应力状态分析

1、 91 应力状态的概念应力状态的概念 92 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法 93 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法 94 梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线 95 三向应力状态研究三向应力状态研究应力圆法应力圆法 96 平面内的应变分析平面内的应变分析 97 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力 - - 应变关系应变关系 （广义虎克定律广义虎克定律） 98 复杂应力状态下的变形比能复杂应力状态下的变形比能 9 应力状态的概念应力状态的概念 一、引言一、引言 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？ M 低碳钢 铸铁P P 铸铁拉伸 P 铸铁

2、压缩 2、组合变形杆将怎样破坏？ M P 四、普遍状态下的应力表示四、普遍状态下的应力表示 三、单元体三、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质a、平行面上，应力均布； b、平行面上，应力相等。 二、一点的应力状态：二、一点的应力状态： 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合， 称为这点的应力状态（State of Stress at a Given Point）。 x y z s s x s sz s s y t txy x y z s s x s sz s s y t txy 五、剪应力互等定理（五、剪应力互等定理

3、（Theorem of Conjugate Shearing Stress):): 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直的剪应力分 量,则两个面上的这两个剪应力分量一定等值、方向相对或相 离。 0 : z M单元体平衡证明 0d)dd(d)dd(yxzxzy yxxy tt yxxy tt t tzx 六、原始单元体（已知单元体）：六、原始单元体（已知单元体）： 例例1 1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。 PP A A s sx s sx M P x y z B C s sx s sx B t txz C t txy t tyx 七、主单元体、主面、主应力：七、主单元体、主面、主

4、应力： 主单元体(Principal bidy)： 各侧面上剪应力均为零的单元体。 主面(Principal Plane)： 剪应力为零的截面。 主应力(Principal Stress ）： 主面上的正应力。 主应力排列规定：按代数值大小， 321 sss s s1 1 s s2 2 s s3 3 x y z s sx s sy s sz 单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。 二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。 三向应力状态（ ThreeDimensional Sta

5、te of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。 A s sx s sx t tzx s sx s sx B t txz 92 平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法 等等价价 s sx t txy s sy x y z x y s sx t txy s sy O 规定：s 截面外法线同向为正； t 绕研究对象顺时针转为正； 逆时针为正。 图1 设：斜截面面积为S，由分离体平衡得： Fn0 0cossinsin sincoscos 2 2 ts tss SS SSS yxy xyx 一、任意斜截面上的应力一、任意斜截面上的应力 x y s sx t txy s sy O s

6、sy t txy s sx s s t t x y Ot n 图2 图1 x y s sx t txy s sy O s sy t txy s sx s s t t x y Ot n 图2 t ssss s2sin2cos 22 xy yxyx t ss t2cos2sin 2 xy yx 考虑剪应力互等和三角变换，得： 同理： 02cos22sin: 00 0 tss s xyyx d d 令 二、极值应力二、极值应力 yx xy ss t 2 2tg 0和两各极值：）、（ 由此的两个驻点： 2 0101 ！极值正应力就是主应力 0 0 t ） 2 2 22 xy yxyx m in m a

7、x t t s ss ss ss s s s s s （ x y s sx t txy s sy O x y s sx t txy s sy O 主主 单元体单元体 s1在剪应力相对的项限内， 且偏向于sx 及sy大的一侧。 0 d d : 1 t 令 xy yx t ss 2 2tg 1 22 2 x y yx min max t t s ss s t t t t ）（ 0 10 45 , 4 成即极值剪应力面与主面 min2max1 ;ssss 2 s 1 s 例例2 分析受扭构件的破坏规律。 解：确定危险点并画其原 始单元体 求极值应力 0 yx ss P n xy W M tt 22

8、2 1 22 xy yxyx t ssss s s ）（ tt 2 xy t txy C t tyx M C x y O t txy t tyx 破坏分析 tt ss t t 22 min max 2 xy yx ）（ tssts 321 ; 0; 45 2 2tg 00 ss t yx xy 00 2 2tg 11 t ss xy yx MPa200;MPa240: ss ts低碳钢 MPa300198;MPa960640 MPa28098: byb Lb ts s灰口铸铁 低碳钢 铸铁 93 平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法 t ss t t ssss s 2cos2sin 2

