微分几何彭家贵课后题答案

1、习题一(P13)2.设a(t)是向量值函数，证明:(1)a 常数当且仅当(a(t),a(t)(2)a(t)的方向不变当且仅当a(t)a (t)0 。(1)证明:a 常数2常数a(t), a(t)常数(2)a(t),a(t)2a(t),a(t)注意到：a(t) 0，a(t)的方向不变若单位向量e(t)a(t),a(t)0所以a(t), a(t)0。单位向量e(t) a(t)|a(t)|常向量。a(t)a(t)常向量，则 e(t)0 e(t) e (t)0。反之，设e(t)为单位向量，若e(t)e(t)由e(t)为单位向量e(t),e(t)e(t),e(t)0 e(t)e(t)。e(t) 0e(t

2、)常向量。所以，a(t)的方向不变单位向量e(t)賭常向量e(t) e(t)a(t)a(t)a(t)|dt |a(t)|1a(t) 0a(t)a(t) a(t)0。即a(t)的方向不变当且仅当补充:g( dt |a(t)|a(t)|a(t) a(t) 0a(t) a (t)0。定理r(t)平行于固定平面的充要条件是 r(t),r (t),r (t)0证明：:若r(t)平行于固定平面，设n是平面 的法向量，为一常向量。于是， r(t),n 0 r (t),n0, r (t), n 0r(t),r (t),r (t)共面 r(t),r (t),r (t)0。:若 r(t),r (t),r (t)0

3、,则 r(t),r (t), r (t)共面。若 r(t) r (t)0则r(t)方向固定，从而平行于固定平面。若 r(t) r (t)0,则 r (t) r(t) r (t)。令 n(t) r(t) r (t),则n(t) r (t) r (t) r(t) r (t)r(t) r (t) r(t) (t)r(t) (t)r (t)(t) r(t) r (t)(t)n(t)n(t) n (t)0,又 n(t) 0n(t)有固定的方向，又n(t) r(t)r(t)平行于固定平面。性质(1)证明：设v13.证明性质与性质。(Xi,X2,X3),V2(yi,y2,y3),V3(Zi,Z2,Z3),V

4、2V3(Wi,W2, W3)，则ijkV2V3yiy2y3Z1Z，Z3y2Z2yiZiyiZiy2Z2Wi, W2, W3Wi y2Z3 y3Z2, W2 为乙 yiZ3,W3 丫忆2 丫2乙,X2X3X3XiXiX2W2W3W3WiWiW2i j k左=场(V2V3)X X2 X3W w2 w3X2W3 XqW2, X3W1 X1W3,X1W2 X2W1X2【yiZ2 丫2乙X3y3Zi%乙,X3y2Ny3Z2XiyiZ22乙,为卜3乙乙X2【y2Zy3Z2X2Z2 X3Z3W1 X22 X3y3Zi,X3Z3 XiZiy2X2Z2 X3Z3yi,X3Z3 Xiy2,XiZX2Z2】y3X2

5、Z2y3 Xiyi X2y2Z3X22 X3y3】Z,x3y3 Xiyiz2,xy X2y2】Z3X3Z3y3X2Z2 X3Z3XiZiyi,X3Z3XiNX2Z2】y2,XiN X2Z2X22 X3y3 XiyiZ,【X3y3 xy XzyzlZxy x?y2 X3y3】Z3 X1Z1 X2Z2 X3Z3 yi,y2,y3 伙2丫2 X33 Xiyi Zi,Z2,ZaVi ,V3 V2Vi,V2 V3 右(2 )证明：设V|(为，X2,X3),V2(yi，y2, Y3),V3 (Zi,Z2, Z3),V4(W,W2,W3)，则ViV2X3y3Xi,X2,XXiX2y3X3y2,X2X3%Xi

