17-18版第10章第2节古典概型

1、第二节古典概型考纲传真 1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的(2)任何事件 (除不可能事件 )都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(2)每个基本事件出现的可能性相等3如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都1相等，那么每一个基本事件的概率都是n；如果某个事件A 包括的结果有 m 个，m那么事件 A 的概率 P(A) n .4古典概型的概率公式A包含的基本事件的个数P(

2、A).基本事件的总数1(思考辨析 )判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件 ()(3)从 3， 2， 1,0,1,2 中任取一数，取到的数小于0 与不小于 0 的可能性相同 ()1(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2 的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率 ()答案 (1)(2)(3)(4)2(教材改编 )下列试验中，是古典概型的个数为()向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上

3、的概率；向正方形 ABCD 内，任意抛掷一点P，点 P 恰与点 C 重合；从 1,2,3,4 四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2 的概率；在线段 0,5 上任取一点，求此点小于2 的概率A0B1C2D3B由古典概型的意义和特点知，只有是古典概型3(2016 全国卷 )小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是 M，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()81A.15B.811C.15D.30C ( M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I

4、,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5) ，事件总数有 15 种1正确的开机密码只有 1 种，P15.4(2015 全国卷 )如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数， 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为 ()31A.10B.511C.10D.202C 从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数共有如下10 个不同的结果： (1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,

5、5)，其中1勾股数只有 (3,4,5)，所以概率为 10.故选 C.5甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3 种颜色的运动服中选择1 种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_13甲、乙两名运动员选择运动服颜色的情况为(红，红 )，(红，白 )， (红，蓝)，(白，白 )，(白，红 )，(白，蓝 )，(蓝，蓝 )，(蓝，白 )，(蓝，红 )，共 9 种而同色的有 (红，红 )， (白，白 )， (蓝，蓝 )，共 3 种3 1所以所求概率 P93.简单古典概型的概率(1)(2017 佛山质检 )已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为(

6、)A0.4B0.6C0.8D1(2)(2016 全国卷 )为美化环境，从红、黄、白、紫4 种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中， 余下的 2 种花种在另一个花坛中， 则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 ()11A.3B.225C.3D.6(1)B(2)C (1) 记 3 件合格品分别为 A1，A2，A3,2 件次品分别为 B1，B2，从 5 件产品中任取 2 件，有 (A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，3(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共 10 种可能其中恰有一件次品有 6 种可能，由古典概型得所求事

7、件概率为6 0.6.10(2)从 4 种颜色的花中任选2 种颜色的花种在一个花坛中，余下2 种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄白紫、红白 黄紫、红紫 白黄、黄白 红紫、黄紫 红白、白紫 红黄，共 6 种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄 白紫、红白 黄紫、黄紫 红白、白紫 红黄，共 4 种，故所求概42率为 P63，故选 C.规律方法 1.计算古典概型事件的概率可分三步，(1)计算基本事件总个数n；(2)计算事件 A 所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率P.2用列举法写出所有基本事件时，可借助 “树状图 ”列举， 以便做到不重、不漏变式训练 1(1)从正方形四个顶点

8、及其中心这5 个点中，任取 2 个点，则这 2 个点的距离不小于 该正方形边长的概率为() 【导学号： 31222397】12A.5B.534C.5D.5(2)(2016 江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具 )先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于10 的概率是 _5设正方形的四个顶点分别是A，B，C，D，中心为 O，从这(1)(1)C (2)65 个点中，任取两个点的事件分别为 AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO， CD，CO，DO，共有 10 种，其中只有顶点到中心O 的距离小于正方形的边长，分别是 AO，BO，CO，DO

9、，共有 4 种44 3所以所求事件的概率 P110 5.(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2 次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)， ，(6,6)，共 36 种情况设事件A “出现向上的点数之和小于10”，其对立事件A “出现向上的点数之和大于或等于10”， A 包含的可能结果有 (4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 6 种情况所6115以由古典概型的概率公式，得P( A )366，所以 P(A)166.复杂古典概型的概率(2016 山东高考 )某儿童乐园在“六一”儿童节推出了

10、一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图10-2-1 所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：若 xy3，则奖励玩具一个；若 xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由图 10-2-1解 用数对 (x， y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间 与点集 S( x，y)|xN，yN,1 x4,1y4 一一对应因为 S 中元素的个数是 4416，所以基本事件总数n 16.3 分5(1)

11、记 “xy 3”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件数共5 个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)所以 P(A) 5 ，即小亮获得玩具的概率为5.5分1616(2)记 “xy 8”为事件 B，“3xy16，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.12 分规律方法 1.本题易错点有两个： (1)题意理解不清，不能把基本事件列举出来； (2)不能恰当分类，列举基本事件有遗漏2求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型， 必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公

