固态电子2014-第二章

1、第二章第二章 晶体衍射晶体衍射 晶体内原子的间距在纳米量级，由于晶体内原晶体内原子的间距在纳米量级，由于晶体内原子的周期性排列使它可成为特定波长光线的衍射光栅。子的周期性排列使它可成为特定波长光线的衍射光栅。利用晶体对光的衍射现象，利用晶体对光的衍射现象，X射线与电子、中子波的射线与电子、中子波的发现为人类认识晶体的结构提供了有效的探测方法。发现为人类认识晶体的结构提供了有效的探测方法。 入射光线受晶体内原子的散射，由于晶体的周入射光线受晶体内原子的散射，由于晶体的周期性排列，在散射方向上散射光发生衍射现象。尽管期性排列，在散射方向上散射光发生衍射现象。尽管在各种探测方式中散射的机理各不相同，

2、但衍射光的在各种探测方式中散射的机理各不相同，但衍射光的强度都与晶体的具体结构有关，因此对衍射光的研究强度都与晶体的具体结构有关，因此对衍射光的研究可以了解作为衍射光栅的该晶体内部的具体情况，这可以了解作为衍射光栅的该晶体内部的具体情况，这就是晶体衍射对研究晶体结构的重要意义。就是晶体衍射对研究晶体结构的重要意义。图图2.1 晶体原子对平行晶体原子对平行光的散射光的散射A和和B为晶体中任意两个原子，取为晶体中任意两个原子，取A为原点，为原点，B原子的格原子的格矢为矢为Rl，入射光可看做波矢为入射光可看做波矢为k0的平面波，散射光的波的平面波，散射光的波矢为矢为k。两个原子产生的散射波的两个原子

3、产生的散射波的相位差相位差为：为：散射波的幅度应为来自两个散射波的幅度应为来自两个原子散射波的幅度之和：原子散射波的幅度之和：其中其中A和和B分别为原子分别为原子A和和B的散射波的幅度。的散射波的幅度。在晶体由同种原子组成的情形，在晶体由同种原子组成的情形， A=B=12 如果考虑晶体中所有原子对如果考虑晶体中所有原子对k方向散射波的贡献，则方向散射波的贡献，则k方向上所有散射波相互作用得到的衍射波的幅度应为：方向上所有散射波相互作用得到的衍射波的幅度应为： 式中式中j为第为第j个原子的散射波幅度，而个原子的散射波幅度，而Rj为其格矢，为其格矢，N为晶体原子总数。为晶体原子总数。 由此可得，由

4、此可得，k方向的衍射波强度方向的衍射波强度I(k)为：为： 上式表明衍射波的强度（可由衍射图形观察）与晶体上式表明衍射波的强度（可由衍射图形观察）与晶体中原子（及各种微粒）的位置分布有关。反之，由衍中原子（及各种微粒）的位置分布有关。反之，由衍射波强度理论上就可以得到关于晶体内部结构的相关射波强度理论上就可以得到关于晶体内部结构的相关信息。信息。返回2311232aabaaa1231232aabaaa3121232aabaaa根据原胞基矢根据原胞基矢 定义三个新的矢量定义三个新的矢量 倒格子基矢量倒格子基矢量以以 为基矢，可以构成一个为基矢，可以构成一个倒格子倒格子321,bbb倒格子每个格点

5、的位矢倒格子每个格点的位矢332211321bhbhbhGhhhh1h2h3为整数为整数 称为倒格子矢量（称为倒格子矢量（倒格矢倒格矢）2.1 倒格子与布里渊区倒格子与布里渊区n一、倒格子的定义一、倒格子的定义321,aaa 我们称以我们称以a1、a2、a3为基矢的晶体晶格为正格子，为基矢的晶体晶格为正格子，倒格子是虚构的格子，和正格子一样，也是周期分倒格子是虚构的格子，和正格子一样，也是周期分布的，二者的基矢之间必须满足如下的关系：布的，二者的基矢之间必须满足如下的关系： 我们来看看两个格子基矢的几何关系：链接我们来看看两个格子基矢的几何关系：链接 在倒格矢的定义中，在倒格矢的定义中， 即为

