第2章 单自由度的自由系统

1、第第2 2章章 单自由度的自由振动单自由度的自由振动 第第2 2章章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 任何具有质量和弹性的系统都能产生振动，任何具有质量和弹性的系统都能产生振动， 若不外加激励的作用，振动系统对初始激励的响若不外加激励的作用，振动系统对初始激励的响 应，通常称为自由振动。自由振动是没有外界能应，通常称为自由振动。自由振动是没有外界能 量补充的振动。保守系统在自由振动过程中，由量补充的振动。保守系统在自由振动过程中，由 于总机械能守恒，动能和势能相互转换而维持等于总机械能守恒，动能和势能相互转换而维持等 幅振动，称为无阻尼自由振动。但实际系统不可幅振动，称为无阻尼自

2、由振动。但实际系统不可 避免存在阻尼因素，由于机械能的耗散，使自由避免存在阻尼因素，由于机械能的耗散，使自由 振动不能维持等幅而趋于衰减，称为有阻尼自由振动不能维持等幅而趋于衰减，称为有阻尼自由 振动。某些实际的机械或结构系统的振动问题有振动。某些实际的机械或结构系统的振动问题有 时可以简化为单自由度系统的振动，时可以简化为单自由度系统的振动， 本章只讨论最简单的振动系统，即单自由本章只讨论最简单的振动系统，即单自由 度系统的自由振动。以质量度系统的自由振动。以质量弹簧系统为简化弹簧系统为简化 的力学模型。所讨论系统的动力学方程为常系的力学模型。所讨论系统的动力学方程为常系 数线性微分方程。系

3、统的无阻尼振动频率为系数线性微分方程。系统的无阻尼振动频率为系 统固有的物理参数，称为固有频率，振幅取决统固有的物理参数，称为固有频率，振幅取决 于初始扰动的大小。阻尼振动的固有频率小于于初始扰动的大小。阻尼振动的固有频率小于 无阻尼情形。临界阻尼和大阻尼条件下的系统无阻尼情形。临界阻尼和大阻尼条件下的系统 作非往复的衰减运动。作非往复的衰减运动。 2 21 1 简谐振动简谐振动 最简单的单自由度振动系统就是一个弹簧连接一个质最简单的单自由度振动系统就是一个弹簧连接一个质 量的系统，如图所示的质量量的系统，如图所示的质量弹簧系统。在光滑的水平面弹簧系统。在光滑的水平面 上，质量为上，质量为mm

4、的物体用不计重量的弹簧连至定点的物体用不计重量的弹簧连至定点D D，弹簧，弹簧 原长为原长为L0 0，轴线成水平。沿弹簧轴线取坐标轴，轴线成水平。沿弹簧轴线取坐标轴x x，以弹簧不，以弹簧不 受力时的右端位置受力时的右端位置O O为原点，向右为正，假定物体只限于为原点，向右为正，假定物体只限于 沿坐标轴沿坐标轴x x进行直线运动，则物体在任一瞬时的位置可以由进行直线运动，则物体在任一瞬时的位置可以由 坐标坐标x x完全确定，所以系统是单自由度系统。完全确定，所以系统是单自由度系统。 作用于物体上的力，除重力与光滑水平面的反作用于物体上的力，除重力与光滑水平面的反 力互相抵消外，只有弹簧力。在原

5、点力互相抵消外，只有弹簧力。在原点O O，弹簧力等，弹簧力等 于零，这是物体的静平衡位置。当物体从该位置偏于零，这是物体的静平衡位置。当物体从该位置偏 离工时。设在原点离工时。设在原点O O的右侧，的右侧，x x为正值，弹簧受拉伸，为正值，弹簧受拉伸， 它作用于物体的力水平向左；设在原点它作用于物体的力水平向左；设在原点O O的左侧，的左侧，x x 为负值，弹簧受压缩，它作用于物体的力水平向右。为负值，弹簧受压缩，它作用于物体的力水平向右。 可见弹簧力总是指向原点可见弹簧力总是指向原点O O，力图便物体回到静平，力图便物体回到静平 衡位置，这种力称为恢复力。衡位置，这种力称为恢复力。 假设把物

6、体从位置假设把物体从位置O O向右拉至距离向右拉至距离x x0 0后，静后，静 止地放开，物体将在弹簧力的作用下向左加速运止地放开，物体将在弹簧力的作用下向左加速运 动；回到位置动；回到位置O O时，弹簧力变为零，但物体具有时，弹簧力变为零，但物体具有 速度，由于惯性将继续向寿运动；越过原点速度，由于惯性将继续向寿运动；越过原点O O后，后， 弹簧力使物体减速，直到速度等于零。此时弹簧弹簧力使物体减速，直到速度等于零。此时弹簧 力又使物体向右运动。这样物体将在平衡位置附力又使物体向右运动。这样物体将在平衡位置附 近进行往复运动。在没有阻尼的理想条件下，这近进行往复运动。在没有阻尼的理想条件下，

7、这 种运动一经开始，就会无限期地持续进行，永不种运动一经开始，就会无限期地持续进行，永不 停止。停止。 令令k k表示弹簧的刚度系数，即弹簧发生单位表示弹簧的刚度系数，即弹簧发生单位 变形时所受的力，变形时所受的力，k k的单位取为的单位取为N Nmm。在一般。在一般 工程问题中，系数工程问题中，系数k k可以视为常数，因而弹性力可以视为常数，因而弹性力 与弹簧的变形成正比与弹簧的变形成正比( (在弹性范围内在弹性范围内) )。 设在某一瞬时设在某一瞬时t t，物体的位移为，物体的位移为x x，则弹簧作，则弹簧作 用于物体的力为用于物体的力为-kx-kx, ,以以 和和 分别表示物件的速分别表