6、y3,X3Xiy2X2%.ij kZ2Z3Z3ZiZiZ2第飞，丫3V3V4ZiZ2Z3W2Wj W3Wi，WiW2WiW2W3YZ2W3Z3W2,%Z3WiZiW3 ,YZiW2Z2Wi.左=ViV2,V3V4XiYi X2Y2X3Y3iXiyij kX2X3y2y3X2y2X3y33(X2y3 X3y2)(Z2W3 Z3W2) (X3% Xiy3)(Z3W ZiW3)X2Z2y3W3(X2 X2%)(乙趾Z2Wi)X?W2y3Z3y2W2X3Z3yiWiX3Z3为乙丫3花乙丫2可2yiWiX2Z2y2Z2X3W3yiZiX3W3XiZiy3W3XiWiy3Z3%则丫2乙yiZiX2W2(x

7、iyiZiWi x2y2Z2W2(xiyiZiWi x2y2Z2W?X3y3Z3W3)X3y3Z3W3)X2W2y3Z3y2W2X3Z3yiWiX3Z3%乙丫3可3y2Z2X3W3yi Zi X3W3xiZiy2W2XiWi y3Z3XiWiy2Z2yiWiX2Z2%ZiX2W2(x忆 X2Z2 X3Z3)(yiWi y?W2V2V4MMy3W3) (MWX2W2X3W3)(yiZiv2 v3右y?z2y3Z3)(3)证明：设 Vi (xiKk) (/小，y3), V3 (乙乙二)，则viv2XiX2X3X2X3X3Xiyiy2y3XiX2y3X3y2,X2y2 y3 y3* y y?X3%

8、Xiy3,X3 Xiy2 X2yiV3,Vi,V2V3,Vi V2ZiXi Z2X2 Z3X3乙(X2y3 X3y2) Z2(X3% Xiy3) Z3 (Xi y2 x：%) (ZiX2y3 yiZ2X3 Xiy2Z3)(2X3%X2Z3)Xi,X2,X3同理,V3ViZiz?Z3z?Z3Z3ZiZiZ2XiX2X3x?X3X3XiY1,%,丫3丫Z2X3Z3X2,Y?Z3X1乙X3,Yj ZiX2 Z2Xi %丫 丫2丫2 y3丫3V2,V3,ViV2,V3yi(Z2X3 Z3X2) y2(Z3Xi 乙X3)3(X2 ZqxJ(ZiX2y3 yiZ2X3 Xiy2Z3)g汎 XiZzy? %

9、X2Z3)V3,Vi,V2V2V3i j kyi y2 y3ZiZ2Z3y2y3Z2Z3y3yiZ3乙yiy2ZiZ2Z1, Z2, Z3乙y2Z3y3Z2, Z2y3Zi yiZ3,Z3 yiZ2 yVi, V2,V3Vi,V2 V3XiZi X2Z2 X3Z3Xi(y2Z3 y3Z2) X2(y3Zi %Z3) X3(%Z2 丫2乙)(ZiX2y3 yiZ2X3 Xiy2Z3) (zyzX? XiZzy? yiXzZ?)V3,Vi,v?所以，Vi,V2,V3V3,Vi,V2V2,V3,M性质证明：(i)( f)x,7,)ffffffy zzyzxxzx yyx2f2f2f2f2f2f(0,

10、0,0)0.y zzy,z xxJzx yy xi jk证明：(2)FJJRQx yzyzP QRRQPRQPx yzyzxzxy2r2q2p2R2q2P0.x yx zy zyxz xz y4.设O;q,e2，e3是正交标架，是1,2,3的一个置换，证明:P R Q P z x x y个偶置换。()0;e,e (:2),e是正交标架;(2)0;,62金 与0;e，e(2),e定向相同当且仅当(1)证明:当i j时，(i)(j)e (i),e (j)0 ；当i j时，(i)(j)e (i),e (j)1，所以，0；e (1),e，e是正交标架。(2)证明:A)当(12)(1) 2, (2)1,

11、 (3)3010e (1),e,ee2,e1, e3e1 , e2 , e3100,det001B)当(13)(1) 3, (2)2,1001e (1), e，ee3, e2, eiei , e2 , e3010,det1000101001;0010010101;101C)当 (23)3, (3)2, (1) 1100100e (1),e (：2) , e ei, e3, e2ei,e2, e3001 ,det001 1;010010D)当(1)(：12)(12)，此时,O;e (1),e (2),eO;e1,e2；E)当(123)(12)(13)(1) 2,3,1,001001e,e,ee2

