正态分布教学设计(安师大附中章伟)

1、普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3正态分布安徽师范大学附属中学 章伟 一、教学目标一、知识与技能1、结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解；2、通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质二、过程与方法讲授法与引导发现法通过教师先讲，师生再共同探究的方式，让学生深刻理解相关概念，领会数形结合的数学思想方法 ，体会数学知识的形成三、情感态度与价值观通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神二、教学重点与难点重点：正态分布曲线的特点及其所表示的意义；难点：了解在实际中什么样的随机变量服从正态分布，并掌握正态分布曲线所表示的意义三、教学方法讲授法

2、与引导发现法 四、教具准备黑板，多媒体， 五、教学过程（一）问题情境这里有一组身高数据，请大家看一下。1从我校高一男生中随机地选出84名，测量其身高，数据如下（单位：）：164 175 170 163 168 161 177 173 165 181 155 178164 161 174 177 175 168 170 169 174 164 176 181181 167 178 168 169 159 174 167 171 176 172 174159 180 154 173 170 171 174 172 171 185 164 172163 167 168 170 174 172 169

3、 182 167 165 172 171185 157 174 164 168 173 166 172 161 178 162 172179 161 160 175 169 169 175 161 155 156 182 182师：用什么数学知识能够准确直观地研究数据的分布情况？答：可以先根据这些数据作出频率分布直方图师：作出频率分布直方图步骤？第一步 对数据分组（取组距）；第二步 列出频数（或频率）分布表；师：从表格中的数据可知道分布情况，能更直观点吗？第三步 作出频率分布直方图，如图师：每个小矩形的面积代表什么？ 答：频率. 师：频率分布直方图即是用面积表示数据在每组的分布情况。师：图象的

4、直观特征?答：中间高，两头低，大致对称.师：若将样本容量和组数不断增大，我们来看一下图象。可以发现，随着样本容量和组数不断增大，频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线这条曲线即“正态曲线”，那到底什么是正态曲线，该曲线有什么特征呢？这就是本节课要学习的选修2-3的2.4正态分布.【设计意图】通过复习回顾旧知引入新课，并为后面的学习做知识铺垫与准备。（二）、试验探究问题1：下面我和大家一起来做一个试验。请问大家知道“高尔顿板试验”吗？不知道。这就是高尔顿板。（介绍高尔顿板） 下面我们来试验一下。1.高尔顿板实验问题2：试验过程中，小球碰撞和落入的位置，随着试验次数增加，球槽中小球堆积的高

5、度及形状特点？【设计意图】采用高尔顿板试验的方法引入，一方面可以激发学生学习探究的兴趣，另一方面使学生对正态曲线的来源有一个直观的印象.问题3：如何用我们学过的知识研究落在各个球槽内的小球的分布情况？用频率分布直方图从频率角度研究小球的分布规律将球槽编号，算出各个球槽内的小球个数，作出频率分布表以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，画出频率分布直方图。连接各个长方形上端的中点得到频率分布折线图【设计意图】借助频率分布直方图更加准确、直观、形象地研究小球的分布规律，为正态曲线的得出作铺垫.问题4：观察频率分布直方图，有何特点？随着试验次数增多，折线图就越来越接近于

6、一条光滑的曲线，并且中间高两边低（左右对称）【设计意图】引导学生归纳频率分布直方图的共同特点，有利于学生观察发现、归纳概括能力的初步锻炼，进一步加深正态曲线的印象.2.从描述曲线形状的角度自然引入了正态密度函数的表达式：对于这条曲线，早在18世纪30年代，棣莫弗、斯特灵等数学家经过十几年的努力，应用求导、对数、无穷级数、积分、变量代数等数学方法推出这条曲线就是（或近似地是）下面函数的图象：其中实数和为参数.我们称的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.特别地，当=0、=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（-x+）， 其相应的曲线称为标准正态曲线。标准正态总体N（0，1）在正

7、态总体的研究中占有重要的地位。很多正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题。【设计意图】对高中生来说，正态分布密度函数的推导是十分困难的。因此，从数学史的角度介绍正态分布密度曲线的解析式，既使学生易于接受又渗透了数学的文化价值.3.继续探究：当我们去掉高尔顿板试验最下边的球槽，并沿其底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，用表示落下的小球第一次与高尔顿板底部接触时的坐标（引导学生得到：此时小球与底部接触时的坐标是一个连续型随机变量）Oyx思考：.阴影部分是什么图形？.如何表示阴影部分的面积？.图中阴影部分面积有什么意义？启发学生回忆：频率分布直方图中面积对应频率，不难理解，图