8、示物件的速 度与加速度。由牛顿定律，有度与加速度。由牛顿定律，有 引入参数引入参数 这里这里 为系统的固有频率。方程改写为为系统的固有频率。方程改写为 这是二阶常系数线性齐次常微分方程。容易证这是二阶常系数线性齐次常微分方程。容易证 明方程的解具有下面的一般形式明方程的解具有下面的一般形式 式中，式中，A A1 1和和A A2 2是取决于初始位置是取决于初始位置 和初和初 始速度始速度 的积分常数。为了方便起见，引的积分常数。为了方便起见，引 入符号入符号 从而得出从而得出 将上式代入公式，将上式代入公式， 其解可以改写为其解可以改写为 x(t)=Acos(x(t)=Acos(n nt-t-)

9、 ) 或或 x(t)=Asin( x(t)=Asin(n nt+t+) ) 并用三角关系式并用三角关系式 sincos+cossin=sin(+sincos+cossin=sin(+) ) 式中，常数式中，常数A A和和 (=/2-=/2-)分别称为振幅和相分别称为振幅和相 角。因为角。因为A A和和 取决于取决于A1A1和和A2A2，所以，所以它们也是取决它们也是取决 于初始条件于初始条件 和和 的积分常数。方程说明该系的积分常数。方程说明该系 统以固有频率叫作简谐振动。凡是位移可以按时统以固有频率叫作简谐振动。凡是位移可以按时 间的正弦函数间的正弦函数( (或余弦函数或余弦函数) )所作的

10、振动，都称为所作的振动，都称为 简谐振动。简谐振动。 利用图中的矢量图进一步讨论谐波振动的性质。利用图中的矢量图进一步讨论谐波振动的性质。 如图如图(a)(a)所示如果所示如果A A表示大小为表示大小为A A的矢量而且的矢量而且 它与垂直轴它与垂直轴x x的夹角为的夹角为 n nt-t-( (或或 n nt+t+ ) )，那么矢量，那么矢量A A 在在x x轴上的投影就表示解轴上的投影就表示解 x(t)=Acos(x(t)=Acos(n nt-t-) ) ， x(t)=Asin(x(t)=Asin(n nt+t+ ) )。当。当 n nt-t-( (或或 n nt+t+ ) )角随时间线角随时

11、间线 性增大时，意味着整个图形以角速度性增大时，意味着整个图形以角速度 n n按逆时针方按逆时针方 向转动。当图型转动时，其投影成谐波变化，所以向转动。当图型转动时，其投影成谐波变化，所以 每当矢量每当矢量A A扫过扫过22角，运动就会出现重复。角，运动就会出现重复。 振动重复一次所需要的时间间隔为振动周期振动重复一次所需要的时间间隔为振动周期 T T0 0在简谐振动的情况下，每经过一个周期，相位在简谐振动的情况下，每经过一个周期，相位 就增加就增加22，因此，因此 ，故有，故有 实际上，实际上，T T代表发生一次完整运动所需要的代表发生一次完整运动所需要的 时间时间, ,周期通常以周期通常以

12、s s计。在单位时间内振动重复的计。在单位时间内振动重复的 次数，称为振动频率次数，称为振动频率f f，有，有 频率的单位为次频率的单位为次s s，称为，称为HzHz。 物体偏离平衡状态后，在恢复力作用下进行物体偏离平衡状态后，在恢复力作用下进行 的振动即自由振动。固有频率就是振动系统自由的振动即自由振动。固有频率就是振动系统自由 振动时的圆频率。振动时的圆频率。 用初始条件来表示二阶常系数线性齐次常微用初始条件来表示二阶常系数线性齐次常微 分方程的积分常数。设在初瞬时分方程的积分常数。设在初瞬时t=0t=0，物体有初位，物体有初位 移移x=xx=x0 0与初速度与初速度 ，则代入公式式及其一

13、阶，则代入公式式及其一阶 导数，不难证明振动系统对初始条件导数，不难证明振动系统对初始条件x x0 0， 的响应的响应 为为 将方程将方程 和上式比较，并利用方程和上式比较，并利用方程 可以得到振幅可以得到振幅A A和相角和相角 的值。的值。 由前述可知，简谐振动的振幅与初相角，随初由前述可知，简谐振动的振幅与初相角，随初 始条件的不同而改变；而振动频率和周期，则唯一始条件的不同而改变；而振动频率和周期，则唯一 地决定于振动系统参数，与初始条件无关，它们是地决定于振动系统参数，与初始条件无关，它们是 振动系统的固有特征。振动系统的固有特征。 以上分析了物体沿水平方向以上分析了物体沿水平方向 进

14、行的振动，物体在静平衡位置进行的振动，物体在静平衡位置 时，弹簧无变形。现在来看由弹时，弹簧无变形。现在来看由弹 簧悬挂的物体簧悬挂的物体( (见图见图) )沿铅垂方向的沿铅垂方向的 振动。振动。 当振动系统为静平衡时，弹簧在重力当振动系统为静平衡时，弹簧在重力mgmg的作用的作用 下将有静伸长下将有静伸长 铅垂坐标轴铅垂坐标轴x x，以静平衡位置为原，以静平衡位置为原 点点O O，向下为正，在物体从静平衡位置离，向下为正，在物体从静平衡位置离 开开x x时，弹簧将有伸长时，弹簧将有伸长s+xs+x( (其中其中x x是代数是代数 值，向下为正，向上为负值，向下为正，向上为负) )，它作用于物

15、，它作用于物 体的力等于体的力等于-k(-k(s+xs+x) )。在重力与弹簧力的。在重力与弹簧力的 作用下，物体的运动微分方程为作用下，物体的运动微分方程为 因为因为mg=ksmg=ks，上式仍可简化为，上式仍可简化为 。 可见前面关于物体沿光滑平面运动的讨论，同样适可见前面关于物体沿光滑平面运动的讨论，同样适 用于对物体沿铅垂方向的振动，只要取物体的静平用于对物体沿铅垂方向的振动，只要取物体的静平 衡位置为坐标原点。衡位置为坐标原点。 从弹簧的静变形可以方便地计算出振动系统从弹簧的静变形可以方便地计算出振动系统 的固有频率。的固有频率。 因为由式因为由式得得 则则 又又 例例2.1-1 2