12、, e3, e1e1,e2,e3100,det100 1;010010F)当(132)(13)(12)(1) 3,2,1,010001e (1),e，ee3, ei, e2e1, e2 ,e3001,det100 1.100010所以，,e3与Qe1i e (2) ,e (3；)疋向相同当一且仅当是一个偶置换。习题二(P28)2 24a t dt=2asec3 d12|a|I sec d(sec tan2sec )dtan d secsec dtansec3 secsec dtan sec I sec dIta n sec2In | sec tan | C1.求下列曲线的弧长与曲率:(1) y

13、 ax2xx解：r(x) (x, ax2) r (x)(1,2ax) l(x)r (t) dt 山 4a2t2dt00令2|a|t tan ,訥 4a2t2 sec，贝U1 2|a|tj1 4a2t2 In 2|a|t 1 4a2t2C2所以,1 4a2t2dt12a3 sec孟1|a |tj1 4a2t2 In 2|a|t J1 4a2t2l(x)r (t) dt .1 4a2t2dt0-21 a | x. 1 4a2x24|a|1 1In 2 |a | x v1 4a2x222.设曲线r(t) (x(t), y(t)，证明它的曲率为 x(t)y (t) x (t)y (t)3(x)2 (y

14、)22证明：r(t) (x(t), y(t) r (t) (x (t), y (t)(t)(x(t), y (t)t(s)drdtdtr (t)(x(t), y(t)-dsdsds-JXn(s)(y(t),x(t)-ds&s)d 2r d ds2 dsdtdt7d2t捋&s)r (t)(s)n(s)2史dsd2t(s)(dt y，x(t吃x (t)生dsy (t)乎ds(t)d2tx(t) 2 ds(t)d2t y(t) 2 ds-JX(s)y(t) ds-JX(s)x(吃dtd tx (t)x (t)/、dsds(s)亍dt y (t) dsdt 2dtx(t)y (t) 丁 x(t)y(t

15、) 丁 dsdsdt(y)(x)dsdtd ty (t) y -dsdsdtx(t) ds(y)2 (x)2 罟dt由dS(t)l Ux)2 (y)2(s)x(t)y (t) x (t)y(t)即3(y)2 (x)2 2 (t) x(t)y (t) x (t)y (t)3(y)2 (x)2 23.设曲线C在极坐标下的表示为rf()，证明曲线c的曲率表达式为2f2()2 fdr ()(f ( )cosf ( )sin, f ( )sinf ( )cos )(f()cos2 f ( )sinf ( )cos , 1f ( )sin2 f ( )cos所以，x f ()cosf ( )sin ； y

16、 f ( )sinf ( )cos；x f ()cos2 f ( )sinf ( )cos ；f ( )sin )f(2)d 232 2f2()乎d证明： x r cos f ( )cos , y rsin f( )sinr( )(f( )cos , f( )sin )r ( ) (f ( )cos f ( )sin , f ( )sinf ( )cos )y f ( )sin 2 f ( )cos f ( )sin因此,2，3xyf ( )cosf ( )sinf ( )sin 2 f ( )cosf ( )sin(y)2(x)2f ( )sinf2( ) 2f ( )cos2f()f ()

17、cos 2 f ( )sinf ( )cosf ( )cos2f ()f(2f()sinf ( )sinf ( )cosx ( )y(3 (x)2 (y)22)y ()f2()f2()df df()等32 24.求下列曲线的曲率与挠率:(4) r(t) (at, . 2a ln t,a) (a t0)解：r (t)(a,宇右),r (t)(0,.2a 2at2t3 ), r(t)翠);r (t)r (t)j2at、2a22a2.2a22at3r (t) r j：4 4;42 a4t424a.12t2 tt2a2Tt2 1r (t) . a22 22a a旦242tttt2 1r ,r ,r72