6、即为正正格子原胞的体积格子原胞的体积。 正格矢和倒格矢有不同的量纲，正格矢和倒格矢有不同的量纲，正格子对应的正格子对应的是位置空间或坐标空间，而倒格子对应的空间我们是位置空间或坐标空间，而倒格子对应的空间我们称为状态空间（也称倒空间，波矢空间）。称为状态空间（也称倒空间，波矢空间）。2()20()ijijija bij3, 2, 1,jin二、倒格子基矢的计算二、倒格子基矢的计算 二维正方晶格的倒格子基矢二维正方晶格的倒格子基矢 三维立方晶格的倒格子基矢（边长为三维立方晶格的倒格子基矢（边长为a） 简单立方晶格简单立方晶格 面心立方晶格面心立方晶格 体心立方晶格体心立方晶格 注：面心立方格子的

7、倒格子是体心立方，体心立方的注：面心立方格子的倒格子是体心立方，体心立方的倒格子是面心立方。倒格子是面心立方。简单立方晶格简单立方晶格kaaj aai aa321kabjabiab222321面心立方晶格面心立方晶格)(2)(2)(2321jiaaikaakjaa)(4(21)(4(21)(4(21321kjiabkjiabkjiab体心立方晶格体心立方晶格)(2)(2)(2321kjiaakjiaakjiaa)(4(21)(4(21)(4(21321jiabikabkjab)()()()2(21133233aaaaaa三、倒格子与正格子间的关系三、倒格子与正格子间的关系 正格子原胞体积正格子

8、原胞体积与倒格子原胞体积与倒格子原胞体积 之间的关系)(*321bbb1a31213112()()aaaaaaa aCBABCACBA)()(13223)()2(*aaa3(2 )* 3112AaaBaCa* 正格子中晶面族正格子中晶面族 和倒格矢和倒格矢 正交正交 )(321hhh321hhhGijjiba2332211321bhbhbhGhhh1133/CAahah2233/CBahah 可以证明可以证明1 2 30h h hGCA1 2 30h h hGCB 321hhhG与晶面族正交与晶面族正交（即法线方向）（即法线方向） 同样，若有一个倒格矢同样，若有一个倒格矢Gh=n Gh1h2h

9、3 ，同样有，同样有推论推论若两矢量满足上式，其中一个是正格矢，则若两矢量满足上式，其中一个是正格矢，则另一个必为倒格矢（最短倒格矢或其整数倍），反之亦然。另一个必为倒格矢（最短倒格矢或其整数倍），反之亦然。 若若h1、h2、h3为互质整数，则为互质整数，则 为该倒格矢方向的最短倒格矢，它和晶面族（为该倒格矢方向的最短倒格矢，它和晶面族（ h1h2h3）的面间距的面间距d之间的关系为：之间的关系为： 正格矢正格矢Rl1l2l3 =l1a1+l2a2+l3a3 与倒格矢与倒格矢Gh1h2h3之间满足之间满足关系式：关系式：332211321bhbhbhGhhh1 1223 32dhbh bh b

10、m为整数为整数 m为整数为整数mRGlllhhh2321321mRGlllh2321练习题：练习题：n如图为一简单正交布喇菲格子，边长为如图为一简单正交布喇菲格子，边长为a、b、c，各，各边两两垂直，格点均在顶角上。试证明晶面（边两两垂直，格点均在顶角上。试证明晶面（h k l）的面间距为：的面间距为：四、布里渊区的概念四、布里渊区的概念 在倒格子中，以某个倒格点为原点，作出它到在倒格子中，以某个倒格点为原点，作出它到其他所有倒格点的矢量的垂直平分面，这些面将倒其他所有倒格点的矢量的垂直平分面，这些面将倒空间分割成由内至外体积相等的区域，即为布里渊空间分割成由内至外体积相等的区域，即为布里渊区

11、（缩写为区（缩写为B.Z），最中心的一个区域，称为第一布），最中心的一个区域，称为第一布里渊区里渊区，其他以此类推。，其他以此类推。 一维晶格、一维晶格的倒格子和第一布里渊区：一维晶格、一维晶格的倒格子和第一布里渊区：第一布里渊区第一布里渊区第二布里渊区第二布里渊区再看看二维矩形倒格子的布里渊区的划分：再看看二维矩形倒格子的布里渊区的划分：图图2.4 二维矩形格子的倒格子二维矩形格子的倒格子和其布里渊区示意图和其布里渊区示意图n注意以下几个问题：注意以下几个问题： 每一个布里渊区既可以是一个单一的空间区域，也每一个布里渊区既可以是一个单一的空间区域，也可以是多个小区域的集合；可以是多个小区域的