16、.1-1 均匀悬臂梁长为均匀悬臂梁长为l l，弯曲刚度为，弯曲刚度为EJEJ，重量，重量 不计，自由端附有重为不计，自由端附有重为P=mgP=mg的物体，如图所示。的物体，如图所示。 试写出物体的振动微分方程，并求出频率。试写出物体的振动微分方程，并求出频率。 解解 由材料力学知，在物体重力的作用下，梁的自由材料力学知，在物体重力的作用下，梁的自 由端将有静绕度。由端将有静绕度。 这里，悬臂梁起着弹簧的作用，自由端产生这里，悬臂梁起着弹簧的作用，自由端产生 单位静变形所需要的力就是梁的弹簧系数单位静变形所需要的力就是梁的弹簧系数 梁端物体的振动微分方程为梁端物体的振动微分方程为 即即 则频率为

17、则频率为 例例2.12.12 2可绕水平轴转动的细长杆，下端附有重锤可绕水平轴转动的细长杆，下端附有重锤 ( (直杆的重量和锤的体积都可以不计直杆的重量和锤的体积都可以不计) )，组成单摆，组成单摆， 也称数学摆。杆长为也称数学摆。杆长为l l，锤重为，锤重为P=mgP=mg，试求摆的运，试求摆的运 动微分方程及周期。动微分方程及周期。 解：如图所示的摆的铅垂位置解：如图所示的摆的铅垂位置 OSOS是静平衡位置。当摆从该是静平衡位置。当摆从该 位置偏离位置偏离 角时，重力分量角时，重力分量( (切切 向向)Psin)Psin力图使摆回到静平衡力图使摆回到静平衡 位置。这里重力起着弹簧作用。位置

18、。这里重力起着弹簧作用。 取偏角取偏角O O为坐标。从平衡位置出发，以逆时为坐标。从平衡位置出发，以逆时 针方向为正，锤的切向加速度为针方向为正，锤的切向加速度为 ，故有运动微，故有运动微 分方程为分方程为 假定角假定角 不大，可令不大，可令sinsin，则上式简化为，则上式简化为 故故 则振动周期为则振动周期为 例例2.1-32.1-3可绕水平轴摆动的物体，称为复摆可绕水平轴摆动的物体，称为复摆( (也称也称 为物理摆为物理摆) )。设物体的质量为。设物体的质量为mm，对轴，对轴O O的转动惯的转动惯 量为量为I I，重心，重心G G至轴至轴O O的距离为的距离为s s，如图所示，求，如图所

19、示，求 复摆微幅振动的微分方程及振动周期。复摆微幅振动的微分方程及振动周期。 解：取偏角解：取偏角 为坐标，以逆为坐标，以逆 时针方向为正，复摆绕定轴时针方向为正，复摆绕定轴 转动的微分方程可列为转动的微分方程可列为 假定角假定角 不大，可令不大，可令sinsin ，则上式，则上式 简化为简化为 这就是振动微分方程，故这就是振动微分方程，故 则振动刷期为则振动刷期为 计算形状复杂的机器部件的转动惯量相当困难，计算形状复杂的机器部件的转动惯量相当困难， 上式提供了用试验确定上式提供了用试验确定I I的一个方法：设物体的重量的一个方法：设物体的重量 mgmg与距离与距离s s均已知，并由实测定出振

20、动周期均已知，并由实测定出振动周期T T，就容，就容 易算出转动惯量易算出转动惯量I I。 例例2.1-4 2.1-4 铅垂圆轴，上端固定，铅垂圆轴，上端固定， 下端装有水平圆盘，组成扭摆，下端装有水平圆盘，组成扭摆， 如图所示。设有力矩使圆盘及圆如图所示。设有力矩使圆盘及圆 轴下端绕铅垂轴转过某一角度轴下端绕铅垂轴转过某一角度 后后 突然释放，则圆盘将在水平面内突然释放，则圆盘将在水平面内 进行扭转振动。已知圆轴的扭转进行扭转振动。已知圆轴的扭转 弹簧系数弹簧系数( (使轴的下端产生单位转使轴的下端产生单位转 角所需的扭矩角所需的扭矩) )为为k(Nmk(Nmradrad) )，质，质 量不

21、计，圆盘对转轴的转动惯量量不计，圆盘对转轴的转动惯量 为为I I，求扭摆的振动微分方程及周，求扭摆的振动微分方程及周 期与频率。期与频率。 解：设解：设 为圆盘相对于静平衡位置的角坐标。作为圆盘相对于静平衡位置的角坐标。作 用在圆盘上的恢复扭矩为用在圆盘上的恢复扭矩为M=-kM=-k，式中负号表示，式中负号表示 恢复扭矩的符号恒与扭角的符号相反，根据刚体恢复扭矩的符号恒与扭角的符号相反，根据刚体 绕定轴转动微分方程，有绕定轴转动微分方程，有 或或 故故 可见扭摆的自由振动也是简谐振动，其周期与频率为可见扭摆的自由振动也是简谐振动，其周期与频率为 2 22 2能量法能量法 对于能量无耗散的振动系

22、统，在自由振动时系对于能量无耗散的振动系统，在自由振动时系 统的机械能守恒。令统的机械能守恒。令T T与与U U分别代表振动系统的动能分别代表振动系统的动能 与势能，有与势能，有 这就是应用于振动系统的能量守恒原理。对时这就是应用于振动系统的能量守恒原理。对时 间求导，得间求导，得 以具体振动系统的能量表达式代人上式，化简后以具体振动系统的能量表达式代人上式，化简后 即可得出描述振动系统自由振动的微分方程。即可得出描述振动系统自由振动的微分方程。 如果取平衡位置为势能零点，根据自由振动如果取平衡位置为势能零点，根据自由振动 的特点，系统在平衡位置时，系统的势能为零，的特点，系统在平衡位置时，系

