初中尺规基本作图

1、【学习目标】1 . 了解什么是尺规作图.2 .学会用尺规作图法完成下列五种基本作图：（1）画一条线段等于已知线段；（2）画一个角等于已知角；（3）画线段的垂直平分线；（4）过已知点画已知直线的垂线；（5）画角平分线.3 . 了解五种基本作图的理由.4 .学会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程.5 .学会利用基本作图画三角形等较简单的图形.6 .通过画图认识图形的本质，体会图形的内在美.【基础知识精讲】1 .尺规作图：限定只用直尺和圆规来完成的画图，称为尺规作图.注意：这里所指的直尺是没有刻度的直尺，由于免去了度量，因此， 用尺规作图法画出的图形的精确度更高，它在工程绘图等领域应用比较广泛.2

2、 .尺规作图中的最基本、最常用的作图称为基本作图.3 .基本作图共有五种：（1）画一条线段等于已知线段.如图24-4-1,已知线段 de.及匕b图 24-4-1求作：一条线段等于已知线段.作法：先画射线 ab .然后用圆规在射线 ab上截取ac= mn .线段ac就是所要作的线段.（2）作一个角等于已知角.如图24-4-2,已知/ aob .图 24-4-2求作：/ a o b,使/a o b =z aob .作法：作射线o a;以点o为圆心，以任意长为半径作弧，交 oa于c,交ob于d.以点o为圆心，以 oc长为半径作弧，交 o a于c.以点c为圆心，以cd为半径作弧，交前弧于 d.经过点d

3、作射线ob,/aob就是所求的角.（3）作线段的垂直平分线.如图24-4-3,已知线段 ab .图 24-4-3求作：线段 ab的垂直平分线.1ab作法：分别以点a和点b为圆心，大于2的长为半径作弧，两弧相交于点c和d.作直线cd.直线cd就是线段ab的垂直平分线.注意：直线cd与线段ab的交点，就是 ab的中点.(4)经过一点作已知直线的垂线.a.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线，如图24-4-4 .直线 ab和ab上一点作法作平角acb的平分线cf.直线cf就是所求的垂线，如图 24-4-4.b.经过已知直线外一点作这条直线的垂线.如图24-4-5,已知：直线 ab和ab外一点c.求作

4、:ab的垂线，使它经过点 c.图2445作法：任意取一点 k,使k和c在ab的两旁.以c为圆心，ck长为半径作弧，交 ab于点d和1de分别以d和e为圆心，大于2的长为半径作弧，作直线cf.e.两弧交于点f.直线cf就是所求的垂线.注意：经过已知直线上的一点， 作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决.(5)平分已知角.已知 求作：ab的垂线，使它经过点 c.如图24-4-6,已知/ aob .8()e图 24-4-6求作：射线 oc,使/ aoc = z boc.作法：在 oa和ob上，分别截取 od、oe.1 de分别以d、e为圆心，大于2的长为半径作弧，在/ aob内，两弧交于点

5、 c.作射线oc.oc就是所求的射线.注意：以上五种基本作图是尺规作图的基础，一些复杂的尺规作图， 都是由基本作图组成的，同学扪要高度重视，努力把这部分内容学习好.通过这一节的学习，同学们要掌握下列作图语言：(1)过点x和点x画射线x x ,或画射线xx.(2)在射线x x上截取x x = xx.(3)以点x为圆心，xx为半径画弧.(4)以点x为圆心，xx为半径画弧，交xx于点x.(5)分别以点x,点x为圆心，以xx, xx为半径作弧，两弧相交于点x.(6)在射线x x上依次截取x x = xx = xx.(7)在/ xxx的外部或内部画/ x x x = / x x x .注意：学过基本作图

