线性约束问题研究与例题分析

1、线性约束问题研究与例题分析线性约束问题研究与例题分析 主讲人：江先丽主讲人：江先丽 组员：韦小娜组员：韦小娜 韦小云韦小云 韦景育韦景育 黄保电黄保电 谭期勤谭期勤 受约束回归受约束回归 在建立回归模型时，有时根据经济理论 需对模型中变量的参数施加一定的约束条件。 如： 0阶齐次性阶齐次性 条件的消费需求函数 1阶齐次性阶齐次性 条件的C-D生产函数 P92 模型施加约束条件后进行回归模型施加约束条件后进行回归，称为受约束受约束 回归回归（restricted regression）; 不加任何约束的回归称不加任何约束的回归称为无约束回归无约束回归 （unrestricted regressi

2、on）。）。 受约束回归受约束回归 一、模型参数的线性约束一、模型参数的线性约束 二、对回归模型增加或减少解释变量二、对回归模型增加或减少解释变量 三、非线性约束三、非线性约束 一、模型参数的线性约束一、模型参数的线性约束 对模型 kk XXXY 22110 施加约束 1 21 kk 1 得 * 11121110 )1 ( kkkk XXXXY 或 * 1133 * 110 * kk XXXY (1) (2) 如果运用普通最小二乘法得到对参数的估计结果 1310 , , , k 则由上述约束条件可得： 12 1 1 kk 然而，对所考查的具体问题能否施加约束能否施加约束？ 需进一步进行相应的检

3、验。常用的检验有常用的检验有： F检验、x2检验与t检验， 这里主要介绍主要介绍F检验检验 在同一样本下，记无约束无约束样本回归模型的矩阵式为 eXY 受约束受约束样本回归模型为 * eXY 于是，受约束样本回归模型的残差项可写为 )X(eXeXXYe * 得到受约束得到受约束样本回归模型的残差平方和残差平方和RSSR )X(X)(eeee * 式中第二项于是一个非负标量，于是有 eeee * ee为无约束无约束样本回归模型的残差平方残差平方和RSSU (1) 受约束受约束与无约束无约束模型都有相同的被解释变量相同的被解释变量 与样本，于是总离差和与样本，于是总离差和TSS也相同也相同 由（1

4、）式 RSSR RSSU 从而 ESSR ESSU 这意味着这意味着，通常情况下，对模型施加约束通常情况下，对模型施加约束 条件会降低模型的解释能力条件会降低模型的解释能力。 但是但是，如果如果约束条件约束条件为为真真，则，则受约束受约束回归回归 模型与模型与无约束无约束回归模型具有相同的解释能力回归模型具有相同的解释能力， 从而使RSSR 与 RSSU的差异变小。 可用可用RSSR - RSSU的大小来检验约束的真实性的大小来检验约束的真实性 根据数理统计学的知识： ) 1(/ 22 UU knRSS ) 1(/ 22 RR knRSS )(/ )( 22 RUUR kkRSSRSS 于是：

5、 ) 1,( ) 1/( )/()( URU UU RUUR knkkF knRSS kkRSSRSS F 讨论：讨论： 如果约束条件无效，则 RSSR 与 RSSU的差异较 大，计算的F值也较大。 于是，可用计算的F统计量的值与所给定的显著 性水平下的临界值作比较，对约束条件的真实性进 行检验。 注意，kU - kR恰为约束条件的个数。 例例P P9494、P P8383 中国城镇居民对食品的人均消费中国城镇居民对食品的人均消费 需求实例中需求实例中，无约束回归模型（3.5.18）式中 RSSU=0.017748，kU=3。受约束回归模型（3.5.19） 式RSSR=0.017787，KR=

6、2。约束条件个数kU - kR=3- 2=1。样本n=22，于是由 取=0.05，查得临界值临界值F0.05(1,18)=4.41 判断：不能拒绝中国城镇居民对食品的人不能拒绝中国城镇居民对食品的人 均消费需求函数具有零阶齐次特性这一假设均消费需求函数具有零阶齐次特性这一假设。 ) 1,( ) 1/( )/()( URU UU RUUR knkkF knRSS kkRSSRSS F 0395.0 18/017787.0 1/)017748.0017787.0( F 这里的这里的F F检验适合所有关于参数线性约束的检验检验适合所有关于参数线性约束的检验 如：多元回归中对方程总体线性性方程总体线性

7、性的F检验： H0： j=0 j=1,2,k 这里：受约束回归模型为 *0 Y ) 1/( / ) 1/( / )( ) 1/( / )( ) 1/( )/()( knRSS kESS knRSS kRSSTSS knRSS kRSSESSTSS knRSS kkRSSRSS F U U U U U UR UU RUUR 这里，运用了ESSR 0。 二、对回归模型增加或减少解释变量二、对回归模型增加或减少解释变量 考虑如下两个回归模型 kk XXY 110 qkqkkkkk XXXXY 11110 (1) (2) (1)式可看成是（2）式的受约束回归：受约束回归： H0： 0 21 qkkk

8、相应的统计量为： )1(,( )1(/( / )( )1(/( / )( qknqF qknRSS qESSESS qknRSS qRSSRSS F U RU U UR 如果约束条件为真，即额外的变量Xk+1, , Xk+q 对没有解释能力，则统计量较小； 否则，约束条件为假，意味着额外的变量对 有较强的解释能力，则统计量较大。 因此，可通过F的计算值计算值与临界值临界值的比较，来判 断额外变量是否应包括在模型中。 讨论：讨论： 统计量的另一个等价式统计量的另一个等价式 )1(/()1 ( / )( 2 22 qknR qRR F U RU 三、三、非线性约束非线性约束 也可对模型参数施加非线性约束非线性约束,如对模型 kk XXXY 22110 施加非线性约束12=1,得到受约束回归模型受约束回归模型: * 2 1 110 1 kk XXXY 该 模 型 必 需 采 用 非 线 性 最 小 二 乘 法非