8、中阴影部分的面积，就可以看成多个矩形面积的和，也就是落在区间的频率；再结合定积分的意义,阴影部分面积就是正态密度函数在该区间上的积分值。这样，概率与积分间就建立了一个等量关系 【设计意图】正态曲线的意义是本节课的重点也是本节课的难点，通过设疑，引起学生对问题的深入思考，通过复习、巩固原有知识，以确保新内容的自然引入，同时加深了对定积分几何意义的理解.以旧引新，虽然概念较为抽象，但这样的处理过程学生不会觉得太突兀，同时培养了学生把前后知识联系起来进行思考的习惯.3.在前面分析的基础上，引出正态分布概念： 一般地，如果对于任何实数，随机变量满足：，则称的分布为正态分布，常记作如果随机变量服从正态分

9、布，则记作4.请学生结合引例中的身高和高尔顿板试验讨论提出的问题，并尝试归纳服从或近似服从正态分布的随机变量所具有的特征：若没有那些小钉子，小球会落在哪里？是什么影响了小球落下的位置？你能事先确定某个小球下落时会与哪些小木块发生碰撞吗？小球最终落在哪个位置？如果小球与第一个钉子碰撞后向左落下，那与第二个钉子碰撞后也向左落下？在下落过程中的众多碰撞中哪个钉子对结果的影响大？学生通过讨论，教师引导学生得出问题的结果：竖直落下受众多次碰撞的影响互不相干、不分主次不能，具有偶然性然后归纳出特征：经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用之和，它就服从或近似服从正态分布【设计

10、意图】分析的特点及影响的因素，突破学生认知上的障碍，初步体会什么样的随机变量服从或近似服从正态分布.问题5： 大家回忆引例中的身高服从正态分布是否也符合上述条件？大家一起来找找实际生活中那些现象都服从或近似服从正态分布？生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标、测量的误差（如电子管的使用寿命、零件的尺寸等）在生物学中，13年安徽高考考生体检的体重、肺活量等；在气象中，芜湖今年五月份的平均气温、平均降雨量等；在生活中，某一时间段的车流量、考试成绩等；总之，正态分布广泛存在于各个领域当中，在概率和统计中都占有重要地位【设计意图】体会正态分布广泛存在于自然界、生产和生活实际之中，正态分布在概率统计

11、中占有重要的地位.问题6.：正态分布是谁发现的呢？ 【设计意图】给学生介绍一点数学史，将数学文化融合到课堂教学中.（三）、观察归纳1.思考：观察正态曲线，结合正态分布密度函数的解析式及概率的性质，你能说说正态曲线的特点吗？(1)曲线在轴的上方，与轴不相交；(2)曲线是单峰的，图像关于直线对称；(3)曲线在处达峰值；(4)曲线与轴之间的面积为1；(除观察图象直观感受外，引导学生从函数解析式客观验证曲线特点，做到“数形结合”。)【设计意图】加深对正态曲线特点的认识，锻炼学生的表达能力.采用小组合作学习，培养学生的合作精神和竞争意识.通过计算机绘出两组图像（动画），让学生观察：第一组：固定的值，取三

12、个不同的数；第二组：固定的值，取三个不同的数；学生通过观察并结合参数与的意义可得：(5)当一定时，曲线随的变化而沿轴平移；(6)当一定时，影响了曲线的形状即：越小，则曲线越瘦高，表示总体分布越集中；越大，则曲线越矮胖，表示总体分布越分散(结合图象解释表示均值，表示标准差，对定义进行说明，以加深学生对两个参数的理解。)2.正态总体在三个特殊区间内取得的概率值：即可以看到，正态总体几乎总取值于区间（-3，+3）之内.而此区间之外取值的概率只有0.0026，即随机变量落在这个区间外为小概率事件，通常认为一次试验中几乎不可能发生 原则： 通常认为服从于正态分布的随机变量只取之间的值，并简称为原则（四）、应用举例例1. （07浙江高考题）已知随机变量，xyo4则（A ）A B C D.例2. 某设备在正常运行时，产品的质量服从正态分布，其参数为：。为了检查设备运行是否正常，质量检查员需要随机地抽取产品，测量其质量。当检查员随机地抽取一个产品，测得其质量为504g，他立即要求停止生产检查设备。他的决定是否有道理呢？解：根据正态分布的3原则可知，产品质量在和之间的概率是，而质量超出这个范围的概率最后只有，检查员随机抽取的产品的质量为504g，这说明设备运行极可能不正常，检查员的决定是有道理的。【设计意图】巩固新知，让学生体会原则的应用性.(五)、课堂小结 1. 正态曲线