23、统的势能为零， 其动能的极大值其动能的极大值TmaxTmax就是全部机械能，而在振就是全部机械能，而在振 动系统的极端位置时，系统的动能为零，其势能动系统的极端位置时，系统的动能为零，其势能 的极大值的极大值UmaxUmax等于其全部的机械能。由机械能等于其全部的机械能。由机械能 守恒定律，有守恒定律，有 只要振动系统的自由振动是简谐振动，则由该只要振动系统的自由振动是简谐振动，则由该 方程可以直接得出系统的固有频率。不需要列出振方程可以直接得出系统的固有频率。不需要列出振 动微分方程。动微分方程。 例例2.2-12.2-1有一个重量为有一个重量为WW，半径为，半径为r r的实心圆柱体，的实心

24、圆柱体， 在半径为在半径为R R的圆柱形面上无滑动地滚动，如图所的圆柱形面上无滑动地滚动，如图所 示。假设该滚动的圆柱体进行简谐运动，试求它示。假设该滚动的圆柱体进行简谐运动，试求它 绕平衡位置作微小摆动时的固有频率绕平衡位置作微小摆动时的固有频率nn。 解：圆柱体在摆动时解：圆柱体在摆动时 有两种运动：移动和滚动。有两种运动：移动和滚动。 设设 坐标如图所示。坐标如图所示。 摆动时圆柱体中心摆动时圆柱体中心C C 点的速度及圆柱体的角速点的速度及圆柱体的角速 度分别为度分别为 系统的系统的T T动能为动能为 圆柱体的势能为相对于最低位置圆柱体的势能为相对于最低位置O O的重力势能。的重力势能

25、。 若选圆柱体中心若选圆柱体中心c c在运动过程中的最低点为零势能点，在运动过程中的最低点为零势能点， 则系统的势能为则系统的势能为 当圆柱体作微摆动时，当圆柱体作微摆动时，sin(/2)/2sin(/2)/2，因此系统的势能，因此系统的势能 为为 由公式由公式 ， 有有 上式可以简化为上式可以简化为 故系统固有频率为故系统固有频率为 系统的固有频率也可以用系统的固有频率也可以用Tmax=UmaxTmax=Umax来计算，来计算， 设系统作自由振动时的变化规律为设系统作自由振动时的变化规律为 则系统的最大动能为则系统的最大动能为 系统的最大势能为系统的最大势能为 则得固有频率则得固有频率nn同

26、前。同前。 例例2.2-22.2-2细杆细杆OAOA可绕水平轴可绕水平轴O O转动，如图所示，转动，如图所示， 在静平衡时成水平。杆端锤的质量为在静平衡时成水平。杆端锤的质量为mm，杆与弹，杆与弹 簧的质量均可略去不计，求自由振动的微分方程簧的质量均可略去不计，求自由振动的微分方程 及周期。及周期。 解：在杆有微小偏角解：在杆有微小偏角 时，时， 弹簧的伸长以及锤的位移与弹簧的伸长以及锤的位移与 速度可以近似地表示为速度可以近似地表示为aa， ll与与 。故振动系统的动能。故振动系统的动能 与势能可以表示为与势能可以表示为 平衡位置为零势能点平衡位置为零势能点 代入公式代入公式 ， 有有 由此

27、可得由此可得 固有频率为固有频率为 周期为周期为 2 23 3 瑞利法瑞利法 在前面的讨论中，都假设弹簧总的质量是可在前面的讨论中，都假设弹簧总的质量是可 以忽略不计的。这样的简化，在许多实际问题中以忽略不计的。这样的简化，在许多实际问题中 可能已经足够准确了。但在有一些工程问题中弹可能已经足够准确了。但在有一些工程问题中弹 簧本身的质量可能占系统总质量的一定比例，而簧本身的质量可能占系统总质量的一定比例，而 不能被忽略。如果忽略这部分弹簧的质量，将会不能被忽略。如果忽略这部分弹簧的质量，将会 导致计算出来的固有频率偏高。如何考虑弹簧本导致计算出来的固有频率偏高。如何考虑弹簧本 身的质量，以确

28、定其对振动频率的影响，瑞利身的质量，以确定其对振动频率的影响，瑞利 (Rayleigh(Rayleigh) )提出了一种近似方法，它运用能量原理，提出了一种近似方法，它运用能量原理， 把一个分布质量系统简化为一个单自由度系统，把一个分布质量系统简化为一个单自由度系统， 从而把弹簧分布质量对系统频率的影响考虑进去，从而把弹簧分布质量对系统频率的影响考虑进去， 得到相对准确的固有频率值。得到相对准确的固有频率值。 现以图所示的质量一弹簧系现以图所示的质量一弹簧系 统为例说明瑞利法的应用。在应统为例说明瑞利法的应用。在应 用瑞利法时，必须先假设一个系用瑞利法时，必须先假设一个系 统的振动形式，设弹簧

29、在振动过统的振动形式，设弹簧在振动过 程中变形是均匀的，即弹簧在连程中变形是均匀的，即弹簧在连 接质量块的一端位移为接质量块的一端位移为x x，弹簧，弹簧 ( (处于平衡位置时处于平衡位置时) )轴向长度为轴向长度为l l， 则距固定端则距固定端u u处的位移为处的位移为 。因此，。因此， 当质量块当质量块mm在某一瞬时的速度为在某一瞬时的速度为 时，弹簧在时，弹簧在u u处的微段处的微段dudu的相应速的相应速 度为度为 。 设设 为弹簧单位长度的质量，则弹簧微段为弹簧单位长度的质量，则弹簧微段dudu的动能为的动能为 整个弹簧的动能为整个弹簧的动能为 而整个系统的总动能为质量块而整个系统的

30、总动能为质量块mm的动能与弹簧质的动能与弹簧质 量的动能之和。在质量块经过静平衡位置时，系统最量的动能之和。在质量块经过静平衡位置时，系统最 大动能为大动能为 系统的势能将仍和忽略弹簧质量时一样为系统的势能将仍和忽略弹簧质量时一样为 由由Tmax=UmaxTmax=Umax可得可得 对于简谐振动，对于简谐振动， 代入得代入得 式中，式中，ll为弹簧的总质量。可见弹簧质量对于频率的为弹簧的总质量。可见弹簧质量对于频率的 影响相当于在质量影响相当于在质量mm上再加上再加1 13 3弹簧质量的等值质量，弹簧质量的等值质量， 这样就可以把弹簧质量对系统的固有频率的影响考虑这样就可以把弹簧质量对系统的固