9、 2sin2cos 22 xy yx xy yxyx 2 2 2 2 22 xy yxyx t ss t ss s 对上述方程消去参数（2），得： 一、应力圆（一、应力圆（ Stress Circle） x y s sx t txy s sy O s sy t txy s sx s s t t x y Ot n 此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆， 由德国工程师：Otto Mohr引入） 建立应力坐标系，如下图所示， （注意选好比例尺） 二、应力圆的画法二、应力圆的画法 在坐标系内画出点A(s x，txy)和 B(sy，tyx) AB与s 轴的交点C便是圆心。 以C为圆心，以AC为半径画 圆应力圆

10、； s sx t txy s sy x y O n s s t t O s s t t C A(s sx ,t txy) B(s sy ,t tyx) x 2 n D( s s , t t s sx t txy s sy x y O n s s t t O s s t t C A(s sx ,t txy) B(s sy ,t tyx) x 2 n D( s s , t t 三、单元体与应力圆的对应关系三、单元体与应力圆的对应关系 面上的应力(s ，t ) 应力圆上一点(s ，t ) 面的法线 应力圆的半径 两面夹角 两半径夹角2 ； 且转向一致。 22 3 1 22 xy yxyx ROC t

11、 ssss s s ）（ 半径 四、在应力圆上标出极值应力四、在应力圆上标出极值应力 22 minmax min max 2 2 xy yx R t ss ss t t ）（ 半径 O C s s t t A(s sx ,t txy) B(s sy ,t tyx) x 2 1 1 min t max t 2 0 0 s s1s s2s s3 s s3 例例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa) 45 325 325 95 150 A B s s 1 s s2 解：主应力坐标系如图 AB的垂直平分线与 s 轴的交点C便是 圆心，以C为圆心， 以AC为半径画 圆应力圆 0 s s

12、1s s2 B A C 2s0 s s t t (MPa) (MPa) O 20MPa )325,45(B )325,95(A 在坐标系内画出点 s s3 s s1s s2 B A C 2s0 s s t t (MPa) (MPa) O 20MPa 主应力及主平面如图 0 20 120 3 2 1 s s s 30 0 45 325 325 95 150 s s 1 0 s s2 A B t ss t2cos2sin 2 xy yx 45 325 325 95 150 解法2解析法：分析建立坐标系如图 xyyx y tt s MPa325 MPa45 ? x s 22 2 1 22 xy yx

13、yx t ssss s s ）（ 60 MPa325 MPa95 60 60 t s x y O 94 梁的主应力及其主应力迹线梁的主应力及其主应力迹线 z z xy Ib QS t z x I My s 1 2 3 4 5 P1P2q 如图，已知梁发生剪切弯 曲（横力弯曲），其上M、 Q0，试确定截面上各点主 应力大小及主平面位置。 单元体： 22 3 1 22 xy xx t ss s s ）（ 2 2 1 1 s s1 1 s s3 3 s s3 3 3 3 s s1 1 s s3 3 4 4 s s1 1 s s1 1 s s3 3 5 5 0 45 0 s s t t A1A2D2D

14、1 CO s s A2 D2 D1 C A1 O t t 20 s s t t D2 D1 C D1 O 20= 90 s s D2 A1 O t t 20 C D1 A2 s s t t A2D2D1 C A1 O 拉力 压力 主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示 着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。 实线表示拉主应力迹线； 虚线表示压主应力迹线。 s s1 s s3 s s1 s s3 q x y 主应力迹线的画法：主应力迹线的画法： 1 1 截面截面 2 2 截面截面 3 3 截面截面 4 4 截面截面 i i 截面截面

15、 n n 截面截面 b a c d s s1 s s3 s s3 s s1 95 三向应力状态研究三向应力状态研究应力圆法应力圆法 s s2 s s1 x y z s s3 1 s2 s 3 s s t 1 1、空间应力状态、空间应力状态 2 2、三向应力分析、三向应力分析 弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应 力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。 图图a 图图b 整个单元体内的最大剪应力为： t t max 2 31 max ss t s s2 s s1 x y z s s3 1 s2 s 3 s s t 例例4 求图示单元体的主应力和最大剪应力。（MPa） 解：由单元 体

