2019-2020学年北师大版高中数学选修4-5同步配套练习：2.3数学归纳法与贝努利不等式2.3.2Word版含答案

1、3.2数学归纳法的应用 一课时过关能力提升1. 用数学归纳法证明 2n n2(nA5,n N+)成立时，第二步归纳假设的正确写法是()A. 假设当n=k时,命题成立B. 假设当n=k(k N+)时，命题成立C. 假设当n=k(k 5)时，命题成立D. 假设当n=k (k 5)时，命题成立解析：由题意知n5,n N+,故应假设当n=k(k5)时命题成立.答案:C2. 欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数 n,总有2nn3成立.n。为验证的第一个值，则()A. no= 1B. n。为大于1小于10的某个整数C. no10D. no= 2答案:C3. 平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)

2、,则增加一条直线I后,它们的交点个数最多为()A.f(k)+1B.f(k)+kC.f(k)+k+ 1D. k f(k)解析:第(k+1)条直线与前k条直线都相交于不同的交点，此时应比原来增加 k个交点.答案:B4. 用数学归纳法证明2n+1 n2+n+ 2(n N+)”时,第一步验证为 _.答案：当n= 1时，左边=21+1= 4,右边=12+1 + 2=4,不等式成立3 x 5 x - x (2n - 1).0,. n1.因此n的最小值n。=2.此时原不等式为. 成立.答案:26. 已知数列an的前n项和为Sn,且 a1=1,Sn=n2an( n N+),用归纳猜想得 Sn的表达式 为.1

3、41 3解析：由 S2=a i+a2=22 a2，得 a2=,S2=1+ ,由 S3= 32 a3=a 什a2+a3,得 a3=,S3=S2+,，可归纳出2nSn=-.2n答案:S1= l; 11 1 17. 证明不等式:1+， + + 2(n N+).证明当n= 1时左边=1,右边=2,左边 1,k N+)时，不等式成立，1 1 1即 1+ . + +2成立.则当n=k+ 1时，左边1111_12 胆花 + 1) + 1 k + k + 1 + l=+ = + vfc + ,=. = 1Z V Z= 1 + 2 寸3 + . + #左 推 + 1，,b3，猜想 bn(n N+).下面用数学归

4、纳法证明.(1)当n= 1时，因为b1 = 2,所以 1)时猜想成立，即bk,所以00,所以bk+1，即当n=k+ 1时猜想成立.由(1)(2)知,bn对一切n N+都成立.9.设函数 f(x)=l n(1+x),g(x)=xf (x),x0,其中 f(x )是 f(x)的导函数.令 gi(x)=g (x),gn+i(x)=g (gn(x), n N +, 猜想gn(x)的表达式，并加以证明.X解由题设得,g (x) = I (x 0).X1 4- XxXX _ 1 + 2x尤由已知得，gi(x)J，g2(x)=g(gi(x)=I I *,g3(x)=L,，可得Xc 心_1 + nXgn(x)

5、-下面用数学归纳法证明上述猜想.X(1) 当n= 1时,gi(x)，结论成立.x(2) 假设当n=k时结论成立，即gk(x)=.则当k=k+ i时,X兔 _1 + kx _ x1 + 侏(兀)X 一 1 + (氏 + L)疋/、/、1 + kxgk+i(x)=g (gk(x)=,即结论成立.由(2)可知 結论对n N+成立.A 一，”1/时厲心a10.已知数列an的各项均为正数,bn=nan(n N+).计算，由此推测计算bib2bn切的公式，并给出证明解=i+ i = 2;blb2 blb2 f Iff： i； , 丁 | 打卩、22Z=2 X2=(2+ i) = 3 ;brb2b3Jlb2b3If1 旳勺幻叫旳=32 X3卩 J)=(3+1)3= 43.由此推测:衍勺=(n+1)n.下面用数学归纳法证明上述推测 当n= 1时左边=右边=2,推测成立.blb2bk假设当n=k时，推测成立，即：，=(k+1)k卩+AT则当 n=k+ 1 时,bk+i=(k+1)ak+i,対如如如-亠妬妇如