31、有频率的影响考虑 进去。进去。 应用瑞利法求解系统自由振动的固有频率时，应用瑞利法求解系统自由振动的固有频率时， 所假定的振动形式越接近实际的振动形式，所得所假定的振动形式越接近实际的振动形式，所得 近似值就越接近准确解。实践证明，以静变形作近似值就越接近准确解。实践证明，以静变形作 为假定的振动形式，所得近似解与准确解比较，为假定的振动形式，所得近似解与准确解比较， 一般来说误差是很小的。一般来说误差是很小的。 例例2.3-12.3-1设一均质等截面简支梁，如图所示，在设一均质等截面简支梁，如图所示，在 中间有一集中质量中间有一集中质量mm，如把梁本身质量考虑在内，如把梁本身质量考虑在内，

32、试计算此系统的固有频率和梁的等效质量。试计算此系统的固有频率和梁的等效质量。 解：假定梁在自由振动时动挠度曲线和简支梁中解：假定梁在自由振动时动挠度曲线和简支梁中 间有集中静载荷间有集中静载荷mgmg作用下的静挠度曲线一样。由作用下的静挠度曲线一样。由 材料力学可知，位于距支座距离材料力学可知，位于距支座距离x x处的任一单元的处的任一单元的 位移表达式为位移表达式为 式中，式中，ymym为中点挠度。根据材料力学有为中点挠度。根据材料力学有 设设 为梁单位长度的质量，整个梁的动能为为梁单位长度的质量，整个梁的动能为 可见梁的等效质量为可见梁的等效质量为 因为是简谐振动，设因为是简谐振动，设 则

33、则 系统的最大总动能为系统的最大总动能为 而梁的最大弹性势能仍为而梁的最大弹性势能仍为 由由Tmax=UmaxTmax=Umax得得 得得 式中，式中，k k为梁的弹簧刚度，对于简支梁带有中间集中为梁的弹簧刚度，对于简支梁带有中间集中 质量时质量时 下面证明一个等截面悬臂梁下面证明一个等截面悬臂梁( (如图如图) )在自由端的在自由端的 等效质量为等效质量为 。假定梁自由振动时的振动形式。假定梁自由振动时的振动形式 和悬臂梁在自由端加一集中静载荷时的静挠度曲线和悬臂梁在自由端加一集中静载荷时的静挠度曲线 一样。一样。 由材料力学知，在梁自由端静载荷由材料力学知，在梁自由端静载荷P P的作用下，

34、的作用下， 悬臂梁自由端的挠度为悬臂梁自由端的挠度为 ，截面，截面x x处的挠度为处的挠度为 假定在自由振动中，梁各点的振幅仍近似地按比例，即设假定在自由振动中，梁各点的振幅仍近似地按比例，即设 其中，其中，y y0 0为梁自由端的最大振幅。设质量为梁自由端的最大振幅。设质量mm的的 自由振动可表示为自由振动可表示为y y0 0sinsinn nt t，而梁的振动可表示为，而梁的振动可表示为 全梁动能的最大值为全梁动能的最大值为 故整个系统动能的最大值故整个系统动能的最大值 为为 而系统势能的最大值为而系统势能的最大值为 由由Tmax=UmaxTmax=Umax可得可得 2 24 4等效刚度系

35、数等效刚度系数 弹簧刚度系数就是使弹簧产生单位变形所需要弹簧刚度系数就是使弹簧产生单位变形所需要 的力或力矩。任何弹性体都可以看成弹簧。根据定的力或力矩。任何弹性体都可以看成弹簧。根据定 义，设指定方向的位移为义，设指定方向的位移为x x，在该方向所要施加的，在该方向所要施加的 力为力为F F，则等效刚度系数为，则等效刚度系数为 同一弹性元件，根据所要研究的振动方向不同，同一弹性元件，根据所要研究的振动方向不同， 弹簧刚度系数亦不同。物体为例弹簧刚度系数亦不同。物体为例( (如图如图) )说明等效刚说明等效刚 度系数的确定。度系数的确定。 设此等直物体长为设此等直物体长为l l，截面积为，截面

36、积为 A A，截面惯性矩为，截面惯性矩为J J，截面极惯，截面极惯 性矩为性矩为JJ，材料弹性模量为，材料弹性模量为E E， 剪切弹性模量为剪切弹性模量为G G。设。设OxyOxy坐标坐标 如图所示。试确定自由端如图所示。试确定自由端B B处处 在在x x方向、方向、y y方向和绕方向和绕x x轴转动方轴转动方 向的刚度系数。向的刚度系数。 确定沿确定沿x x方向的刚度时，在方向的刚度时，在B B处沿处沿x x 方向施加一垂直力方向施加一垂直力F F。根据材料力学知，。根据材料力学知， B B点在点在x x方向的位移为方向的位移为 B B点在点在x x方向的刚度系数为方向的刚度系数为 常称这种

37、刚度为杆的拉压刚度。常称这种刚度为杆的拉压刚度。 确定沿确定沿y y方向的刚度时，在方向的刚度时，在B B点沿点沿y y方向施加一方向施加一 横向力横向力P P。这时等直物体作弯曲变形，根据材料力。这时等直物体作弯曲变形，根据材料力 学知，学知，B B点沿点沿y y方向的位移为方向的位移为 B B点沿点沿y y方向的刚度系数为方向的刚度系数为 常称这种刚度为梁的弯曲刚度。常称这种刚度为梁的弯曲刚度。 确定绕确定绕x x轴转动方向的刚度时，需要在轴转动方向的刚度时，需要在B B端绕端绕x x 轴转动方向施加一扭矩轴转动方向施加一扭矩MM。这时等直物体作转扭运。这时等直物体作转扭运 动，产生扭角动