16、图知：y z面为主面 50 1 s 建立应力坐标系如 图，画应力圆和 点s1,得: 27 50 58 3 2 1 s s s 44 max t 5040 x y z 30 10 (M Pa) s s （M Pa ） t t A B C A B s s1s s2s s3 t tmax 96 平面内的应变分析平面内的应变分析 x y O 一、叠加法求应变分析公式一、叠加法求应变分析公式 cosd 11x aDD 2 1 cos x 2sin /cos sin sin/ cos 1 x xx a a b b BOEAOD ab c d A O B 剪应变： 直角的增大量！ （只有这样，前后才对应）

17、D D1 E E1 sind 22y cDD 2 2 sin y 2sin /cos sin /cos sin 2 y yy c c c c BOEAOD x y O ab c d A O B D D2 E E2 cosd 33xy cADd soc xysin3 22 33 sincos /cos cos sin/ sin xy xyxy c c c c BOEAOD D D3 E E3 xy xy x y O ab c d A O B cossinsincos 22 3 1 xyyx i i 22 3 1 sincos2sin2sin xyyx i i t ssss s2sin2cos 2

18、2 xy yxyx t ss t2cos2sin 2 xy yx 2sin 2 1 2cos 22 xy yxyx 2cos 2 1 2sin 22 xy yx 2、已知一点A的应变（ ），画应变圆 xyyx , 二、应变分析图解法二、应变分析图解法应变圆应变圆（ Strain Circle） 22 ; 2 ; t s 1、应变圆与应力圆的类比关系 建立应变坐标系如图 在坐标系内画出点 A(x，xy/2) B(y，-yx/2) AB与 轴的交点C便是圆心 以C为圆心，以AC为半径画圆应变圆。 /2 /2 A B C /2 /2 三、三、 方向上的方向上的应变与应变与应变圆的对应关系应变圆的对应

19、关系 maxmin 20 D(，/2) 2 n 方向上的应变( ， /2) 应变圆上一点(， /2) 方向线 应变圆的半径 两方向间夹角 两半径夹角2 ；且转向一致。 A B C 四、主应变数值及其方位四、主应变数值及其方位 22 min max 2 1 xyyxyx ）（ 22 ; 2 ; t s 22 min max 22 xy yxyx t ssss s s ）（ yx xy tg ss t 2 2 0 yx xy 0 2tg 例例5 已知一点在某一平面内的 1、 2、 3、方向上的应变 1、 2、 3，三个线应变，求该面内的主应变。 解：由 iixyiyix i cossinsinco

20、s 22 i =1,2,3这三个方程求出 x， y， x y；然后在求主应变。 22 min max 2 1 xyyxyx ）（ 例例6 用45应变花测得一点的三个线应变后，求该点的主应变。 x y u 45o0 max 2)( 2 1 22 max ）（）（ yuuxyx 2)( 2 1 22 min ）（）（ yuuxyx yx yxu 22tg 0 97 复杂应力状态下的应力复杂应力状态下的应力 - - 应变关系应变关系 （广义虎克定律广义虎克定律） 一、单拉下的应力一、单拉下的应力-应变关系应变关系 E x x s xy Es xz E s 二、纯剪的应力二、纯剪的应力-应变关系应变关

21、系 G xy xy t ) 0 x,y,z(i,j ij )( 0 x,y,zi i 0 zxyz x y z s sx x y z t t x y 三、复杂状态下的应力三、复杂状态下的应力 - - 应变关系应变关系 依叠加原理,得: zyx z y x x E EEE sss s s s 1 xzyy E sss 1 yxzz E sss 1 G xy xy t G yz yz t G zx zx t zyxx E sss 1 x y z s sz s sy t txy s sx 主应力主应力 - - 主应变关系主应变关系 四、平面状态下的应力四、平面状态下的应力-应变关系应变关系: : 0