12、集合； 每个布里渊区的体积都相等，都等于倒格子原胞每个布里渊区的体积都相等，都等于倒格子原胞体积体积*；图图2.5 面心立方晶格和体心立方晶格的第一布里渊区面心立方晶格和体心立方晶格的第一布里渊区某晶体的电子衍射图像某晶体的电子衍射图像2.2 晶体的衍射极大条件晶体的衍射极大条件n一、劳厄方程一、劳厄方程 简化条件：简化条件： 简单简单B格子（单原子晶体）格子（单原子晶体） 入射光和散射光都是平行光入射光和散射光都是平行光 散射前后波长不变（方向改变）散射前后波长不变（方向改变） 入射光：波长入射光：波长 波矢波矢 单位矢量为单位矢量为 散射光：散射光： 波长波长 波矢波矢 单位矢量为单位矢量

13、为 图图2.6 单原子晶体对单原子晶体对入射光的散射入射光的散射0s002sk0kkssk2 能得到衍射极大的波矢能得到衍射极大的波矢k的光程差应该满足：的光程差应该满足： 上式称为上式称为劳厄（衍射）方程劳厄（衍射）方程，它决定了能发生，它决定了能发生衍射极大方向的条件。由劳厄方程可以推出，衍射极大方向的条件。由劳厄方程可以推出，当衍射波矢与入射波矢之间满足：当衍射波矢与入射波矢之间满足： 即即 时，出现衍射极大。时，出现衍射极大。 结论结论(意义意义)：当衍射波矢和入射波矢相差一个当衍射波矢和入射波矢相差一个或或n个最短倒格矢时，该衍射方向满足衍射极个最短倒格矢时，该衍射方向满足衍射极大条

14、件，其中的大条件，其中的n称为衍射级数，（称为衍射级数，（nh1 nh2 nh3）称为衍射面指数。称为衍射面指数。其中其中为整数为整数其中其中为整数为整数)(0ssRl2)(0kkRl3210hhhhGnGkkn二、布拉格反射条件二、布拉格反射条件 劳厄方程关于衍射条件的讨论涉及到波矢和倒格劳厄方程关于衍射条件的讨论涉及到波矢和倒格矢，通常还有一种在正格子中描述衍射条件的方法矢，通常还有一种在正格子中描述衍射条件的方法布拉格反射。设布拉格反射。设k方向是衍射极大方向。方向是衍射极大方向。 作矢量三角形作矢量三角形OAB，令矢量令矢量 若沿波矢若沿波矢k方向能发生衍射极大，则：方向能发生衍射极大

15、，则： A、B应该各对应一个倒格点。应该各对应一个倒格点。 由倒格子的性质可知，过由倒格子的性质可知，过O点与点与AB 矢量垂直的平面矢量垂直的平面MN属于晶面族属于晶面族 （h1h2h3），此时），此时衍射极大的方向衍射极大的方向 恰沿入射波对晶面（恰沿入射波对晶面（h1h2h3）的镜面反射方向，称此）的镜面反射方向，称此为布拉格反射条件。为布拉格反射条件。图图2.7 布拉格反射布拉格反射条件条件kOB0kOAhhGnGkkAB0 由矢量图可以得到：由矢量图可以得到： 根据倒格子的性质，若根据倒格子的性质，若dh1h2h3为晶面族为晶面族（h1h2h3）的）的面间距，则面间距，则 上式称为上

16、式称为布拉格反射公式布拉格反射公式，n代表衍射级数代表衍射级数, 称为反称为反射角。射角。 注：注：劳厄方程与布拉格反射是两个等价的表示衍射加劳厄方程与布拉格反射是两个等价的表示衍射加强条件的方法，强条件的方法，布拉格反射的物理机理仍然是所有格布拉格反射的物理机理仍然是所有格点的散射波的相长干涉，与入射波在晶体表面的镜面点的散射波的相长干涉，与入射波在晶体表面的镜面反射无关，实际上布拉格反射涉及的晶面族（反射无关，实际上布拉格反射涉及的晶面族（h1h2h3）更完全可以不是晶体实际显露在外的表面。更完全可以不是晶体实际显露在外的表面。 sin22sin2kGnGhhndhhh sin2321 布

