不定积分与定积分的各种计算方法

1、泰山学院信息科学技术学院教案数值分析教研室课程名称高等数学研究授课对象授课题目第八讲不定积分与定积分的各种计算方法课时数2教学 口的通过教学使学生掌握不定积分与定积分的各种计算方法。重 点 难 占1不定积分的概念2不定积分的计算3定积分的计算教 学 提 纲第八讲不定积分与定积分的各种计算方法1.不定积分1. 1不定积分的概念原函数：原函数的个数；原函数的存在性；定积分；一个重要的原函数。1.2不定积分的计算(1)裂项积分法；(2)第一换元积分法；(3)第二换元积分法(4)分部积分法2. 定积分(1) 基本积分法；(2) 分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数(3) 利用函

2、数的奇偶性化简定积分(4) 一类定积分问题教学过程与内容教学 后记第八讲不定积分与定积分的各种计算方法一、不定积分1不定积分的概念原函数：若在区间I上F(x) = /(x),则称F(x)是了的一个原函数. 原函数的个数：若F(巧是了。)在区间I上的一个原函数，则对Vc,尸仗)+都是/(x)E区间I上的原函数：若GO)也是了9)在区间I上的原函数， 则必有G(x) =F十c.可见，若0x),则了的全体原函数所成集合为(F(x)+c 1 ce R.原函数的存在性：连续函数必有原函数.不定积分：/(x)的带有任意常数项的原函数称为八久)的不定积分。记作Jf(x)dx一个重要的原函数：若/(x)在区间

3、I上连续，ael.则是的一个了原J a函数。2不定积分的计算(1)裂项积分法例 1一1 + 2心卅 1 |2 dx! U丄孑I =U儿Iydr 1 1儿丄1 J丿UeAJ JC +1J JT +1JJC +1=- x + 2arctanx + C。 3例2： f 心,一竺工込fZ + sec皿一 r dx X+1)-疋八_ gx f dx1_例 3： Jx2(x2 + 1) J 2 + 1)(L J J1 + x2 x arctanx+C(2)第一换元积分法有一些不泄积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求岀积分。 例如，求不泄积分Jcos2azZx-，如果凑上一个常数因子2,使

4、成为J cos 2xdx =斗 J cos x 2xdx =cos 2xd (2x)=丄 sin 2x + C例4：T77)= 2。也 丁 = 2 arctan 長 + C 1+(列dx例5：x2-J + x2CH丄例6：J J 2W、2+c = =丄22arc tan 依 , rarctanVx ,厂 宀匚 arc tan/ f7=dx = 2 dy/x =2 ata/x(1 + x)1 + xJ 1 + 厂=2|arctanr J(arctaiV) = (aretgt)1 +c = (arctgyfx)2 + c (3)第二换元积分法第二换元枳分法用于解决被积函数带根式的不左积分，代换方法

5、如下:被积函数包含叮UX + b ,处理方法是令勺ux + b* x = -(rn-Z?); a被积函数包含yja1 -x2 ( 0),处理方法是令x = sin/0),处理方法是令x = tanr ;被积函数包含 3一“0),处理方法是令x = seer ;例 7：计算 JJa2 -x2dx(6/ 0)【解令= sin/,- r ，贝Jr = arcsin ,-a xarClan-V-lx = d(l + X2 )2町+莎arclaiu 十(1 arclaavJl + X2y/l + X2arctaav1y/l + X2【点评】：分部积分后，后而的积分计算更加困难.为此我们考虑变量替换法.【

6、解法二】令 arctanx = y9 x = tan yarctaav ydx(l+arctaavW 3 s 心=fsin yedy = -ey(siny- cosy) + Csec yJ21 arclaav八17FT71Jl + F【点评】变量替换后几分的难度大大降低，J Shy yeydy是每种教材上都有的积分.2.定积分左积分的计算主要用牛顿莱布尼兹公式通过不左积分讣算.(1)基本积分法r卫 dx例16：计算f 3 .Jo (1 + 5/)/77【解】令x=km/,贝ijdx(1 + 5x2)a/1sec2 tdt(1 + 5tan2 t)sectcostdtcos2 r + 5sin2

7、1If? d(2sin/) 刃。l + (2sinr)2arctan(2sin/)(2) 分割区域处理分段函数、绝对值函数、取整函数、最大值最小值函数例17：计算卜一 2抹【解】x|x一2p/x = J。x(2-x)dx + J2 心一2)dx =例 18 计算 Jmaxx,l xjdv【解】J； max x,l -二 J(：(1 一 xMx + J: xdx =0 0 2%(x)是奇函数 当/是偶函数(3) 利用函数的奇偶性化简左积分L(L/gq；皿例 19 计算 J：(x + Jl + /)2x【解】J(x + l+x2 )2dx = J Xdx + 2J xl + x2dx =2+0=2

8、例20计算J* (x +卜|)*卜加【解】J 0 +冈)尹加=J xeW/x + J卜”如心= 0+2xexdx = 2-4e砂 rt sm x f例21计算4tL】x冷 1 + e【分析】被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化简匚但是积 分区间是关于原点对称的，可考虑使用化简公式的推导方法。令 x = -y,所以兀V 2Y 丁艮r7 e sirrx .r-re sirT x , e sirrx .丁 ,兀.ldx =4lx+ 打Lx =4sin- xdx = -1 + exJ。1 + /J-7 + exJ。8(4)-类定积分问题例 22：已知/(a)是连续函数，/(x) = 3x2 -2j /(x)Jx,求/(a)【分析】本题的解题关键是理解迄积分是一个固定的常数。【解】令 j(/(xXv =