2022届广东省高三二模数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页广东省2022届高三二模数学试题一、单选题1.已知集合M=x|xxA.-∞，2 B.-∞，1 C.【答案】C【分析】分别求出集合M和集合N，然后取交集即可.【详解】集合M=x|则M∩N=故选C2.定义在-2，2上的下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是(A.y=sinx B.y=-2x C.【答案】D【分析】由正弦函数，指数函数和幂函数的性质对各个选项进行分析判断即可得到答案.【详解】A.2>π2，由正弦函数的性质可知y=sinB.y=-2x在C.y=exD.y=2x3，2-x3=-2x3，故函数在-2故选D3.已知随机变量X~Nμ，σ2，若PμA.0.7 B.0.4 C.0.3 D.0.2【答案】A【分析】由正态分布的对称性求概率.【详解】由已知P(所以PX故选A.4.某校安排高一年级(1)～(5)班共5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一(1)班被安排到A基地的排法总数为()A.24 B.36 C.60 D.240【答案】C【分析】按两种情况分类计算，一种是只有高一(1)班被安排到A基地。另一种是还有一个班和高一(1)班一起被安排到A基地，两类排法数相加可得答案.【详解】5个班去A，B，C，D四个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，如果是只有高一(1)班被安排到A基地，那么总的排法是C4如果是还有一个班和高一(1)班一起被安排到A基地，那么总的排法是C4故高一(1)班被安排到A基地的排法总数为36+24=60种，故选C5.若函数y=6sinωx与y=6cosA.12 B.1 C.π2 【答案】C【分析】作出图形，利用数形结合的数学思想可得函数y=6sinωx的最小正周期T【详解】由题意知，作出函数y=6sin设两图象相邻的3个交点分别为A、B、C，如图所示，则AB=4，△由图可知，函数y=6sin又T=所以ω=故选C.6.赵爽弦图(如图1)中的大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼接而成的，若直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，由大正方形面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和可得勾股定理a2+b2=c2.仿照赵爽弦图构造如图2所示的菱形，它是由两对全等的直角三角形和中间的矩形拼接而成的，设直角三角形的斜边都为1，其中一对直角三角形含有锐角α，另一对直角三角形含有锐角β(位置如图A.sinα-βC.cosα-β【答案】B【分析】表示出直角三角形的边长，继而表示出面积，求得中间矩形的面积，根据菱形面积等于四个直角三角形面积加上中间矩形面积，化简可得答案.【详解】由图形可知：含锐角α的直角三角形两直角边长为sinα，含锐角β的直角三角形两直角边长为sinβ，故菱形的面积为2×12不妨假设α>β中间长方形的面积为(sinα-sin故sin(α+即sinα故选B7.已知抛物线E：y2=4x，圆F：x-12+y2=4，直线l：y=t(t为实数)与抛物线E交于点A，与圆F交于B，CA.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【分析】先判断出抛物线焦点和圆心重合，由抛物线定义得AF=AD，又FB=2，可得△FAB的周长为FA+【详解】由题意知：抛物线焦点1，0恰为圆心F，抛物线准线l：x=-1，圆半径为2，可得圆F与l相切，设直线l：y由抛物线定义知：AF=AD，又FB=2，故△FAB由图知2<DB<4，故DB+2∈4，故选B.8.存在函数fx使得对于∀x∈R都有fgxA.gx=sinx B.gx=x【答案】D【分析】先判断出gx必为偶函数.对四个选项中的函数的奇偶性一一判断，即可得到答案【详解】因为对于∀x∈R都有f所以gx必为偶函数对于A：gx=sinx为奇函数.对于B：gx=x2+2对于C：对于gx=x3-x.定义域为R.因为g-对于D：对于gx=ex+e-x.定义域为R.因为故选D二、多选题9.已知复数z的共轭复数是z，1-iz=1+i，iA.z2022=4 B.zC.z⋅z+2z【答案】BC【分析】由复数除法求得z，得共轭复数z，然后再由复数的运算，复数的定义、几何意义判断各选项.【详解】由题意z=1+iz2022=iz⋅z=1，虚部是0z⋅z+2z⋅z+2z=1+2故选BC.10.吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r(V)，r'V为r(V)的导函数.已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所示，若0≤A.r1-rC.rV1+V22【答案】BD【分析】A：设tanα=rB：根据图象和导数的几何意义得r'C：设V1=0，D：结合图象和导数的几何意义可以判断该选项正确.【详解】解：A：设tanα=r1-r0B：由图得图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得r'C：设V1=0，V2=3，D：rV2-rV1V2-V1表示A(故选BD11.