6、后，在作较复杂图时，属于基本作图的地方，不必重复作图的详细 过程，只用一句话概括叙述就可以了.如：(1)画线段xx = xx.(2)画/ xxx = /xxx.(3)画x x平分/ x x x ,或画/xxx的角平分线.(4)过点x画xxxx,垂足为点x.(5)作线段xx的垂直平分线xx,等等.但要注意保留全部的作图痕迹，包括基本作图的操作程序，不能因为作法的叙述省略而作图就不按程序操作，只有保留作图痕迹，才能反映出作图的操作是否合理.【经典例题精讲】例1已知两边及其夹角，求作三角形.如图24-4-7,已知：线段 a、b,求作： abc，使/ a = / a , ab =a, ac= b.图

7、24-4-7作法：作/ man=/a.在射线am、an上分别作线段 ab = a, ac=b.连结bc.如图24-4-8, abc即为所求作的三角形.注意：一般几何作图题，应有下面几个步骤：已知、求作、作法，比较复杂的作图题, 在作图之前可根据需要作一些分析.例2如图24-4-9,已知底边a,底边上的高h,求作等腰三角形.图 24-4-9bc的垂直平已知线段a、h.求作： abc ,使ab =ac ,且bc = a,高ad =h. 分析：可先作出底边bc,根据等腰三角形的三线合一的性质，可再作出分线，从而作出 bc边上的高ad,分别连结ab和ac,即可作出等腰 abc来.作法：(1)作线段bc

8、 = a.(2)作线段bc的垂直平分线 mn , mn与bc交于点d.(3)在mn 上截取 da ,使da = h.(4)连结 ab、ac .如图24-4-10, abc即为所求的等腰三角形.例3如图已知三角形的一边及这边上的中线和高，作三角形.24-4-11 ,已知线段 a, m, h(mh).求作： abc使它的一边等于 a,这边上的中线和高分别等于m和h(mh).m 21-4-u分析：如图24-4-12,假定 abc已作出，其中 bc=a,中线 ad = m,高ae=h,在 aed中ad=m, ae =h, z aed =90 ,因此这个 rtaaed可以作出来(4aed为奠基-1三角形

9、).当rtaaed作出后，由 可得到.bd dc a2的关系可作出点 b和点c,于是 abc即图(4-4-12作法：(1)作 aed ,使/ aed =90 , ae = h, ad=m.db -a(2)延长ed至ij b ,使 2 .1dc a(3)在de或be的延长线上取2 .(4)连结 ab、ac .则4abc即为所求作的三角形.注意：因为三角形中，一边上的高不能大于这边上的中线，所以如果 解；若m=h,则作出的图形为等腰三角形.hm,作图题无例4 如图24-4-13,已知线段a.图 24-4-13求作：菱形abcd ,使其半周长为a,两邻角之比为1 ： 2.分析：因为菱形四边相等，“半

10、周长为a”就形边长为2 ,为此首先要将线段a等分，又因为菱形对边平行，则同旁内角互补，由“邻角之比为1 : 2”可知，菱形较小内角为60。，则菱形较短对角线将菱形分成两个全等的等边三角形.所以作图时只要作出两个有公共边的等边三角形，则得到的四边形即为所求的菱形 作法：(1)作线段a的垂直平分线，等分线段 a.ac a(2)作线段ac,使 2 .abcd .a分别以a、c为圆心，2为半径，在 ac的两侧画弧，两弧分别交于b，d.(4)分别连结ab、bc、cd、da得到四边形abcd ,则四边形abcd为所求作的菱形(如 图 24-4-14).图 24-v14注意：这种通过先画三角形，然后再画出全

11、部图形的方法即为“三角形奠基法”例5 如图24-4-15,已知/ aob和c、d两点.求作一点p,使pc=pd,且使点p到/ aob的两边oa、ob的距离相等.图 24-4-15分析：要使pc=pd,则点p在cd的垂直平分线上，要使点p到/aob的两边距离相等，则p应在/ aob的角平分线上，那么满足题设的p点就是垂直平分线与角平分线的交点了.作法：(1)连结cd.(2)作线段cd的中垂线1.(3)作/aob的角平分线om,交1于点p, p点为所求.注意：这类定点问题应需确定两线，两直线的交点即为定点， 当然这两直线应分别满足题目的不同要求.【中考考点】例6 (2000 安徽省)如图24-4-

