微分方程习题

1、微分方程和差分方程作业题专业：土规1101班 姓名：刘迈克 学号：2011306200521微分方程模型作业：1用matlab求解微分方程组 （1）求在初始条件下的特解，并画出解函数的图形（2）分别用 ode23、ode45 求此微分方程组初值问题的数值解(近似解)，求解区间为利用画图来比较两种求解器之间的差异解：程序：x,y=dsolve(Dx+x+y=0,Dy+x-y=0, . x(0)=1, y(0)=0, t)ezplot(x,y,0,5);（1）（2）先编写函数文件 verderpol.mfunction xprime=verderpol(t,x)xprime=-x(1)-x(2);

2、 -x(1)+x(2);再编写脚本文件 vdpl.m，在命令窗口直接运行该文件clear;y0=1;0;t,x=ode45（23）(verderpol,1,40,y0); plot(t,x(:,1),or-);ode45求解器微分方程组初值问题的数值解(近似解)Ode23求解器微分方程组初值问题的数值解(近似解)两种求解器之间的差异：由图像可知，Ode45求解器的图像中点数比较多，更加精确。2设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？解：分析

3、：设t时刻（单位为分钟）净盐量为x(t)（单位: kg/l），考虑时间区间为t,t+t。程序：x=dsolve(Dx=-2*x/(100+t),x(0)=10,t);结果：程序：ezplot(x);结果：当t=60时，x=3.90253.医生给病人开药时需告诉病人服药的剂量和两次服药的间隔时间，服用的剂量过大会产生副作用甚至危险，服用的剂量过小又达不到治疗的目的，例如，为有效杀死病菌，体内药物浓度应达到A,试分析这一问题并设计出一种病人服药的方法。解：方法一：快速静脉注射微分方程 结果 方法二：恒速静脉点滴方程 解为 （为第一次点滴，时间T1）第二次点滴初始值 方法三：口服药或肌注方程 解得

4、由分析可知，第二种效果更好一些。4. 早期肿瘤的体积增长满足Malthus模型（，其中为常数），（1）求肿瘤的增倍时间。根据统计资料，一般有(7,465)（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于70天而小于465天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式. (3) 正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为10m，重约0.001g.，当患者被查出患有癌症时，通常直径已有1cm以上（即已增大1000倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有30天，故如何在早期发现癌症是攻克

5、癌症的关键之一。手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行的治疗方案（医生认为当体内癌细胞数小于105个时即可凭借体内免疫系统杀灭。解：（1），其中为常数 （其中c为常数） 当（2） 因为 t=0时， 所以 （3）假设，不考虑杀死免疫细胞从而影响人类免疫功能，一位病人癌细胞直径为1cm，癌细胞含量为，治疗打算用17/2天使癌细胞减少到可杀死水平，每两次治疗的间隔为1/2,用9次治疗使癌细胞得到控制。程序：clear;clc;for x=1:900000 k=100000

6、0-x; for i=1:9 k=sqrt(2)*k-x; end if k=100000 break endendx解得，x=301006.每隔1/2进行一次放射性治疗，强度为杀死301006个癌细胞。 差分方程模型作业：5某保险公司推出与养老结合的人寿保险计划，其中介绍的例子为：如果40岁的男性投保人每年交保险费1540元，交费期20岁至60岁，则在他生存期间，45岁时（投保满5年）可获返还补贴4000元，50岁时（投保满10年）可获返还补贴5000元，其后每隔5年可获增幅为1000元的返还补贴。另外，在投保人去世或残废时，其受益人可获保险金20000元。试建立差分方程模型分析：若该投保人

7、的寿命为76岁，其交保险费所获得的实际年利率是多少？而寿命若为74岁时，实际年利率又是多少？解：若6. 据统计，某城市2001年的猪肉产量为30万吨，价格为6.00元/公斤。2002年生产猪肉25万吨，价格为6.00元/公斤。已知2003年生产猪肉25万吨，若维持日前的消费水平与生产方式，并假定猪肉产量与价格之间是线性关系。问若干年以后的产量与价格是否会趋于稳定？若稳定请求出稳定的产量和价格7已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给除了变化过程的基本规律）。孵化后的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为0.09，（称为成活率），2

8、周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为0.2。（1）假设开始时， 02，24，46周龄的昆虫数目相同，计算2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目； （2）讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？ （3）假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？解：分别设2周龄虫，4周龄虫，6周龄虫的数目为一个单位所以2周龄虫，4周龄虫，6周龄虫的初值分别为1，1，1设两周为一个观察单位，设表示第k个时间单位2n龄幼虫的数目建立函数模型：（1)计算2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目的程序clear; clc; x0=

9、1;1;1; L=0 100 150;0.09 0 0;0 0.2 0; x1=L*x0; x2=L*x1; x3=L*x2; x1;x2;x3结果如下：ans = 1.0e+003 * 0.2500 0.0001 0.0002 0.0390 0.0225 0.00002.2527 0.0035 0.0045（2） 令z在比例中的值为1编程求出个周龄在90100这个时间段的值以z的值为一个单位，求x，y的和z的比。程序：clear; clc; x0=1;1;1; L=0 100 150;0.09 0 0;0 0.2 0; X=x0; x(1)=X(1);y(1)=X(2);z=X(3); for k=2:1001 X=L*X; x(k)=X(1);y(k)=X(2);z(k)=X(3); end for i=100:200 x(i)/z(i),y(i)/z(i) end得出的结果大都分布在m =547.7538 15.6954，所以三种虫的比值为547.75：15.7：1为恒定的值。由拟合图像可知，昆虫数目无限增长。（3）如果使用了杀虫剂，那么各周龄的昆虫成活率减为原来的一半设两周为一个观察单位，设表示第k个时间单位2n龄幼虫的数目建立函数模型变为：程序:clear; clc; x0=1;1;1; L=0 100 150;0.0045 0 0;0 0.1 0; X=x0