18、a2(v2 a276a2、2a3 丁。所以,(t)r (t)r (t)r(t)32a2工t2旦t2 1t2 t 12a2 t2a3 23a t2 1.2t2 a t2 1(t)2r ,r ,r 2、2a3 2a2 t2 12T6/74 t 1r (t) r (t)|t / tt22。215.证明:E3的正则曲线r(t)的曲率与挠率分别为(t)r (t) r (t)3?r(t)3r r r(t)证明：drdsdr dt dt dst(s) &s)dt 2 ds 鹫s) r (t)芈dst&s) r (t)dtr (t) ds r(t)勒/、dt d2t(t)2ds ds3rr (畔根据弗雷内特标

19、架运动方程t dn dsb，得:&s)(s)n(s)n(s)Js)b(s) t(s)n(s)和t(s)細1(s)r乎ds(t)2ds(t)#1(s)dtds3r(t)r (t)1(s)3dtds3(t)r (t)/、 dt(s)dsr (t)r (t)&(s)n (s)r (t) r (t)3dsdtr (t)r (t) r (t)&S) (s)n (s)由 i&(s) =(s)t(s)(s)b(s)t&s)&(s) n(s) (s)(s)t(s)&(s) n(s) 2t&s),b(s)(s)n(s)(s)b(s)(s)t(s)(s) (s)b(s)(s) (s)因为t&(s),b(s)r (

20、t)dt 3ds3r (碍兽 r(t), 1(s)d r(t)dsr (t)61 dt(s) dsr ,r,r所以， (s) (s)=(s)dtdsr ,rr ,r , r=5s)dtdsr ,r , r2。6证明：曲线r(s)(133s)23(1 s)(1 s 1)以s为弧长参数，并求出它的曲率，挠率与Frenet 标架。证明:1(1 s)212 .,21 s 1)所以,&S)r (s)(1 s)(1 s)4s 1)该曲线以s为弧长参数。1(s) 34,01)(s)(1 s) 116(1 s)116128(1 s )n(s)&s). (s)2(1 s)(11s)2 ,2(1s)(11s)0b

21、(s)t(s) n(s)1.2(1 s)(1 s)2,由 n(s)2(1i(1 s)2s)(1s)(11s)22(11s)4(1(121s)2s)(11sf0111 1b(s) ,2(1 s)(1 s)2,2(1 s)(1s)4(112(1s)(1s)3 .2(1s)(11s)P,4(1(s)I&(s),b(s)1 3s 1 3s 门 -,0 ,1sTP1s)(11s)21 3s,1 sJ(1s)(13s)(11s2)2.2(13s)(12、2(13所以,2)(s)18(1sv(1)；(s)2、.2(11s2f ,1)。3)所求Frenet标架是r(s);t(s), n(s),b(s),其中t

22、(s)1(1 s)22(11s)2121)，n(s)2(1 s)(11s)2,2(1s)(11s)2,01),b(s)1s)(1sf,4(11s2)2 (s 1)。31。r(t)是E中的正则曲线。求t解：(1) St) |%( )d0d(Tor)ddd(rTr ( )Td0r ( )d0S(t)310.设T (X ) XT P是E中的一个合同变换，detT曲线% Tor与曲线r的弧长参数、曲率、挠率之间的关系。可见，% Tor与曲线r除相差一个常数外，有相同的弧长参数。(2) %t)%(t)%(t)%(t)r(t)T r(t)T|3r (t)T|sgn(detT) r (t) r (t) Tr

23、 (t)3r r (t)|r (t)3(t)可见，% T or与曲线r有相同的曲率。(3) %t)%!%,!%2r%t) %(t)r T, r T, r Tr (t)T r (t)T|2r T, r T r Tr (t) r (t)|2r )T r (t) r (t)f rT,(r r )TrT ,sg n(detT)(rsgn( detT)r (t) r (t)sgn( detT)r ,r ,rr (t) r (t)2r )T r (t) r (t)fr ,(r r )2sgn(detT) r T ,sgn(detT)(rsgn(detT) r (t) r (t)r ,r ,rr(t) r(