12、16,直线i，12, 1 3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有()b.二处d.四处a. 一处c.三处分析：到直线l1，l2距离相等的点在l1，l2相交所构成的角的平分线上，可利用作角平 分线的方法找到这些点.解：分别作l1，12，13相交所构成的角平分线，共可作出六条，三条角平分线相交的交 点共有四个.答案：d.注意：本题应用了角平分线的性质，在具体作图时，不可只作出位于中心位置的一处， 而要全面考虑其他满足条件的点.例7 (2002 陕西省)如图24-4-17, aabc是一块直角三角形余料，/ c=90 ,工人 师傅要把它加工成一个

13、正方形零件，使 c为正方形的一个顶点，其他三个顶点分别在 ab、 bc、ac边上.凡 巾q头k b图 24-4-17（1）试协助工人师傅用尺规画出裁割线（不写作法，保留作图痕迹）；（2）工人师傅测得 ac = 80 cm, bc= 120cm,请帮助工人师傅算出按（1）题所画裁割线加 工成的正方形零件的边长.解：（1）作/ acb的平分线与ab的交点e即为正方形一顶点， 作ce线段的中垂线 hk 与ac、bc的交点f、d即为所作正方形另两个顶点，如图 24-4-17.（2）设这个正方形零件的边长为x cm, de / ac ,de bd . ac bc , x 120 x80120 .x= 4

14、8.答：这个正方形零件的边长为 48cm.注意：本题是几何作图和几何计算相结合题目，要求读者对基本作图务必掌握，同时对作出图形的性质要清楚.例8 （2002 山西省）如图24-4-18，有一破残的轮片（不小于半个轮），现要制作一个 与原轮片同样大小的圆形零件， 请你根据所学的有关知识， 设计两种方案，确定这个圆形零 件的半径. s 24-4-18分析：欲确定这个圆形零件的半径，可以借助三角板，t形尺或尺规作图均可，图中1 mn2是这个零件的半径，图中 ob是这个零件半径.解：如图24-4-18所示.【常见错误分析】例9 如图24-4-19,已知线段a、b、h.图 2v4-19求作 abc,使

15、bc=a, ac=b, bc 边上的高 ad=h.并回答问题，你作出的三角形唯一吗？从中你可以得到什么结论呢?错解：(1)作法：作 rtadc ,使 ad = h, ac = b.在直线cd上截取cb = a.如图24-4-20,则 abc就是所求作的三角形.图 24-4-20(2)作出的三角形唯一.(3)得出结论：有两边及一边上的高对应相等的两三角形全等.误区分析：本题错解在于忽略了三角形的高可能在三角形内部也可能在三角形的外部.正解：如图24-4-21,b i)ch图 24-4-2作法：作 rtaadc ,使 ad=h, ac = b.在直线cd上截取cb = a(在点c的两侧).则4ab

16、c, ab ? c都是所求作三角形.(2)作出的三角形不唯一.(3)得出结论有两边及一边上的高对应相等的两三角形不一定全等.注意：与三角形的高有关的题目应慎之又慎.【学习方法指导】学习本单元基本作图， 主要是运用观察法，通过具体的操作，了解各种基本作图的步骤， 掌握作图语言.【规律总结】画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合所设条件的草图，再根据这个草图进行分析， 逐步寻找画图步骤. 有时，也可以根据已知条件和基本作图，先作局部三角形，再以此为基础， 根据有关条件画出其余部分，从而完成全图，这种方法称为三角形奠基法.【同步达纲练习】1.下列画图语言表述正确的是 （）a .延长线段 ab至点c,使ac = bcb.以点。为圆心作弧c.以点。为圆心，以ac长为半径画弧d.在射线 oa上截取 ob = a, bc = b,则有 oc=a+b2 .过点c画直线l的垂线的思想方法是：把这个问题转化为画 的方法来解决.3 .作线段的垂直平分线的理论根据是 和两点确定一条直线.4 .把一个角四等分的步骤是：第一步：先把这