东北大学线性代数课后习题详解二次型

1、教学基本要求：1. 掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念2. 了解合同变换和合同矩阵的概念.3. 了解实二次型的标准形和规范形，掌握化二次型为标准形的方法4. 了解惯性定理.5. 了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别方法第六章二次型本章所研究的二次型是一类函数，因为它可以用矩阵表示，且与对称矩阵一一对应，所以就通过研究对称矩阵来研究二次型“研究”包括：二次型是“什么形状”的函数？如何通过研究对称矩阵来研究二次型？二次型是“什么形状”的函数涉及二次型的分类通过对称矩阵研究二次型将涉及矩阵的“合同变换”、二次型的“标准形”、通过正交变换化二次型为标准形、惯性定理、正定二次型等、二次型与合

2、同变换1.二次型n个变量xi,X2,nX勺二次齐次函数2 2 2 f(Xl,X2,nX=ailXl +S22X2 + +anXn+2ai2XiX2+2ainXiXn+2an-1 nXn-lXn (6.1)称为一个n元二次型.当系数aj均为实数时，称为 n元实二次型.(P i3i定义6.1)以下仅考虑n元实二次型.f(Xi,X2,nX=XTAx.(6.2)1 ai1ai2 川ainl，ZX1ai2 a221H a2nr-rX2r-rlaina2n 川 ann 丿0）f /A半正定 = f 0A/0（A半正定记作A0）f/A 负定 二 f : 0x -0（A 负定记作 A : 0）f /A半负定二

3、 f兰0,/X式0（A半负定记作A兰0）f/A不定二三,式0,所（X）a0且鲂式00（0）0,1100 a0,1 0 019910-0.51-1.25=选D2222.提示：f(X1,X2,X3)= X1 +2x2 +3X3 -2X1X2+2X2X32 2 2=(X1-X2)+(X2+X3)+2X3=正惯性指数为3,故选A3.提示：方法一特征值为2,-1,-1，故选 C*011方法二 A =10110|0|=0，排除A,B=1 0 ,排除 D0 11 0=选C4. B填空题：2 2 21. 提示：f(X,X2.X3)= X +2x2 +3x3 +4x1X2+8xX3-2XjX3，Z1 2 0 0

4、 2 2 102. .013 0 0 0 0120 错误的解答：22103-3T03-32r2巧-12-33103.提示:= 秩为2错误的解答：正惯性指数为3，故秩为3.事实上，线性变换yi= X1+X2, y2= X2-X3, y3= x 什 X3 不可逆，故R(f)n.za2 26 、6.提示：方法一A =2 a 2与0相似I22 a 丿0,=1 0,0111 =t200 t1二 t21211m t -r(2) A = t 12L 251 t22|1|=10,=1t 0, A=_5t _4t0t 1二-4/5t0因为U可逆，故当xo时，Uxo,从而f=|U x| 0,所以f为正定二次型 (

5、A=UTU是正定矩阵).6.提示：因为A正定，故存在正交矩阵令Q和正定对角矩阵D=diag(入 1,力,屁)，使A=QDQTD1=diag(、.1 ,2,A=QDQT= QDiD1TQT=UTU，其中 U=(QD1)T5、6两题表明A是正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵U使A=UtU.7. 提示：设对称矩阵 A与矩阵B合同，则存在可逆矩阵C,使CtAC=B. BT=(CTAC)T=CTAC=B,所以与对称矩阵合同的矩阵必是对称矩阵8. 提示：方法一 矩阵A与矩阵-A合同，则存在可逆矩阵C,使CtAC=-A从而|CTAC|=|-A| = |C| 2|A|=(-1) n|A| = |A|(|C|

6、 2-(-1)n)=0A可逆C可逆= |C| 2=(-1)n = |C| 20,故 n 为偶数方法二 A的正惯性指数=-A的负惯性指数A的负惯性指数=-A的正惯性指数A与-A合同=A与-A有相同的正惯性指数和负惯性指数= A的正惯性指数=A的负惯性指数=n为偶数广5-13、r_15-3、9.提示：A =-15-3T02-33-3k10k 3因为 R(A)=2,所以 k=3.(或由 R(A)=2,有 |A|=0，得 k=3.)余下略2 0 0、1 、10.提示：0 3a与2相似0 a 3 J 5200103a=20a35余下略1 b 1 11.提示：b a 1与1相似J 1 b42 +a =51

7、 b 1a=3二 =0 二b a 1lb=11 1 1余下略12.提示：A的特征值为1,1,0, Q的第3列是属于0的特征向量，1的特征向量与其正交，易知为 (V2,0,-V2)T和(0,1,0)T，是 Q 的前两列于是A=Qdiag(1,1,0)QT=.A+E的特征值为2,2,1，所以A+E为正定矩阵13.提示： E _A； -a00； -a-111九一(a 1)Z -a1-1二 C； 7)=(- a)=( -a)011-1 01)k -a1-2010-10 (a-1)h_a -2-1 人-(a-1)-a)( 2 _(2a-1)a2 -a-2)2-a)( - (2a-1) (a-2)(a 1