24、t)2(t)可见，% Tor与曲线r的曲率相差一个符号。13. ( 1)求曲率 (s)2 a 2( s是弧长参数)的平面曲线r(s)。a s解：设所求平面曲线 r(s) x(s),y(s)因为s是弧长参数，所以|r (s)| 1x(s)2 2y(s) 1可设 x (s) cos , x (s)sin，由曲率的定义，知d /、 a(s)22dsa sssx (s)cos(arctan-), x(s)sin(arctan)aa 2 2dsa sds arcta n - as x(s)cos(arcta n-)dsads1 tan2 (arcta n?)一ds21 71 a - a2ds aln(s

25、 . a2 s2) s2sy(s)sin( arcta n)dsa1 cos2 (arcta n)2dsdssec (arctan)2ads1 ta n2 (arcta n)2ads a2 s22s所以，所求平面曲线r(s)aln(sa2 s2), -a2 s2)。(2cos - ,2sin -, t)2 220. 证明：曲线 r(t) (t .3 sin t,2cost,、一 3t si nt)与曲线 %t)是合同的 证明：1)对曲线C% % %t)作参数变换t 2u ,则% (2cosu,2sin u, 2u)。可知C%是圆柱螺线(a 2,b2)，它的曲率和挠率分别为 % 4 , %扌。因

26、此，只要证明曲线C: r r(t)的曲率 4，挠率 4，从而根据曲 线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合。2)下面计算曲线C的曲率 与挠率。由 r (t) (1, 3 cost, 2si nt,、. 3 cost) | r (t) | 2 2，进而 r (t) (、3s in t,2cos t, si nt)r (t) r (t)(2、3cost 2, 4sin t, 2 .3 2cost) 2(1、3cost,2sin t, X cost)|r (t) r (t)| 4“- oV (t)(、3cost,2sin t, cost) V(t), r (t), r (t)21. 证明：定理定

27、理设(s)0是连续可微函数，则(1) 存在平面E2的曲线r(s)，它以s为弧长参数，(s)为曲率;(2) 上述曲线在相差一个刚体运动的意义下是唯一的。证明：先证明(1)，为此考虑下面的一阶微分方程组drdse(s)(1.1)票(s)e2(s)de2ds(s)e(s)给定初值r,e0,e0，其中e,e0是E2中的一个与自然标架定向相同的正交标架，以及sb (a,b)，则由微分方程组理论得，(1.1)有唯一一组解r(s);u (s),e2(s)满足初 始条件:r(s);e (s),q(s) Isq0财, o若r(s)为所求曲线，贝Ue(s),q(s)必是它的Frenet标架。因此，我们首先证明ei

28、(s),e2(s)s (a,b)均是与自然定向相同的正交标架。将微分方程组(1.1)改写成(12) de2aej(s), i 1,2j 1其中0(s)(s)o0是一个反对称矩阵，即aijajiOi,j 1,2.令(1-3)gij(s)e(s),ej(s)( gj)i, j 1,2.对(1.3)求导，并利用(1.2)有:-J-J-J(1.4) gj (s)e(s),ej(s)丁 e(s),ej(s)dsdsds2e(s),ajkQ(s)k 12ajk e(s),ek(s)k 121ajk ek(s),q(s)k 1e(s烽Q(s),ej(s)2akek(s),ej(s)k 12akek(s),e

29、j(s)k 12akgkj(s) ajkgki(s) i, j 1,2.k 1(1.4)表明gj(s) i,j 1,2是微分方程组(1.5)(1.5)ds fj(s)2aik fkj(s)ajk fki(s) i, j 1,2.k 1的解。定义ij1, i0, ij；j.i 1,2.则ddsij 0,i, j1,2.且3ikkj3jkkiddsij所以,aik(a1k k1a1kk1 )a110, ij(a2k k2a2kk2)a22a220,i j(a1k k2a2kk1)a12a210, i1,j(a2k k1a1kk2)a21320, i2,j1 jk ki ,i, j1,2.1221k