17、拉格反射条件意义布拉格反射条件意义:在一个晶面上，各个格点在一个晶面上，各个格点的散射波相互加强的条件是入射角与反射角相等，的散射波相互加强的条件是入射角与反射角相等，入射线、散射线和晶面法线在同一平面上；而引起入射线、散射线和晶面法线在同一平面上；而引起晶面族各晶面之间的格点的散射波加强的条件，则晶面族各晶面之间的格点的散射波加强的条件，则是该晶面的面间距需要满足布拉格反射公式，即是该晶面的面间距需要满足布拉格反射公式，即如右图所示。如右图所示。图图2.8 布拉格反射条件的意义布拉格反射条件的意义ndhhh sin2321 射线在晶体中的衍射，实质上是晶体中各原射线在晶体中的衍射，实质上是晶

18、体中各原子相干散射波之间互相干涉的结果子相干散射波之间互相干涉的结果。但因衍射线的。但因衍射线的方向恰好相当于原子面对入射线的反射，故可用布方向恰好相当于原子面对入射线的反射，故可用布拉格定律代表反射规律来描述衍射线束的方向。拉格定律代表反射规律来描述衍射线束的方向。 但应强调指出，但应强调指出，x x射线从原子面的反射和可见光射线从原子面的反射和可见光的镜面反射不同，前者是有选择地反射，其选择条的镜面反射不同，前者是有选择地反射，其选择条件为布拉格定律；而一束可见光以任意角度投射到件为布拉格定律；而一束可见光以任意角度投射到镜面上时都可以产生反射，即反射不受条件限制。镜面上时都可以产生反射，

19、即反射不受条件限制。 因此，将因此，将x x射线的晶面反射称为射线的晶面反射称为“选择反射选择反射”，反射之所以有选择性，是晶体内若干原子面反射线反射之所以有选择性，是晶体内若干原子面反射线干涉的结果。干涉的结果。厄瓦尔德反射球厄瓦尔德反射球n那些落在球面上的倒格点才能产生衍射加强!E图图2.9 厄瓦尔德反射球模型厄瓦尔德反射球模型2.3 原子散射因子和几何结构因子原子散射因子和几何结构因子n一、原子散射因子一、原子散射因子 从衍射图形推断晶体的结构，除了要考虑衍射斑的从衍射图形推断晶体的结构，除了要考虑衍射斑的分布（即衍射加强的方向）外还需要考虑衍射斑的强分布（即衍射加强的方向）外还需要考虑

20、衍射斑的强度。从前面的推导可知，衍射束的强度应与原子对入度。从前面的推导可知，衍射束的强度应与原子对入射波的散射幅度射波的散射幅度有关。有关。 通常将原子对入射波的散射本领用原子散射因子通常将原子对入射波的散射本领用原子散射因子f 来表示。来表示。 f 的定义是：的定义是：整个原子对于入射波的散射幅整个原子对于入射波的散射幅度与一个假设位于原子核处的电子的散射幅度的比度与一个假设位于原子核处的电子的散射幅度的比。n二、几何结构因子二、几何结构因子 实际研究发现，衍射斑强度还与晶体晶胞结构有实际研究发现，衍射斑强度还与晶体晶胞结构有关。关。前面关于倒格子的概念和晶体的衍射条件都是根前面关于倒格子

21、的概念和晶体的衍射条件都是根据原胞来推导的，实际对于晶胞上述理论也同样适用。据原胞来推导的，实际对于晶胞上述理论也同样适用。尤其是对于复式格子，更需要考虑的是晶胞内每个微尤其是对于复式格子，更需要考虑的是晶胞内每个微粒对入射光的散射情况。粒对入射光的散射情况。 几何结构因子的定义是几何结构因子的定义是：对于一定的入射方向，：对于一定的入射方向，晶胞内所有原子或离子沿某一方向的散射波幅度与一晶胞内所有原子或离子沿某一方向的散射波幅度与一个电子的散射波的幅度之比，个电子的散射波的幅度之比，用用F（K）表示：表示： 其中，其中，K=k-k0仍代表散射波与入射波的波矢矢量差，仍代表散射波与入射波的波矢