12、式求解变式训练 2(2017 潍坊质检 )某中学调查了某班全部45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人 )参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8 名同学中，有 5 名男同学 A1 ，A2，3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1A.6人，求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率解 (1)由调查数据可知， 既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30 人，2 分故至少参加上述一个社团的共有 453015 人

13、，15所以从该班随机选 1 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P4513.5 分(2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选1 人，其一切可能的结果组成的基本事件有 A1，B1 ， A1，B2 ， A1，B3 ，A2，B1 ，A2，B2 ，A2，B3 ， A3，B1 ， A3，B2， A3，B3，A4，B1 ， A4，B2 ， A4，B3 ， A5，B1 ， A5，B2 ， A5，B3，共 15 个.8 分根据题意，这些基本事件的出现是等可能的事件 “A1 被选中且 B1 未被选中 ”所包含的基本事件有 A1，B2 ， A1，B3 ，共 2个.10分2因此 A1 被选中且 B1

14、未被选中的概率为P15.12 分古典概型与统计的综合应用(2015 全国卷 )某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A 地区： 6273819295857464537678869566977888827689B 地区： 7383625191465373648293486581745654766579(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；7图 10-2-2(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：满意度

15、评分低于 70分70分到 89分不低于 90分满意度等级不满意满意非常满意记事件 C：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级” 假设两地区用户的评价结果相互独立根据所给数据， 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率 . 【导学号： 31222398】解 (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：2 分通过茎叶图可以看出， A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值； A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散 .5 分(2)记 CA1 表示事件： “A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；CA2 表示事件： “A地区用户的

16、满意度等级为非常满意”；CB1 表示事件： “B地区用户的满意度等级为不满意”；CB2 表示事件： “B地区用户的满意度等级为满意”；8则 CA1 与 CB1 独立，CA2 与 CB2 独立，CB1 与 CB2 互斥，且 CCB1CA1CB2CA2. P(C)P(CB1CA1CB2CA2) P(CB1CA1)P(CB2CA2) P(CB1)P(CA1)P(CB2)P(CA2).8 分又根据茎叶图知 P(CA1 )16，P(CA2)4 ，P(CB1)10，P(CB2)8.10分2020202010168412因此 P(C)20202020250.48.12 分规律方法 1.本题求解的关键在于作出

17、茎叶图，并根据茎叶图准确提炼数据信息，考查数据处理能力和数学应用意识2有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是关键变式训练 3海关对同时从 A，B，C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件 )如下表所示工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6 件样品进行检测 .地区ABC数量50150100(1)求这 6 件样品中来自 A， B， C 各地区商品的数量；(2)若在这 6件样品中随机抽取2 件送往甲机构进行进一步

18、检测，求这2 件商品来自相同地区的概率解 (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是6 1，2分50 150100 50所以样本中包含三个地区的个体数量分别是501 1,15013,10012.所以 A，B，C 三个地区的商品被选取的5050509件数分别为 1,3,2.5 分(2)设 6 件来自 A，B， C 三个地区的样品分别为： A；B1，B2，B3；C1， C2.则从 6 件样品中抽取的这2 件商品构成的所有基本事件为 A，B1 ，A，B2 ， A，B3 ， A，C1， A，C2 ， B1，B2 ， B1，B3 ， B1，C1 ， B1，C2， B2 ，B ，B ，C ，B ，C ，B，

19、C， B3，C ，C，C ，共 15个.8分3212231212每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的记事件 D： “抽取的这 2 件商品来自相同地区 ” ，则事件 D 包含的基本事件有 B1，B2 ， B1，B3， B2，B3 ， C1，C2 ，共 4 个.10 分4所以这 2 件商品来自相同地区的概率P(D)15.12 分思想与方法 1古典概型计算三步曲第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，10事件 A 是什么，它包含的基本事件有多少个2确定基本事件的方法(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；(2)列表法、树状图法3较复杂事件的概率可灵活运

20、用互斥事件、对立事件的概率公式简化运算易错与防范 古典概型的重要特征是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的课时分层训练 (六十二 )古典概型A 组基础达标(建议用时： 30 分钟 )一、选择题1(2014 国卷改编全)将 2 本不同的数学书和1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 ()11A.2B.325C.3D.6C 设两本不同的数学书为 a1，a2,1 本语文书为 b.则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2， a2a1b， a2ba1，ba1a2，ba2a1，共 6 种，其中数学书相邻的有4 种4 2因

