同济大学(高等数学)-第三篇-常微分方程[共10页]

1、第三篇 常微分方程第六章 常微分方程函数是研究客观事物运动规律的重要工具,找出函数关系,在实践中有重要意义但是在许多问题中,常常不能直接找出这种函数关系,但却能根据问题所处的环境,建立起这些变量和它们的导数（或微分）之间的方程,这样的方程称为微分方程在本章中,主要介绍常微分方程的基本概念和几种常用的常微分方程的解法第一节 微分方程的概念下面我们通过两个例子来说明常微分方程的基本概念11 引例引例1 一曲线通过点（1,2）,且在该曲线上任一点处的切线斜率为,求这条曲线方程解 设所求曲线方程为,且曲线上任意一点的坐标为根据题意以及导数的几何意义得. 两边同时积分得 （为任意常数） 又因为曲线通过（

2、1,2）点,把,代入上式,得故所求曲线方程为引例2 将温度为的物体放入温度为的介质中冷却,依照冷却定律,冷却的速度与温度成正比,求物体的温度与时间之间的函数关系解 依照冷却定律,冷却方程为 （为比例常数）,所求函数关系满足,以上我们仅以几何、物理上引出关于变量之间微分方程的关系下面我们介绍有关微分方程基本概念1.2 微分方程的基本概念 定义1 含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程在微分方程中,若未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程若未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程例如 下列微分方程中,（1） ； （2）； （3） （4）； （5） 都是微分方程,其中（1）

3、、（2）、（3）、（5）是常微分方程,（4）是偏微分方程 本课程只讨论常微分方程 定义2 微分方程中含未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶 在上例中,（1）、（2）、（5）是一阶常微分方程,（3）是二阶常微分方程 一般地,阶微分方程记为：定义3 若将代入微分方程中使之恒成立,则称是微分方程的解（也称显式解）；若将代入微分方程中使之恒成立,则称关系式是微分方程的隐式解定义4 微分方程的解中含有任意常数,并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解引例1中,积分后得到为微分方程的通解,由于通解中含有任意常数,所以它不能完全确定地反映客观事物的规律性,必须确定这些常数,为此

4、,要根据实际问题,提出确定通解中的常数的条件设微分方程中未知函数,如果微分方程是一阶的,确定任意常数的条件是；如果微分方程是二阶的确定任意常数的条件是,上述这些条件叫做初始条件定义5 求解微分方程满足初始条件的特解问题称为一阶微分方程的初值问题记作例1 验证是微分方程的解解 的一阶导数和二阶导数分别是 , 把和代入微分方程中,因此,是微分方程的解如果、是任意常数,则解是二阶微分方程的通解例2 已知是微分方程的通解,求满足初始条件,的特解 解 由题意得,把,分别代入得,即,于是微分方程的特解为 习题 6-1 1指出下列各微分方程的阶数 （1）； （2）； （3） ； （4）； (5)； (6)

5、； （7）； （8） 2. 验证下列函数是所给的微分方程的解 （1）； （2）； （3） ； （4） 3验证函数是微分方程的解,并求满足初始条件的特解 4写出下列条件确定的曲线所能满足的微分方程 （1）曲线在任一点处的切线斜率等于该点纵坐标的3倍 （2）曲线在任一点处的切线斜率与该点横坐标成正比 5英国人口统计学家马尔萨斯(Malthus)在担任牧师期间,查看了当地教堂100多年来的人口出生统计资料,发现了如下现象：人口出生率是一个常数在1798年,他发表了人口原理一书,其中提出了著名的Malthus人口模型他假定条件如下：在人口的自然增长过程中,人口增长率与人口总数成正比表示时间（变量）,表

6、示人口总数（依赖于时间变化）,表示人口增长率与人口总数之间的比例常数,试用微分方程表达上述条件 6一棵小树刚栽下去的时候生长缓慢, 渐渐地, 小树长高了并且长得越来越快, 几年之后, 绿荫底下已经可乘凉了； 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来 如果假设树的生长速度既与目前的高度成正比, 又与最大高度和目前高度之差成正比,试用微分方程来描述这一过程（设树生长的最大高度为H(m), 在t(年)时的高度为的是比例常数） 第二节 可分离变量微分方程 本节我们讨论的是一阶微分方程的解法2.1 可分离变量微分方程 引例 微分方程,显然不能直接用积分法求解,但是适当地变形：,此时,