30、 1akjk 12k 12k 121,2.是微分方程组(1.5)的解。i,j 1,2是微分方程组(佝注意到：gij (so) i, j 1,2 ij i, j 1,2，所以 gij (s)满足初始条件gij(So)i,j 1,2 j i,j 1,2 的唯一解。从而gij(s)ij, i, j 1,2.所以， e (s),e2(s)s (a,b)均是正交标架。由于F(s) q (s),e2(s),e (s) e?(s)s (a,b)是关于s的连续函数，且F(s) 1或-1。故由F (so) e (so), e2(so), q (so) e2(so)二1 知，F(s) e (s),e2(s),e

31、(S) e2(s) =1, s (a,b)。可见，e(s),e2(s)s (a,b)均是与自然定向相同的正交标架。drdse1于是由微分方程组(1.1)有：dr(s) =1，这表明s为弧长参数。从而由 一 e(s)推出t(s) e(s)是 ds单位切向量。由 咀 (s)a(s)推出(s) deit&s)是曲线r(s)的曲率，从而 由dsdsde11 de(s)e?(s)推出由n(s)t&s)e2(s)，即2(s)是单位正法向量。ds(s)(s) ds可见，微分方程组(1.1)的满足初始条件：r(s)；e(s),q(s) Lsr0；e,e2唯一一组冷(s),e?(s)的确表明：存在平面E2的曲线

32、r(s)，它以s为弧长参数，(s)为曲率，当(s)是连续可微函数时。再证明(2):设rs)与r2(s)是平面E2中两条以s为弧长参数的曲线，且定义在同一个参数区间(a,b)上, i(s)2(s)0 s (a,b)。则存在刚体运动T(X) XT P 把曲线 D(s)变为 ri(s)，即 ri Tor。证明开始：设0(a,b)，考虑两条曲线在s 0处的Frenet标架ri(0)；ti(0), nN。)与2(0);t2(0),n2(0)。则存在 平面E2中一个刚体运动T把第二个标架变为第一个标架， 即ri与T 0“在s 0处 的Frenet标架重合。因此我们只须证明当曲线 r2(s)与ri(s)在s

33、 0处的Frenet标架重合时，r2 ”。曲线Frenet标架的标架运动方程为(i-6)drdst(s)dtds(s)n (s)dnds(s)t(s)这是一个关于向量值函数r,t小的常微分方程。曲线r2 (s)的Frenet标架与” (s)的Frenet标架都是微分方程组(i.6)的解。它们在s 0处重合就意味着这两组解在 s 0的初值相等，由解对初值的唯一性定理立即得到 2 ri。定理证明完成习题三(P68)2 (1) r(u,v)a(uv),b(u v),4uv是什么曲面?x a(u 解：y b(uz 4uvv)v)2 2冷y_ z马鞍面a b4.证明：曲面F(,-)x x0的切平面过原点

34、。证明：无妨假定方程F(-,-)0确定一个x xf (x, y)的隐函数，于是y zF(=-)x x(爲)F2 (xF1 (-)F2xx(-fy)xfxxyFi zF2xF2旦F2设 r(x,y)x,y, f(x, y)，则rx 1,0, f1,0,yR ZF2XF2ry0,1, fy0,1, FryyR zF2xF2F1F2yR ZF2 F1 1 xF2, f2 ,所以，P(x, y,z)处的切平面为yF1 zF2( Yr(Xx)(y y)F 2(Zz)易见，当(X,Y,Z)(0,0,0)时，有:yh ZF2xF2(0x) (0F 2y)(0Z)yF1F2zF2 yF1ZF2F2=0=右所以

35、结论为真。6.证明：曲面S在P点的切平面TpS等于曲面上过P点的曲线在P点的切向量的全体。证明：设曲面 S 的参数方程为 r r(u,v), (u,v) D， P r(u, v),( U0,v)D。令(u(t),v(t)为参数区域 D中过(Uo,v。)则的参数曲线，r(t) r(u(t),v(t)为曲面上过 P点的曲线。于是drdtduPru(u0,v0)dtdvP rv(u0,v0)dt这表明曲线r(t) r(u(t), v(t)过P点的切向量drdtp都可由ru(u0,v)与rv(u0,v)线性表出。可见过P点的切向量drdtP都在过P点的切平面上。另一方面，对于任意切向量wru(u0,v

