40.三角形面积公式的向量式

1、 高考数学母题规划,助你考入清华北大！杨培明(电话数学丛书,给您一个智慧的人生！高考数学母题 母题(17-40):三角形面积公式的向量式(458) 1179 三角形面积公式的向量式 母题(17-40):在abc中,若=(x1,y1),=(x2,y2),则sabc=|x1y2-x2y1|.解析:由sabc=|sina=|x1y2-x2y1|.点评:我们把上述三角形面积公式称为三角形面积公式的向量式,该面积公式在解析几何中有广泛且深刻的应用. 子题(1):(原创题)在四边形abcd中,若对角线向量=(x1,y1),=(x2,y2), e d则四边形abcd的面积s= .

2、f c解析:作平行且等于,dfac交ae于f,则点e到直线ac的距离h=点e到 g直线df的距离h1+点f到直线ac的距离h2;由defabg(g是ac与bd的交点) a b点b到直线ac的距离=h1;由dfac点d到直线ac的距离=h2四边形abcd的面积s=abc的面积+acd的面积=|ac|h1+|ac|h2=|ac|(h1+h2)=|ac|h=ace的面积=|x1y2-x2y1|. 注:在四边形abcd中,若对角线向量=(x1,y1),=(x2,y2),则四边形abcd的面积s=|x1y2-x2y1|. 子题(2):(2014年四川高考试题)已知f为抛物线y2=x的焦点,点a,b在该抛

3、物线上且位于x轴的两侧,=2(其中o为坐标原点),则abo与afo面积之和的最小值是( ) (a)2 (b)3 (c) (d)解析:设a(a2,a),b(b2,b),则abo的面积=|a2b-ab2|,由f(,0)afo的面积=|a|;由=2(ab)2+ab=2ab=-2(ab0)abo与afo面积之和=|a2b-ab2|+|a|=|a-b|+a=a+a=a+3.故选(b). 注:由于抛物线上的点易于用参数表示,所以,有关抛物线上的点构成的三角形面积问题,可用其向量式解决. 子题(3):(2013年全国高中数学联赛辽宁预赛试题)椭圆+=1(ab0)的离心率为,斜率为1且过点m(b,0)的直线与

4、椭圆交于a、b两点.设o为坐标原点,若=cotaob,则该椭圆的方程是 .解析由e=a=2b;又由=cotaob|sinaob=saob=;把直线y=x-b代入椭圆得:5x2-8bx=0a(0,-b),b(,)saob=|-b|=b2=b2=4a2=16椭圆:+=1. 注:在abp中,=2mcotapbsaob=m. 子题系列:1.(2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在平面直角坐标系内,己知点a(1,3),点b(3,1),若点c在抛物线y2=-2x上,则abc面积的最小值是 .2.(2014年第二十五届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在平面直角坐标系xoy中,ab

5、c的两个顶点是a(3,0), 1180 母题(17-40):三角形面积公式的向量式(458) b(0,4),若点c在抛物线y2=-2x上,则abc的面积的最小值是( ) (a) (b) (c) (d)3.(2013年全国高中数学联赛试题(a卷)在平面直角坐标系xoy中,点a,b在抛物线y2=4x上,满足=-4.f是抛物线的焦点,则ss= .4.(2007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知抛物线y2=4x的焦点为f,直线l过点m(,-)且与抛物线交于a、b两点,向量,若点c位于抛物线的弧aob(o为坐标原点)上,则abc的面积最大可达到( )(a) (b)5 (c)10 (d)

6、205.(2005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知椭圆+=1,过椭圆中心的直线l交椭圆于a、b两点,且与x轴成600角,设p为椭圆上任意一点,则pab的面积的最大值是 .6.(2012年全国高中数学联赛江苏预赛试题)在平面直角坐标系xoy中,双曲线-=1的右焦点为f,一条过原点o且倾斜角为锐角的直线l与双曲线c交于a,b两点.若fab的面积为8,则直线l的斜率为 .7.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知平面直角坐标系内的点a(2,2)和b(4,-1),又点p在椭圆+=1上,则pab的面积的最小值是 ,这时p点的坐标是 .8.(1998年第九届“希望

7、杯”全国数学邀请赛(高二)试题)椭圆+=1的内接三角形的最大面积是 . 子题详解:1.解:设c(-2t2,2t),则=(-2t2-1,2t-3),=(-2t2-3,2t-1)sabc=2t2-2t+4.2.解:设c(-2t2,2t),则=(-2t2-3,2t),=(-2t2,2t-4)sabc=4t2-3t+6.故选(a).3.解:设a(a2,2a),b(b2,2b),由=-4ab=-2ss=|ab|=2.4.解:由f(1,0)kfm=-1直线l:y=x-4a(6+2,2+2),b(6-2,2-2),设c(t2.2t)(1-t0),则b(-x,-x),16x2+9(x)2=916x=;设p(3cos,4sin)=(3cos-x,4sin-x),=(3cos+x,4sin+x)pab的面积=|3cos-4sin|=12.6.xyobaf解:设a(x,kx)(k0,x0),则b(-x,-kx),x2-3(kx)2=12x2=x=;由f(4,0)=(x-4,kx),=(-x-4,-kx)fab的面积=|(x-4)(-kx)+(x+4)(kx)|=4kx=;由=8=1k2=1-3k2k=.7.解:设p(3cos-2,2sin+1)fab的面积=|4sin+9cos-14|(14-),p(-2