38、，产生扭角 。根据材料力学知，。根据材料力学知，B B点沿点沿x x轴的扭轴的扭 角为角为 B B点绕点绕x x轴转动方向的刚度系数为轴转动方向的刚度系数为 常称这种刚度为轴的扭转刚度。常称这种刚度为轴的扭转刚度。 同样，对于螺旋弹簧，在承受轴向拉伸或压缩、同样，对于螺旋弹簧，在承受轴向拉伸或压缩、 扭转与弯曲变形时，刚度系数分别为扭转与弯曲变形时，刚度系数分别为 式中，式中，E E为弹性模量，为弹性模量，G G为剪切模量，为剪切模量，d d，D D分别为簧分别为簧 丝、簧圈直径，丝、簧圈直径，n n为弹簧有效圈数。为弹簧有效圈数。 工程中用到的弹簧类型很多，计算时需要用到工程中用到的弹簧类型

39、很多，计算时需要用到 其刚度系数，一般可以根据等效刚度系数的推证方其刚度系数，一般可以根据等效刚度系数的推证方 法加以推导。法加以推导。 在振动系统中常常不是单独使用一个弹性元在振动系统中常常不是单独使用一个弹性元 件，而是串联或并联几个弹性元件加以使用。这件，而是串联或并联几个弹性元件加以使用。这 时需要把组合的弹簧系统折算成一个时需要把组合的弹簧系统折算成一个“等效等效”的的 弹簧，其等效弹簧的刚度应该和原来的组合弹簧弹簧，其等效弹簧的刚度应该和原来的组合弹簧 系统的刚度相等，即等效刚度。系统的刚度相等，即等效刚度。 下面以两个串联和并联的弹簧为例，说明下面以两个串联和并联的弹簧为例，说明

40、 组合弹簧系统的等效刚度的计算方法。组合弹簧系统的等效刚度的计算方法。 如图所示是两个串联弹簧，刚度系如图所示是两个串联弹簧，刚度系 数分别为数分别为k1k1和和k2k2，求，求B B端垂直方向的刚端垂直方向的刚 度时，在度时，在B B端加一垂直力，每个弹簧都端加一垂直力，每个弹簧都 拉伸，伸长分别为拉伸，伸长分别为F/k1F/k1和和F/k2F/k2。B B点的点的 位移为两个弹簧的总伸长，即位移为两个弹簧的总伸长，即 由此，由此，B B点的等效刚度系数为点的等效刚度系数为 也可以写成也可以写成 从上式可以看出，两个串联弹簧的等效刚度比原从上式可以看出，两个串联弹簧的等效刚度比原 来两个弹簧

41、的刚度都要小，也就是说，串来两个弹簧的刚度都要小，也就是说，串联联弹簧弹簧 使系统中的弹簧刚度降低。使系统中的弹簧刚度降低。 如果有如果有n n个弹簧串联，刚度系数分别为是个弹簧串联，刚度系数分别为是k1k1、 k2k2、.kn.kn，则等效刚度系数，则等效刚度系数k k应满足关系式应满足关系式 如图所示是两个并联弹簧，连接两如图所示是两个并联弹簧，连接两 弹簧的刚性杆在弹簧变形过程中保持水弹簧的刚性杆在弹簧变形过程中保持水 平，求平，求B B端垂直方向的刚度时，在端垂直方向的刚度时，在B B端加端加 垂直力垂直力F F。这时两个弹簧均伸长。这时两个弹簧均伸长x xB B。但。但 两个弹簧所受

42、的力不相等，分别为是两个弹簧所受的力不相等，分别为是 k k1 1x xB B和和k k2 2x xB B。根据静力平衡条件得。根据静力平衡条件得 所以所以B B点的等效刚度为点的等效刚度为 可见并联弹簧系统的刚度是原来弹簧刚度的总和，比可见并联弹簧系统的刚度是原来弹簧刚度的总和，比 原来各弹簧的刚度都要大。原来各弹簧的刚度都要大。 如果有如果有n n个弹簧并联，其弹簧刚度系数分别个弹簧并联，其弹簧刚度系数分别 为为k1k1，k2k2，knkn，则等效刚度系数为，则等效刚度系数为 弹簧的并联与串联，不能按表面形式来划分，弹簧的并联与串联，不能按表面形式来划分， 应从力的分析来判断。例如图应从力

43、的分析来判断。例如图(a)(a)与与(b)(b)中的弹簧为中的弹簧为 串联，而图串联，而图(c)(c)与与(d)(d)中的弹簧则属于并联。中的弹簧则属于并联。 2 25 5有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动 在前面所述的自由振动中，忽略了运动的阻在前面所述的自由振动中，忽略了运动的阻 力，假定物体由于任何外来的原因离开平衡位置力，假定物体由于任何外来的原因离开平衡位置 后，只受到恢复力的作用，物体将在平衡位置附后，只受到恢复力的作用，物体将在平衡位置附 近按固有频率进行简谐振动，振动过程中机械能近按固有频率进行简谐振动，振动过程中机械能 守恒，系统保持持久的等幅运动。这样的结论显守恒，系

44、统保持持久的等幅运动。这样的结论显 然与实际不符，实际系统振动时不可避免地存在然与实际不符，实际系统振动时不可避免地存在 着阻力，因而在一定时间内振动将逐渐衰减而停着阻力，因而在一定时间内振动将逐渐衰减而停 止。止。 阻力可能来自多方面。例如，两物体之间在润阻力可能来自多方面。例如，两物体之间在润 滑表面或干燥表面上相对滑动时的阻力；物体在磁滑表面或干燥表面上相对滑动时的阻力；物体在磁 场或流体中运动所遇到的阻力；以及由于材料的粘场或流体中运动所遇到的阻力；以及由于材料的粘 弹性产生的内部阻力等。在振动中，这些阻力统称弹性产生的内部阻力等。在振动中，这些阻力统称 为阻尼。为阻尼。 不同的阻尼具