在所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点，则下列选项中直线AQ与直线MN垂直的是()A. B. C. D.【答案】AC【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，从而求得AQ，MN的坐标，计算AQ⋅MN，即可判断A，B，C【详解】所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点，故可设棱长为2，在正三棱柱中建立如图所示的空间直角坐标系：对于A，A(3故AQ=(-3则AQ⋅MN=(-3，0，对于B，A(0，故AQ=(3则AQ⋅MN=(32对于C，A(3故AQ=(-3则AQ⋅MN=(-3，1，对于D，A(0，故AQ=(3则AQ⋅MN=(32故选AC12.如图，已知扇形OAB的半径为1，∠AOB=π2，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且CD=1，点E为A.OE⋅AB的最小值为0 B.EAC.EC⋅ED的最大值为1 D.EC【答案】BCD【分析】以O为原点建立如图所示的直角坐标系，得B0，1，A1，0，设∠EOA=θ，则求出EA、EB的坐标，由EA⋅EB=1-2sinθ+π4，利用θ的范围可判断B；设Ct，0t∈0，1，可得D【详解】以O为原点建立如图所示的直角坐标系，所以B0，1设∠EOA=θ，则EAB=-1，因为θ∈0，π2所以AB⋅OE∈-1，1，EA=1-cosθ所以EA⋅因为θ∈0，π2所以1-2sinθEA⋅EB的最小值为1-2设Ct，0t∈0，EC=t-cos所以EC=1-sinθ+φ又t∈0，1，所以cosφsinφ+θ∈0EC⋅ED的最小值为0，故CD故选BCD.三、填空题13.已知双曲线x2a2-y2b2＝1(a>0，b>0)【答案】2【解析】由题意，得e＝ca＝1+(ba14.若直线y=x+a和直线y=【答案】2【分析】由条件可得直线y=x+a和直线y=x【详解】设直线y=x+a和圆x-12+y-12=1因为直线y=x+a和直线所以圆心位于两直线之间，且∠ACB所以△ACB为等腰直角三角形，所以圆心为C到直线y=x同理可得圆心为C到直线y=x+故直线y=x+a和直线所以a-b2故答案为：2.15.若函数fx=sinx⋅cosx+【答案】-π2(答案不唯一，φ取-π2【分析】依题意，知y=sinx与y=cos(x+φ)同时取到最大值1，进而可得【详解】函数fx=sinx⋅cos∴可取y=sinx与y=cos(又x=2kπ+∴x=2kπ+π2∴φ不妨取φ=-此时fx=sinx故常数φ的一个取值为-π故答案为：-π2(16.十字贯穿体(如图1)是美术素描学习中一种常见的教具.如图2，该十字贯穿体由两个全等的正四棱柱组合而成，且两个四棱柱的侧棱互相垂直，若底面正方形边长为2，则这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体的内切球的体积为__________.【答案】4【分析】分析该几何体的结构特征，作出该几何体的草图，该几何体可以看成两个全等的四棱锥或八个全等的三棱锥组成，利用等体积法求出其内切球的半径，即可代入球的体积公式，即可求出结果.【详解】该几何体的直观图如图所示，这两个正四棱柱公共部分所构成的几何体为两个全等的四棱锥S-ABCD和由题意，这两个直四棱柱的中心既是外接球的球心，也是内切球的球心，设内切球的半径为R，设AC的中点为H，连接BH，SH，可知SH即为四棱锥S-在Rt△ABH中，又AC=∴SABCD又BH=∴VS由八个侧面的面积均为22∴13R×22×8=2×故答案为：4π四、解答题17.已知递增等比数列an的前n项和为Sn，且满足4a(1)求数列an的通项公式(2)若数列bn满足bn=ak，【答案】(1)a(2)92【分析】(1)设an的公比为q(2)(方法一)利用已知条件列举出数列各项，然后分组求和即可；(方法二)写出数列bn的通项，然后分组求和即可【详解】(1)设an的公比为q，则由4a2整理得a1又S3=14，得联立得a1q=4a1解得q=2或q又因为an所以q=2，a所以an(2)(方法一)当k=1时，bn=a1，n=31，0<n<3n∈N*，则b1=记bn的前n项和为TT=2×=2×1+5所以数列bn的前15项和为(方法二)由bn得bn记bn的前n项和为TT=2×=2×1+5所以数列bn的前15项和为18.小李下班后驾车回家的路线有两条.路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是13；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是12，第二个路口遇到红灯的概率是23(1)若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率.(2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间(单位：min)的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由.