8、)=(t a)C； -(a - 2)C；(a 1)a-2a0= A-1的任意特征值1/ 40 = A-1正定A*的任意特征值|A|/ 40 = A*正定15. 提示：xo, xT（A+B）x=xTAx+xTBx0 二 A+B 正定16.提示：A与对角矩阵diag（入，血,入）（九久弟）相似=正交矩阵 Q,QAQ=diag(认2,n)入y=QxI n二 f =xTAxyTDy =y2i=1nmax=小2-1,n円卯二min iy2- n当分别取范时，得瑕程宀侧叮A的特征值17.提示：设入是A的特征值，则X3+ f+入-3=0,入的值为1或复数.因为A是实对称矩阵，所以 全为1，因此A为正定矩阵.

9、18.提示：A,B实对称 = A,B的特征值都是实数A的特征值都大于a, B的特征值都大于b=A-aE和B-bE正定（若入是A的特征值，则 ka是A-aE的特征值）第15题=(A-aE)+(B-bE正定，即 A+B-(a+b)E正定=A+B的特征值都大于 a+b.19. 提示：必要性 设R(A)=n,令B=A,则AB+BTA=2A2为正定矩阵充分性 设AB+BTA是正定矩阵，若R(A)O= V xo，有 Bxo=Bx=o只有零解 =R(B)=n七、计算实践实践指导：(1)掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念(2) 了解实二次型的标准形式及其求法.(3) 了解合同变换和合同矩阵的概念.(

10、4) 了解惯性定理和实二次型的规范形.(5) 了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别法(12)例6.1 设A=,则在实数域上与 A合同的矩阵为D.2 1丿iZ-21 iZ2-1(2 1 )(1-2(A);(B).;(C).;(D)V 1-2 代-121 2 丿代-21 y(2008 数二三四)提示：合同的矩阵有相同的秩，有相同的规范形，从而有相同的正惯性指数 与负惯性指数.故选D.2 2 2例 6.2已知二次型 f(xi,x2,x3)=(1-a)xi +(1-a)X2 +2x3 +2(1+a)xiX2 的秩为 2.(1) 求a的值；(2) 求正交变换x=Qy,把f化成标准形； 求方程f(Xi,

11、x2,X3)=0的解.(2005数一)q -a 1+a0、(220解(1) A =1 + a 1 a0T1+a1 -a01002R(A) =2二 1+a=1-a = a=0略.(3) f(Xi ,X2,X3)=022t二(xi+X2) +2x3 =0 二 xi=-X2, X3=0 = 解为 k(-1,1,0) , k R例6.3若二次曲面的方程 x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4经正交变换化为 y12+4z/=4，则a=_1 .(2011提示：二次型数一)f(x,y,z)=x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz经正交变换化为标准形f=y12+4Z12，因此二次型矩阵相似.所

12、以a =1.例6.4设矩阵A-1-1-1-100，则 A 与 BB.(A)合同且相似;(B)合同但不相似;九-211&k1丸-21=1丸-2111k211k2(D)既不合同也不相似.(2007 数一)E -A(C)不合同但相似;111=& 0人一30=扎(九一3)200Z-3即A的特征值为0,3,3.故A与B不相似.由于A与B有相同的正惯性指数与负惯性指数，所以A与B合同.故选B.例6.5 设A为3阶非零矩阵，如果二次曲面(x yz)A y =1在正交变换下的标准方程的图形如下图，贝U A的正特征值个数为 旧.(2008 数一)(A) 0；(B) 1；(C) 2;(D)3.提示：图形是双曲抛物

13、面，说明A的秩为2,正惯性指数为1,所以选B.例6.6设A为三阶实对称矩阵，且满足条件A2+2A=O.已知A的秩R(A)=2,(1) 求A的全部特征值； 当k为何值时，矩阵 A+kE为正定矩阵.解(1)设入是A的特征值，则?+2 /=0, /=0或-2R(A)=2 = A的特征值为0,-2,-2(2) A+kE的特征值则为 k, k-2, k-2 = 当k2时，A+kE为正定矩阵广101 例6.7设A = 0 2 0 ,矩阵B=(kE+Af,其中k为实数，E为单位矩阵.求对角矩阵 A,使B与AJ 0 b相似，并问k为何值时，B为正定矩阵解 A是实对称矩阵，则 kE+A是实对称矩阵，(kE+A)2是实对称矩阵A 与 diag(0,2,2)相似二 kE+A与 diag(k,k+2,k+2)相似=(kE+A)2 与 diag(k2,(k+2)2,(k+2)2)相似2 2 2二A=diag(k ,(k+2) ,(k+2)=当k0且k-2时，B为正定矩阵(A O)例6.8 设A, B