45、有不同的性质。两个干燥的平滑不同的阻尼具有不同的性质。两个干燥的平滑 接触面之间的摩擦力接触面之间的摩擦力F F，与两个面之间的垂直正压，与两个面之间的垂直正压 力力N N成正比，即成正比，即 式中，式中， 是摩擦系数，如果两个接触面是粗糙的，是摩擦系数，如果两个接触面是粗糙的， 摩擦系数摩擦系数 则与速度有关，速度越快则与速度有关，速度越快 越小越小 若两接触面之间有润滑剂，摩擦力则决定于若两接触面之间有润滑剂，摩擦力则决定于 润滑剂的润滑剂的“粘性粘性”和运动的速度。两个相对滑动和运动的速度。两个相对滑动 面之间有一层连续的油膜存在时，阻力与润滑剂面之间有一层连续的油膜存在时，阻力与润滑剂

46、 的粘性和速度成正比，与速度的方向相反，即的粘性和速度成正比，与速度的方向相反，即 式中，式中，c c称为粘性阻尼系数，它取决于运动物体称为粘性阻尼系数，它取决于运动物体 的形状、尺寸及润滑剂介质的粘性。粘性阻尼由的形状、尺寸及润滑剂介质的粘性。粘性阻尼由 于与速度成正比，又称线性阻尼。于与速度成正比，又称线性阻尼。 结构材料本身的内摩擦引起的阻力，称为结构结构材料本身的内摩擦引起的阻力，称为结构 阻尼。在完全弹性材料内，应变与应力的相位相同，阻尼。在完全弹性材料内，应变与应力的相位相同， 所以在反复受力过程中没有能量损失。而在粘弹性所以在反复受力过程中没有能量损失。而在粘弹性 材料内，应变滞

47、后于应力，有相位差，所以在反复材料内，应变滞后于应力，有相位差，所以在反复 受力过程中形成滞后回线，因此要耗散能量，而成受力过程中形成滞后回线，因此要耗散能量，而成 为振动的阻尼。为振动的阻尼。 阻尼的存在将消耗振动系统的能量，消耗的阻尼的存在将消耗振动系统的能量，消耗的 能量转变成热能和声能能量转变成热能和声能( (噪声噪声) )传出去。在自由振传出去。在自由振 动中，能量的消耗导致系统振幅的逐渐减小而最动中，能量的消耗导致系统振幅的逐渐减小而最 终使振动停止。终使振动停止。 下面讨论粘性阻尼的衰减振动。如图表示有下面讨论粘性阻尼的衰减振动。如图表示有 粘性阻尼的振动系统，粘性阻尼系数以粘性

48、阻尼的振动系统，粘性阻尼系数以c c表示，单表示，单 位为位为Ns/mNs/m。取铅垂向下为坐标轴。取铅垂向下为坐标轴x x，以物体的静，以物体的静 平衡位置平衡位置O O为原点，向下为正。由牛顿运动定律有为原点，向下为正。由牛顿运动定律有 或或 这就是有粘性阻尼的振动系统的自由振动微分方程。这就是有粘性阻尼的振动系统的自由振动微分方程。 为了求解，设为了求解，设 其中，其中，s s是待定常数，代入上式，可得是待定常数，代入上式，可得 可见所设解满足公式，亦即是公式的解，只要有可见所设解满足公式，亦即是公式的解，只要有 这个代数方程称为方程的特征方程，有两个根这个代数方程称为方程的特征方程，有

49、两个根s1s1和和 s2s2，为，为 于是微分方程的通解为于是微分方程的通解为 式中，式中，B1B1和和B2B2为任意常数，决定于运动的初始条件。为任意常数，决定于运动的初始条件。 解式的性质决定于根解式的性质决定于根s1s1与与s2s2的性质。由式可的性质。由式可 见，随着阻尼系数的大小不同，根号内的项可以见，随着阻尼系数的大小不同，根号内的项可以 大于、等于或小于零，因而根大于、等于或小于零，因而根s1s1与与s2s2可以是实根、可以是实根、 复根或虚根。使式根号内的项等于零，亦即复根或虚根。使式根号内的项等于零，亦即s1s1与与 s2s2为等值时的阻尼系数值，称为临界阻尼系数。为等值时的

50、阻尼系数值，称为临界阻尼系数。 记为记为cece，即，即 式中，式中，nn为无阻尼时振动系统的固有频率，引进为无阻尼时振动系统的固有频率，引进 阻尼比阻尼比( (或称相对阻尼系数或称相对阻尼系数) ) 式中，式中， 为一无量纲的量。为一无量纲的量。 引进引进 以后，微分方程和特征方程可以改写为以后，微分方程和特征方程可以改写为 则特征方程的根为则特征方程的根为 下面分别就下面分别就111的三种情况讨论解式的三种情况讨论解式 的性质。的性质。 (1)(1)小阻尼情况小阻尼情况( (即即11，ccecce) ) 此时特征方程的根此时特征方程的根s1s1，2 2为为 式中，式中， 。则解式为。则解式

51、为 令令 式中，式中，dd通常称为有阻尼自由振动的圆频率。通常称为有阻尼自由振动的圆频率。 设在设在t=0t=0时，有时，有x=x0 x=x0， ，则代入解式及其导数中有，则代入解式及其导数中有 在在t=t=时有时有 解得解得 将将B1B1与与B2B2代入式代入式 即得系统对于初始条件即得系统对于初始条件x x0 0与与 的响应的响应 根据欧拉公式根据欧拉公式 则上式可以简化为则上式可以简化为 式中，式中，A1=B1+B2A1=B1+B2，A2=i(B1-B2)A2=i(B1-B2)，为待定常数，为待定常数， 仍决定于初始条件。仍决定于初始条件。 设在设在t=0t=0时，有时，有x=xx=x0