22、 zxyzz tts 方向一致 0 2tg 2 ss t yx xy yx xy 0 2tg 1322 1 sss E 1233 1 sss E 3211 1 sss E xyxy Gt yxx E s 2 1 xyy E s 2 1 s s1 s s3 s s2 主应力与主应变主应力与主应变方向一致方向一致? 0 2 0 2tg )( )1)( 1 22 2tg ss t yx xy yx xy yx xy E G 五、体积应变与应力分量间的关系五、体积应变与应力分量间的关系 321 aaaV )1 ()1 ()1 ( 3322111 aaaV 321 1 V VV 体积应变： )( 21

23、)( 21 321 zyx E E sss sss 体积应变与应力分量间的关系: s s1 s s3 s s2 a1 a2 a3 例例7 已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别 为：1=24010-6， 2=16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比 为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。 0 3 :s自由面上解 MPa3 .4410)1603 . 0240( 3 . 01 10210 1 6 2 9 21 2 1 s E 所以，该点处的平面应力状态 MPa3 .2010)2403 . 0160( 3 . 01 10210 1 6 2 9 12 2 2 s E 1

24、 s 2 s 66 9 132 103 .3410)3 .443 .22( 10210 3 . 0 ss E ;MPa3 .20; 0;MPa3 .44 321 sss 334 2 . 例例8 图a所示为承受内压的薄壁容器。为测量容器所承受的内压 力值，在容器表面用电阻应变片测得环向应变 t =350l06，若 已知容器平均直径D=500 mm，壁厚=10 mm，容器材料的 E=210GPa，=0.25，试求:1.导出容器横截面和纵截面上的正应 力表达式；2.计算容器所受的内压力。 p p p x s1 sm l p O D x AB y 图a 1、轴向应力:(longitudinal str

25、ess) 解：容器的环向和纵向应力表达式 用横截面将容器截开，受力如图b所示,根据平衡方程 4 2 DpD m s s 4 pD m p s sm s sm x D 图b 用纵截面将容器截开，受力如图c所示 2、环向应力：(hoop stress) Dlpl t s2 s 2 pD t 3、求内压（以应力应变关系求之） ss2 4 1 E pD E mtt MPa36. 3 )25. 02(5 . 0 1035001. 0102104 )2( 4 69 D E p t st sm 外表面 y p s s ts s t D q dq )d 2 (qDlp z 图c O 9 98 8 复杂应力状态

26、下的变形比能复杂应力状态下的变形比能 332211 2 1 2 1 2 1 sssu )( 3 1 321 ssss m s s2 s s3 s s 1 图图 a 图图 c s s3 -s sm s s 1-s sm s s2-s sm ba E )( 21 321 sss 0 c 312321 2 3 2 2 2 1 2 2 1 sssssssss E s sm 图图 b s sm s sm 2 13 2 32 2 21 6 1 ssssss E u x :单元体的应变能为图c 称为形状改变比能或歪形能。 图图 c s s3 -s sm s s 1-s sm s s2-s sm 例例9 用能

27、量法证明三个弹性常数间的关系。 G u 22 1 2 t t 纯剪单元体的比能为： 纯剪单元体比能的主应力表示为： 312321 2 3 2 2 2 1 2 2 1 sssssssss E u tttt)(002)(0 2 1 22 E 2 1 t E 12 E G t txy A s1 s3 99 强度理论的概念强度理论的概念 910 四个强度理论及其相当应力四个强度理论及其相当应力 911 莫尔强度理论及其相当应力莫尔强度理论及其相当应力 9-12 9-12 强度理论的应用强度理论的应用 一、引子：一、引子： 99 强度理论的概念强度理论的概念 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产

28、生的？ M 低碳钢 铸铁P P 铸铁拉伸 P 铸铁压缩 2、组合变形杆将怎样破坏？ M P 二、强度理论：是关于“构件发生强度失效（failure by lost strength）起因”的假说。 1、伽利略播下了第一强度理论的种子； 三、材料的破坏形式： 屈服； 断裂 。 2、马里奥特关于变形过大引起破坏的论述，是第二强度理论的 萌芽； 3、杜奎特（C.Duguet)提出了最大剪应力理论； 4、麦克斯威尔最早提出了最大畸变能理论（maximum distortion energy theory）；这是后来人们在他的书信出版后才知道的。 910 四个强度理论及其相当应力四个强度理论及其相当应力