36、)rv(u0,v) TpS，在参数区域D中取过(Uo,v。)且方向为丨(，)的参数曲线(u(t), v(t)(ut,vt)则此时,r(t) r(u(t),v(t) r(ut,vt)从而drdtpru(u0,v)rv(u,v。)这表明:在P点的切平面TpS中每一个向量都是过 P点的某一曲线的位于 P点的切向量。于是：曲面S在P点的切平面TPS等于曲面上过P点的曲线在P点的切向量的全体。25.求双曲抛物面r(u,v) a(u v), b(u v), 4uv的Gauss曲率K，平均曲率H ,主曲率1, 2和它们所对应的主方向解：由 ru (a,b,4v)， rv(a,b,4u)b2 16v2，F a

37、b216uv，a2 b216u2。其中由ruu2 2b(u v), 2a(u2 2EG F 82b (u0，ruV(0,0, 4)，v),v)2ab ，2a2(u2EG F2v)20, M2b(u v), 2a(u v), ab ，8ab 。EG F22LN M KEG F22 264 a bEG F2于是Gauss曲率K :2以a b平均曲率H :MFEGF28ab(a2 b2 16uv)(EG F2)3/2ab(a2 b216uv)2 24b (u v)4a2(u v)2 2a2b2 睑因为M所以M 2F2 (LN M2)(EG F2)EG F2 2M 2EGEG F2 2M、EGEG F

38、2，所以主曲率1:M (F-EG)EG F2ab (a2 b2 16uv) . (a2 b2 16u2)(a2 b2 16v2)对应的主方向为du : dv其中iF所以同理,4b2 (u v)2(iF M):(M MF(F EG)du: dv另一个主曲率4a2 (u1E L)M(EGEG F2M EG(FEG)EG F2v)2F2)EG i.22 3/22a2 b2iFM): iE，MFMEGEG F2. a2 b2 4u2a2 b2 4v2。M(F 、EG)ab (a2 b2 16uv)(a2EG F2b2 16u2)(a2 b2 16v2)，3/24b2(u v)2 4a2(u v)2 2

39、a2b2对应的主方向为W ru几 aru bvWnveg drvWrudurvdvduWW ru ,W ruJvdvW rvW ru ,Wdudvdudvdurudurvdvrudurvdvru，rvdva edur rduacdudu1 u vb ddv1 u vdvbddvdva eduduacdu0b ddvdvbddv0LGMFMG NFEGF2EG F2du0MELFNEMFdv0EGF2EGF2(LGMF)(EGF2)MGNFdu0MELFNEMF(EGF2)dv0(LE)GF(MF)MGNFdu0MELF(NG)EF(MF)dv0GFLEMFdu0FE 1MFNGdv01GFLE

40、MFdu0EG F2 FEMFN Gdv0E F1L EMFdu0F GiM1FNGdv0ELF Mdu0FMG Ndv0du: dvF M :ELGN :F MoWv补充：定理(1)函数是主曲率的充要条件是E LF M0。F MG N(2)方向d = du:dv是主方向的充要条件是Edu Fdv Ldu Mdv0 (WW)。Fdu Gdv Mdu Ndv证明：(1)设du : dv是对应的主方向，则有 W dr dr，即nudu nvdvrudu rudv。分别用ru，rv与上式两边作内积，得Ldu Mdv Edu Fdv ， Mdu Ndv Fdu Gdv。所以主方向du : dv满足(E

41、 L)du ( F M)dv 0,(F M)du ( G N)dv 0.由于du, dv不全为零，可得E LF M0F MG N(2 )在脐点，K H20，!2 H。 从而由II HI可知L HE，M HF，N HG，(WW)中的两个方程成为恒等式。此时，任何方向都是主 方向。在非脐点，分别用1和 2代入(E L)du ( F M)dv 0,(F M)du ( G N)dv 0.得到相应的主方向du:dv ( ,F M ):( ,E L) ( ,G N): ( ,F M )u: v ( 2F M ):( 2E L)(2G N):( 2F M )。改写成由于1,28.曲面(E L)du ( FF M)du ( G(Ldu Mdv)(Mdu Ndv)不全为零，有M)d