52、 0， ，则代入解式及其导数，则代入解式及其导数， 得得 在在t=0t=0时有时有 解得解得 将将A1A1与与A2A2代入解式即得系统对于初始条件代入解式即得系统对于初始条件x x0 0与与 的的 响应。响应。 经过三角函数变换经过三角函数变换A1=AsinA1=Asin，A2=AcosA2=Acos，方程，方程 的解式可以简化为的解式可以简化为 式中，式中，A A与与 为待定常数，仍决定于初始条件。为待定常数，仍决定于初始条件。 设在设在t=0t=0时，有时，有x=xx=x0 0， ，则代人上式及其导数，则代人上式及其导数， 得得 在在t=0t=0时有时有 解得解得 将将A A与与 代入式代

53、入式 即得系统对于初始条件即得系统对于初始条件x x0 0与与 的响应。的响应。 由解可见，系统振动已不由解可见，系统振动已不 再是等幅的简谐振动，而是振再是等幅的简谐振动，而是振 幅被限制在曲线幅被限制在曲线AeAe-nt -nt之内， 之内， 随时间不断衰减。当随时间不断衰减。当tt，x0 x0， 振动最终将消失，所以小阻尼振动最终将消失，所以小阻尼 的自由振动也称为衰减振动。的自由振动也称为衰减振动。 如图表示这种衰减振动的响应如图表示这种衰减振动的响应 曲线。曲线。 阻尼对自由振动的影响有两个方面：阻尼对自由振动的影响有两个方面： 一方面阻尼使系统振动的周期略有增大，频一方面阻尼使系统

54、振动的周期略有增大，频 率略有降低，即率略有降低，即 式中，式中，T=2T=2 n n和和f=f=n n22分别为无阻尼自由振动分别为无阻尼自由振动 的周期和频率。的周期和频率。 当阻尼比较小当阻尼比较小( (即即1)1)时，例如时，例如=0.05=0.05时，时， T T d d=1.00125T =1.00125T，与无阻尼的情形比较，只差，与无阻尼的情形比较，只差 0.125%0.125%，当，当=0.3=0.3时，时，T Td d=1.05T=1.05T，f fd d=0.95f=0.95f，与无，与无 阻尼的情形比较，也只差阻尼的情形比较，也只差5 5。所以在阻尼比较小。所以在阻尼比

55、较小 时，它对周期和频率的影响可以忽略不计。时，它对周期和频率的影响可以忽略不计。 另一方面阻尼使系统振动的振幅按几何级数另一方面阻尼使系统振动的振幅按几何级数 衰减。相邻两个振幅之比为衰减。相邻两个振幅之比为 式中，式中， 称为减幅系数。可见在一个周期内，振幅称为减幅系数。可见在一个周期内，振幅 减缩到初值的减缩到初值的1 1e enTd nTd。当 。当=0.05=0.05时，时，=1.366=1.366， A2=A1/1.366=0.73A1A2=A1/1.366=0.73A1，即在每一个周期内振幅减，即在每一个周期内振幅减 小小2727，振幅按几何级数缩减，衰减是显著的。，振幅按几何级

56、数缩减，衰减是显著的。 为了避免取指数值的不方便，常用对数减幅为了避免取指数值的不方便，常用对数减幅 来来 代替减幅系数代替减幅系数 ，即，即 即对数减幅表示为唯一变量即对数减幅表示为唯一变量 的函数。同样相对阻尼的函数。同样相对阻尼 系数可以确定为系数可以确定为 当当1l(l，ccecce) ) 此时，特征方程的根此时，特征方程的根s1s1和和s2s2为两个不等的负为两个不等的负 实根，即实根，即 则解为则解为 上式右端两项的绝对值都随时间上式右端两项的绝对值都随时间t t按指数规律衰减，按指数规律衰减， 它所表示的运动不再是振动，而是一种非周期的它所表示的运动不再是振动，而是一种非周期的

57、运动。如图所示的为此种衰减响应曲线的一种。运动。如图所示的为此种衰减响应曲线的一种。 从上面讨论的情况可见，系统振动的性从上面讨论的情况可见，系统振动的性 质决定于相对阻尼系数质决定于相对阻尼系数 的值。将式的值。将式 以以 为参量，在复平面为参量，在复平面 上画出，如图所示。上画出，如图所示。 实轴表示实轴表示 值。从图上值。从图上 可见，当可见，当=0=0时，时，s1s1， 2=2=inin是两个虚根，是两个虚根， 即虚轴上截距为即虚轴上截距为nn 的对称的两个点，对的对称的两个点，对 应于无阻应于无阻 二习由振动。二习由振动。 当当0101时，时，s1s1和和s2s2是一对是一对 共轭复

58、数根，位于以共轭复数根，位于以nn为半为半 径的圆上与实轴对称的两个径的圆上与实轴对称的两个 点，对应于弱阻尼状态的衰点，对应于弱阻尼状态的衰 减振动。当减振动。当 趋向于趋向于1 1时，时，s1s1 和和s2s2都趋近于实轴上都趋近于实轴上-n-n点，点， 对应于临界阻尼状态。当对应于临界阻尼状态。当 大大 于于1 1时时,s1,s1和和s2s2是两个实数根，是两个实数根， 对应于大阻尼状态。随对应于大阻尼状态。随 的增的增 大，大，s1s1和和s2s2沿实轴反向移动。沿实轴反向移动。 当当时，时，s10s10，s2-s2-。 例例2.5-l2.5-l为车辆设计小阻尼减振器，要求振动为车辆设

59、计小阻尼减振器，要求振动1 1周周 后的振幅减小到第一幅值的后的振幅减小到第一幅值的1 11616。已知车辆质。已知车辆质 量量m=500kgm=500kg，阻尼振动周期，阻尼振动周期T Td d=1s=1s，试求减振器，试求减振器 的刚度系数的刚度系数k k和阻尼系数和阻尼系数c c。 解：由解：由 得得 ，则对数减幅，则对数减幅 解出阻尼比解出阻尼比 由式由式 所以，临界阻尼系数、阻尼系数及弹簧刚度求得如下所以，临界阻尼系数、阻尼系数及弹簧刚度求得如下 求得固有频率求得固有频率 2 26 6课堂讨论课堂讨论 应用振动理论分析实际工程中的振动问题时，应用振动理论分析实际工程中的振动问题时， 首先就要解决振动力学模型