21、此 2 本数学书相邻的概率 P63.2(2016 北京高考 )从甲、乙等 5 名学生中随机选出2 人，则甲被选中的概率为()12A.5B.58D.9C.252511B 设另外三名学生分别为丙、 丁、戊从 5 名学生中随机选出 2 人，有(甲，乙)，(甲，丙 )，(甲，丁 )，(甲，戊 )，(乙，丙 )，(乙，丁 )，(乙，戊 )，(丙，丁 )，(丙，戊 )，(丁，戊 )，共 10 种情形，其中甲被选中的有(甲，乙 )，(甲，丙 )，(甲，42丁 )，(甲，戊 )，共 4 种情形，故甲被选中的概率P105.3在集合 A2,3 中随机取一个元素m，在集合 B1,2,3 中随机取一个元素 n，得到点

22、 P(m，n)，则点 P 在圆 x2 y29 内部的概率为 ()11A.2B.332C.4D.5B 点 P(m，n)共有 (2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，6 种情况，只有2221(2,1)，(2,2)这 2 个点在圆 xy 9的内部，所求概率为63.4(2014 全国卷 )4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 () 【导学号： 31222399】13A.8B.857C.8D.8D4 名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有24 16(种 )，其中仅在周六 (周日 )参加的各有 1

23、种，117所求概率为 1 16 8.5(2017 威海模拟 )从集合 2,3,4,5 中随机抽取一个数a，从集合 1,3,5 中随机抽取一个数 b，则向量 m(a，b)与向量 n(1， 1)垂直的概率为 ()11A.6B.311C.4D.2A 由题意知，向量 m 共有 4312 个，12由 mn，得 mn 0，即 ab，则满足 mn 的 m 有 (3,3)， (5,5)共 2 个，故2 1所求概率 P12 6.二、填空题n6在集合 x x 3 ，n1，2，3， ， 10中任取一个元素，所取元素恰好满足方程 cos x1的概率是 _2115基本事件总数为10，满足方程 cos x2的基本事件数为

24、2，故所求概率2 1 为 P10 5.7(2016 四川高考 )从 2,3,8,9 中任取两个不同的数字， 分别记为 a，b，则 logab 为整数的概率是 _1从 2,3,8,9 中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则有 2,3；2,8；2,9；63,8；3,9；8,9；3,2；8,2；9,2；8,3；9,3；9,8，共 12 种取法，其中logab 为整数2 1 的有 (2,8)， (3,9)两种，故 P12 6.8在 3 张奖券中有一、二等奖各 1 张，另 1 张无奖甲、乙两人各抽取 1 张，两人都中奖的概率是 _1记 “两人都中奖 ”为事件 A，3设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2

25、,0，那么甲、乙抽奖结果有 (1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)， (0,2)，共 6 种其中甲、乙都中奖有(1,2)， (2,1)，共 2 种，2 1所以 P(A)63.三、解答题9(2015 湖南高考 )某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖抽奖方法是：从装有 2 个红球 A1，A2 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1，a2 和 2 个白球 b1，b2 的乙箱中，各随机摸出 1 个球若摸出的 2 个13球都是红球则中奖，否则不中奖(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖

26、的概率你认为正确吗？请说明理由解 (1)所有可能的摸出结果是 A1，a1 ， A1，a2 ， A1， b1 ， A1， b2 ， A2，a1 ， A2，a2 ， A2，b1 ， A2，b2 ， B，a1 ， B，a2 ， B， b1 ，B，b2 (2)不正确理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12 种，其中摸出的2 个球都是红球的结果为 A ， a ， A，a ， A，a ， A，a ，共 4 种，所以中奖的概率为 123，111221224112 1不中奖的概率为1333，故这种说法不正确10(2017 天津河西联考 )设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用

27、分层抽样的方法从这三个协会中抽取6 名运动员组队参加比赛(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为 A1， A2，A3， A4，A5， A6.现从这 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛用所给编号列出所有可能的结果；设 A 为事件“编号为 A5 和 A6 的两名运动员中至少有1 人被抽到”，求事件 A 发生的概率解 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.5 分(2)从 6 名运动员中随机抽取2 人参加双打比赛的所有可能结果为 A1，A2 ， A1，A3， A1，A4，A1，A5 ， A1，A6 ， A2，A3 ， A2，A4 ， A2，A5 ， A2，A6 ， A3，A4 ， A3，A5 ， A3，A6 ， A4，A5 ， A4， A6 ， A5，A6 ，共 15种.8 分编号为 A5 和 A6 的两名运动员中至少有1 人被抽到的所有可能结果为