29、 一、最大拉应力（第一强度）理论：一、最大拉应力（第一强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大拉应力达到 单向拉伸的强度极限时，构件就断了。 1、破坏判据：0)( ; 11 s ss ss s b 2、强度准则： 0)( ; 11 s ss ss s 3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。 二、最大伸长线应变（第二强度）理论：最大伸长线应变（第二强度）理论： 认为构件的断裂是由最大拉应力引起的。当最大伸长线应变 达到单向拉伸试验下的极限应变时，构件就断了。 1、破坏判据： 0)( ; 11 b 2、强度准则： 3、实用范围：实用于破坏形式为脆断的构件。 EE b s s s

30、 ss s s s 3211 1 b s ss ss s s s 321 s ss ss s s s 321 三、最大剪应力（第三强度）理论：三、最大剪应力（第三强度）理论： 认为构件的屈服是由最大剪应力引起的。当最大剪应力达 到单向拉伸试验的极限剪应力时，构件就破坏了。 1、破坏判据： s t tt t max 3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。 s s t t s ss ss s t t 22 31 max s s ss ss s 31 2、强度准则： s ss ss s 31 四、形状改变比能（第四强度）理论：四、形状改变比能（第四强度）理论： 认为构件的屈服是由形状改变比能引起

31、的。当形状改变比 能达到单向拉伸试验屈服时形状改变比能时，构件就破坏了。 1、破坏判据： xsx uu max 2、强度准则 3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件。 2 13 2 32 2 21 6 1 s ss ss ss ss ss s E ux s s ss ss ss ss ss ss s 2 13 2 32 2 21 2 1 s ss ss ss ss ss ss s 2 13 2 32 2 21 2 1 911 莫尔强度理论及其相当应力莫尔强度理论及其相当应力 莫尔认为：最大剪应力 是使物体破坏的主要因素， 但滑移面上的摩擦力也不可 忽略（莫尔摩擦定律）。综 合最大剪应力及最大

32、正应力 的因素，莫尔得出了他自己 的强度理论。 阿托阿托莫尔莫尔(O.Mohr),18351918 近似包络线 极限应力圆的包络线 O t t s 极限应力圆 一、两个概念：一、两个概念：1、极限应力圆： 2、极限曲线：极限应力圆的包络线（envelope）。 s t 1s s 2s s3s s s s y s o t s s LO1O2 莫尔理论危险条件的推导莫尔理论危险条件的推导 Ljx by bL ss s s s 31 2、强度准则： 1、破坏判据： ss s s ss 31 y L M O3 s s 1s s 3 M K L P N 二、莫尔强度理论：二、莫尔强度理论：任意一点的应力

33、圆若与极限曲线相接触， 则材料即将屈服或剪断。 三、相当应力：（强度准则的统一形式）。三、相当应力：（强度准则的统一形式）。 ss 其中，s *相当应力。 1 * 1 ss 3212 ssss 2 13 2 32 2 214 2 1 sssssss 313 sss n s sss s , 2 . 0b 31 s s s ss y L M 3、实用范围：实用于破坏形式为屈服的构件及其拉压极限强度不 等的处于复杂应力状态的脆性材料的破坏（岩石、混凝土等）。 912 强度理论的应用强度理论的应用 一、强度计算的步骤：一、强度计算的步骤： 1、外力分析：确定所需的外力值。 2、内力分析：画内力图，确定可能的危险面。 3、应力分析：画危面应力分布图，确定危险点并画出单元体， 求主应力。 4、强度分析：选择适当的强度理论，计算相当应力，然后进行 强度计算。 二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。二、强度理论的选用原则：依破坏形式而定。 1、脆性材料：当最小主应力大于等于零时，使用第一理论； 3、简单变形时：一律用与其对应的强度准则。如扭转，都用： 2