7、方程右边是只含的函数的微分,方程左边是只含的函数的微分,对上式积分,得,即（为任意常数）这就是微分方程的通解一般地,一阶微分方程,如果能变形为的形式,则方程称为可分离变量的微分方程此处,为连续函数根据以上所述,解可分离变量的微分方程的步骤如下：第一步：分离变量,将方程写成的形式；第二步：两端积分：；第三步：求得微分方程的通解,其中分别为的原函数 例1 求微分方程的通解 解 将方程分离变量,得到 =,两边积分,即得 ,即由于是任意非零常数,又也是方程的解,故原方程的通解为（为任意常数）注：变量分离过程中,常将微分方程变形,有时会产生“失解”的现象：如果存在,使得满足微分方程,且包含在通解中,可与

8、通解合并如果不包含在通解中,求解微分方程时,必须补上,和通解一起共同构成微分方程的解 例2 求微分方程的解 解 将方程分离变量,得到 ,两边积分:,得,整理得方程的通解是（为任意非零常数）由于,解得,也是方程的解另外,包含在通解中,不含在通解中,故原方程的解为（为任意常数）和例3 镭的衰变有如下规律：镭的衰变速率与它的现存量成正比当时,求镭的存量与时间的函数关系解 由题意得满足初始条件此微分方程为变量分离方程,变量分离,得,积分,得,即将初始条件代入上式,得,故镭的衰变规律为 2.2 齐次方程如果一阶微分方程中,有些方程不能直接分离变量,但可以通过适当的变量代换,化为可分离变量的微分方程,齐次

9、微分方程就是其中一种如果可化为,的形式,则称此方程为齐次方程例如 微分方程可化为,即等号右边分子、分母同除以,得,故此方程为齐次方程齐次方程的解法：令,则,代入齐次方程,即,为变量分离方程例4 求微分方程的通解 解 令,则,代入上式,得,化简,分离变量,得,积分,得,即把回代,得原方程的通解思考：如何观察一阶微分方程是齐次的？, 特点：分式中分子与分母的各项中与的幂次之和无一例外的“整齐”次,则该微分方程是齐次方程例5 求微分方程的通解解 原方程可化为, 令,则,代入上式,得,化简,分离变量,得,积分,整理,得,把回代,得原方程的通解习题6-2 1求下列微分方程的通解 （1）； （2）； （3

10、）； （4）； (5) ； (6) ； (7) ； (8) 2求下列微分方程在初始条件下的特解 （1）； （2）； （3）； (4) , 3求下列齐次方程的通解或特解 （1）； （2）； （3）； (4) ； （5）,； （6）, 4作适当的变量代换,求下列微分方程的通解 （1）； （2）； （3） ； （4） 5已知放射性物质镭的衰变速度与该时刻现有存镭量成正比由经验材料得知,镭经过1600年后,只剩余原始量的一半试求镭的质量与时间的函数关系6假设设备在每一时刻由于磨损而价值损耗的速度与它的实际价格成正比已知最初价格为,试求年后的价格 7由物理学知道,物体冷却的速率与当时物体的温度和周围环境

11、温度之差成正比现在把100的沸水注入杯中,放在室温为20的环境中冷却,5min中后测得水温为60.求水温（）与时间t（min）之间的函数关系 8探照灯的聚光镜的镜面是一张旋转曲面,它的形状由坐标面上的一条曲线绕轴旋转而成按聚光镜性能的要求,在其旋转轴（轴）上一点处发出的一切光线,经它反射后都与旋转轴（轴）平行求曲线的方程第3节 一阶线性微分方程 31 一阶线性齐次微分方程 形如 （6-3-1）的方程,叫做一阶线性齐次微分方程方程（6-3-1）是可分离变量的微分方程,分离变量,得,两端积分,得,整理,得 （）,其中也是方程的解 一阶线性齐次微分方程的通解为 （为任意的常数）32 一阶线性非齐次微

12、分方程 方程 （6-3-2）且则方程（6-3-2）叫做一阶线性非齐次微分方程现在我们用常数变易法来求一阶线性非齐次微分方程的通解这个方法是把（6-3-1）的通解中的C换成的未知函数,即作变换 , （6-3-3）于是 （6-3-4）将（6-3-3）和（6-3-4）代入（6-3-2）得,两端积分得,代入（6-3-3）得方程（6-3-2）的通解 （6-3-5）上述方法求一阶线性非齐次微分方程通解的步骤,可以总结为：（1）先求对应的齐次方程的通解；（2）将齐次方程通解中的常数变换为待定函数,代入原方程,求出,得到非齐次方程的通解 这种方法称为常数变易法例1 求微分方程的通解解 原方程即 ,这是一阶线性