【答案】(1)19(2)小李应选择路线1；理由见解析【分析】(1)设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则X~B3，1(2)设路线1累计增加时间的随机变量为Y1，则Y1~B3，13，由二项分布的期望公式得期望EY1，设路线2第i设路线2累计增加时间的随机变量为Y2，则Y2的所有可能取值为0，1，2，依独立事件与互斥事件及对立事件概率公式计算出各概率，得期望E【详解】(1)设路线1遇到红灯的个数的随机变量为X，则X~B3所以至少遇到一个红灯的事件为PX由对立事件概率公式，得PX≥1=1-所以若小李下班后选择路线1驾车回家，至少遇到一个红灯的概率为1927(2)设路线1累计增加时间的随机变量为Y1，则Y所以EY设路线2第i个路口遇到红灯为事件Ai(i=1，2)，则设路线2累计增加时间的随机变量为Y2，则Y2的所有可能取值为0，1，PYPYPY所以EY因为EY所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小，小李应选择路线1.19.如图，已知△ABC内有一点P，满足∠PAB(1)证明：PBsin(2)若∠ABC=90∘，【答案】(1)证明见解析(2)PC【分析】(1)由正弦定理得PBsinα=ABsin∠(2)由题意求得PB=sinα，继而求得PC=2sinα，在【详解】(1)证明：在△ABP中，由正弦定理得PBsin即PBsin∠要证明PBsin∠ABC=在△ABP中，∠APB在△ABC中，∠ABC所以∠APB所以sin∠APB所以PBsin∠(2)由(1)知PBsin∠ABC=ABsin所以PB=sin由已知得△ABC为等腰直角三角形，所以∠BCA则∠BCP所以在△PBC中，∠BPC由正弦定理得BCsin∠即1sin即PC=由余弦定理得sin2由题意知sinα故解得sinα所以PC=20.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位线，沿DE将△ADE进行翻折，使得△ACE是等边三角形(如图2)，记AB的中点为(1)证明：DF⊥平面ABC(2)若AE=2，二面角D−AC−E为π6，求直线AB与平面ACD【答案】(1)证明见解析(2)6【分析】(1)取AC中点G，连接FG和EG，证明四边形DEGF是平行四边形，然后利用线面垂直的判定定理证明EG⊥平面ABC，从而得到DF⊥平面(2)(方法一)过点E作EH⊥EC，以E为原点，建立空间直角坐标系E−xyz，设DE=a，求出平面AEC和平面(方法二)连接DG，可证得∠DGE=π6，可得DE长，过点F作FI⊥DG，垂足为I，利用线面垂直及面面垂直的性质可得FI⊥平面ACD【详解】(1)如图，取AC中点G，连接FG和EG，由已知得DE∥BC，且因为F，G分别为AB，AC的中点，所以FG∥BC所以DE∥FG，且所以四边形DEGF是平行四边形.所以EG∥因为翻折的BC⊥AC，易知所以翻折后DE⊥EA，又因为EA∩EC=E，EA，所以DE⊥平面AEC因为DE∥所以BC⊥平面AEC因为EG⊂平面AEC，所以EG因为△ACE是等边三角形，点G是AC中点，所以EG又因为AC∩BC=C，AC，所以EG⊥平面ABC因为EG∥DF，所以DF⊥(2)(方法一)如图，过点E作EH⊥EC，以E为原点，EH、EC，ED所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E−xyz，设DE=a，则A3，1，0，B0，因为DE⊥平面AEC.所以ED=0设面ACD的法向量为m=m⋅AC=0m⋅取y=3a因为二面角D−AC−E为π6，所以cos解得a=1，所以m=1记直线AB与平面ACD所成角为θ，则sinθ所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为64(方法二)如图，连接DG，因为DE⊥平面AEC，AC⊂平面AEC，所以又因为AC⊥EG，DE∩EG=E，DE，EG⊂平面因为EG，DG⊂平面DEG，所以AC⊥EG，AC⊥DG，所以∠DGE是二面角D−AC由△ACE是边长为2的等边三角形，得EG=在Rt△DGE中，tan∠DGE=tanπ6=过点F作FI⊥DG，垂足为因为AC⊥平面DEGF，AC⊂平面ACD，所以平面DEGF⊥又因为平面DEGF∩平面ACD=DG，FI⊂平面所以FI⊥平面ACD连接AI，则∠FAI即为直线AB与平面ACD所成的角.在Rt△DFG中，DF=3，FG=1，得DG=2，由等面积法得在Rt△AFG中，AG=1，FG=1，所以在Rt△FAI中，sin∠所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为6421.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0，点F1，0为椭圆的右焦点，过点(1)求椭圆C的标准方程.(2)A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，直线A1M，A2N分别与直线l2：x=1【答案】(1)x(2)证明见解析【分析】(1)l1与x轴垂直时M的坐标代入椭圆方程和a(2)设l1的方程为x=my+1，Mx1，y1，Nx2，y2【详解】(1)由题可知c=1当l1与x轴垂直时，不妨设M的坐标为1所以a2解得a=2，b所以椭圆C的标准方程为x2(2)设l1的方程为x=my+1，联立得x=my+1x2易知Δ>0恒成立，由韦达定理得y1+y由直线A1M的斜率为kA1M当x=1时，y由直线A2N的斜率为kA2N当x=1时，y若四边形OPA2Q因为yQ代入韦达定理得2m所以PF=QF，即PQ与OA222.已