角，就说这两个平面互相垂直. b b复习回顾复习回顾二、二、探究新知探究新知根据已有研究经验根据已有研究经验, ,我们可以先研究其中一个平面内的直线我们可以先研究其中一个平面内的直线与另一个平面具有什么位置关系与另一个平面具有什么位置关系. . 挂钟所在墙面挂钟所在墙面地面地面, , =a=a，则则内的长指针所在直线内的长指针所在直线b b与与a a有什么位有什么位置关系置关系? ?此时，此时，b b与与有什么位置关系有什么位置关系? ?a aA1D1B1C1CBADEF思考思考1 1 如图，长方体中，如图，长方体中，,(1)(1)里的直线都和里的直线都和垂

19、直吗？垂直吗？(2)(2)什么情况下什么情况下里的直线和里的直线和垂直？垂直？与与ADAD垂直垂直不一定不一定思考思考2 2 垂足为垂足为B B，那么直线，那么直线ABAB与平面与平面的位置关系如何？的位置关系如何？ 为什么？为什么？A AB BD DC CE E垂直垂直 , ABBE. , ABBE.又由题意知又由题意知ABCD,ABCD,且且BE CD=BBE CD=B垂足为垂足为B.B.ABAB.则则ABEABE就是二面角就是二面角 的平面角的平面角. .CD证明证明: :在平面在平面 内作内作BECD,BECD,A AB BD DC CE E平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的性质

20、定理符号表示符号表示: :CDABABABCDABCDBD DC CA AB B 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直另一个平面垂直（线线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）面面垂直面面垂直线面垂直线面垂直作用：作用： 它能判定线面垂直它能判定线面垂直. . 它能在一个平面内作与这个平面垂它能在一个平面内作与这个平面垂 直的垂线直的垂线. .关键点：关键点：线在平面内线在平面内. .线垂直于交线线垂直于交线. .D DC CA AB B提升总结：提升总结：Abal解：解：在在内作垂直于

21、内作垂直于 交交线的直线线的直线b b， ab. 又又 a. 即直线即直线a与平面与平面平行平行.，b，a，a，与与例2.如图，已知PA平面ABC，平面PAB平面PBC，求证：BC平面PAB.EPABCEPA平面ABC，BC 平面ABC,PABC.故BC平面PAB证明：过点A作AEPB，垂足为E，平面PAB平面PBC， 平面PAB平面PBC=PB，AE平面PBC.BC 平面PBC,AEBC1.在空间中，下列命题正确的是()A.垂直于同一条直线的两直线平行B.平行于同一条直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行解析A项中，垂直于同一条直线的两直线可能平行

22、、异面或相交；B项中，平行于同一条直线的两个平面可能平行或相交；C项中，垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交；D项正确.达标检测D2.已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则()A.ml B.mn C.nl D.mn解析因为l，所以l，又n，所以nl. C3.如图所示，三棱锥PABC中，平面PAB底面ABC，且PAPBPC，则ABC是_三角形.解析设P在平面ABC上的射影为O，平面PAB底面ABC，平面PAB平面ABCAB，OAB.PAPBPC，OAOBOC，O是ABC的外心，且是AB的中点，ABC是直角三角形.直角4.如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2.求证：BF平面ACFD.证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.因为平面BCFE平面ABC，平面BCFE平面ABCBC，且ACBC，AC平面ABC，所以AC平面BCK，因此BFAC.又因为EFBC，BEEFFC