13、非齐次微分方程,其中,（I）：常数变易法先求原方程对应的齐次方程的通解.分离变量得 ,两边积分,得 ,（为了方便计算记）故 ,将上式中的任意常数变换成函数,即设原来的非齐次微分方程的通解为 ,则 ,将和代入原方程,得 ,整理得 ,两边积分,得 ,故原方程的通解为 ,（II）：公式法将代入公式（6-3-5）,得例 2 求微分方程满足初始条件下的特解. 解 这是一阶线性非齐次微分方程,其中套用公式（6-3-5）,得 把初始条件代入上式,得,故所求的特解是 例3 求微分方程,的通解解 上述微分方程可改写为,即,为关于未知函数的微分方程,其中,套用公式（6-3-5）,得33贝努利方程 方程 （） （6

14、-3-6）叫做贝努利方程这个方程不是线性方程,但可以通过变量代换化为线性方程事实上,对于上式两端同除以,得 （6-3-7）令,那么,用（）乘方程（6-3-7）,得,求出方程的通解后,以代得贝努利方程的通解例4 求方程的通解解 以除以方程两端,得,令,则上述方程成为, 它的通解为, 以代,解得方程的通解为习题 6-3 1求出下列微分方程的通解 （1） ； （2）； （3） ； （4）； （5） ； （6）2求下列微分方程满足所给初始条件的特解 （1）, ； （2） ； （3）； （4） ； （5） ； （6）； 3.求解下列贝努利方程的通解（1）； （2）；（3）； （4）4.一容器内盛盐水10

15、0L,含盐50g现以的盐水注入容器内,其流量为设注入盐水与原有盐水被搅拌成均匀的混合液,同时,此混合液有以流量为流出试求容器内的含盐量与时间t的函数关系5.设有一质量为m的质点作直线运动从速度为零的时刻起,有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为）的力作用于它,此外还受到与速度成正比（比例系数为）的阻力求质点运动的速度与时间的函数关系第4节 可降阶的高阶微分方程 4.1 型微分方程 微分方程的右端仅含有自变量 ,可以对微分方程两边积分,得到一个阶的微分方程同理可得 依次继续进行,积分次,便得方程的含有个任意常数的通解 例1 求微分方程 的通解 解 对所给方程接连积分两次,得, 记,原

16、方程的通解例2 求方程的通解解 设代入方程,得, 解线性方程得为任意常数),即, 两端积分得, 再积分得到方程的通解为, 其中为任意常数. 例3 质量为m的质点受力F的作用沿Ox轴作直线运动设力仅是时间t的函数:F=F(t) 在开始时刻t=0时F(0)=,随着时间t的增大,此力均匀地减小,直到t=T时, 如果开始时质点位于原点,且初速度为零, 求这质点的运动规律 解 设表示在时刻t时质点的位置, 根据牛顿第二定律, 质点运动的微分方程为由题设, 力随t增大而均匀地减小,且t=0时, F(0)= ,所以；又当t=T时,F(T)=0,从而于是质点运动的微分方程又写为,其初始条件为, 把微分方程两边

17、积分,得,再积分一次,得,由初始条件x|t=0=0, 得于是所求质点的运动规律为,0tT4.2 型微分方程 方程 (6-4-1)的右端不显含未知函数,如果我们设,则方程化为 , 这是关于的一阶方程,设的通解为=j(x,C1),则 , . 对它进行积分,原方程的通解为 . . 例4 求微分方程(1+x2)y=2xy满足初始条件y|x=0=1, y|x=0=3的特解 解 所给方程是y=f(x, y)型的 设y=p, 代入方程并分离变量后, 有两边积分,得ln|p|=ln(1+x2)+C,即 p=y=C1(1+x2) (C1=eC)由条件y|x=0=3,得C1=3,所以 y=3(1+x2)两边再积分

18、,得y=x3+3x+C2又由条件y|x=0=1,得C2=1,于是所求的特解为y=x3+3x+1 4.3型微分方程 方程 (6-4-2) 的右端不显含自变量,看作未知函数,即令y=p,并利用复合函数的求导法则把方程化为 原方程化为设方程的通解为y=p=j(y, C1), 则原方程的通解为例5 求微分方程yy-y2=0的通解 解 设y=p, 则,代入方程, 得 在y0、p0时, 约去p并分离变量, 得,两边积分得,即 p=C y或y=C y (C=c)再分离变量并两边积分, 便得原方程的通解为,即 y=C1eCx (C1=c1)例6 求微分方程满足初始条件 的特解.解 令由代入方程并化简得,上式为可分离变量的一阶微分方程,解得,再分离变量,得,由初始条件,