22、矢量差，而而rj为晶胞内某个原子或离子的为晶胞内某个原子或离子的位矢位矢。jrKijjefKF)( 最简单的布拉伐格子只由一种原子组成，而且最简单的布拉伐格子只由一种原子组成，而且每个晶胞只有一个原子，它分布在晶胞的顶角上，每个晶胞只有一个原子，它分布在晶胞的顶角上，单位晶胞的散射强度相当于一个原子的散射强度。单位晶胞的散射强度相当于一个原子的散射强度。 而在复杂点阵中，晶胞里含有而在复杂点阵中，晶胞里含有n n个相同或不同种个相同或不同种类的原子，它们除占据晶胞的顶角外，还可能出现类的原子，它们除占据晶胞的顶角外，还可能出现在体心、面心或其他位置。复杂点阵晶胞的散射波在体心、面心或其他位置。

23、复杂点阵晶胞的散射波振幅应为晶胞中各原子的散射振幅的矢量合成。由振幅应为晶胞中各原子的散射振幅的矢量合成。由于衍射线的相互干涉，某些方向的强度将会加强，于衍射线的相互干涉，某些方向的强度将会加强，而某些方向的强度将会减弱甚至消失而某些方向的强度将会减弱甚至消失, ,这种规律称为这种规律称为系统消光系统消光（或结构消光）。（或结构消光）。 注意晶体的原子散射因子和几何结构因子对晶体衍注意晶体的原子散射因子和几何结构因子对晶体衍射的影响射的影响n三、三、f和和F(K)对晶体衍射的影响对晶体衍射的影响考虑理论上衍射极大的方向，即考虑理论上衍射极大的方向，即)(*0c lbkahnGkkKhkl则每个

24、晶胞的则每个晶胞的jlwkvhunijjcwbvauc lbkahnijjrKijjjjjjjjefefefKF)(2)()(*)(所有共所有共N个晶胞在衍射极大方向上散射波的总幅度为：个晶胞在衍射极大方向上散射波的总幅度为：NPRkkiPeKFKA1)(0)()(利用正、倒格子基利用正、倒格子基矢之间性质矢之间性质衍射光的强度衍射光的强度)()(*,20)()()()(PPRRkkiPPPPPeKFKFKAKI指数上的指数上的)()(0PPRRkkm2为为1每个晶胞都是一样的，故每个晶胞都是一样的，故)()(*KFKFPP因此，衍射光的强度因此，衍射光的强度)()()(*,KFKFKIPPP

25、PP即即22)(2sin)(2cos)(jjjjjjjjjjlwkvhunflwkvhunfKIjlwkvhunijjjjefKF)(2)(例题例题1.体心立方简单格子的衍射强度：体心立方简单格子的衍射强度：两个微粒分别在两个微粒分别在： (0,0,0)和和(1/2,1/2,1/2)2222)212121(2sin02sin)212121(2cos02cos)(2sin)(2cos)(lkhnfnflkhnfnflwkvhunflwkvhunfKIjjjjjjjjjj=1=02222)(sin0)(cos1 )(nlnknhfnlnknhfKI=022)(cos1 nlnknhfnh、nk、n

26、l代表着晶体的衍射面指数，它们都为代表着晶体的衍射面指数，它们都为整数，而衍射光的强度则取决于其奇、偶性。整数，而衍射光的强度则取决于其奇、偶性。可以看出，当晶体的衍射面指数之和可以看出，当晶体的衍射面指数之和为奇数时，衍射强度为零，亮班消失为奇数时，衍射强度为零，亮班消失消光。消光。)(nlnknh例题例题2：讨论：讨论NaCl晶体的消光产生的条件。晶体的消光产生的条件。设晶胞中设晶胞中Na离子位于：离子位于： Cl离子位于：离子位于：)21,21, 0)(21, 0 ,21)(0 ,21,21)(0 , 0 , 0()0 , 0 ,21)(0 ,21, 0)(21, 0 , 0)(21,2

27、1,21(则衍射加强方向上的光强度为：则衍射加强方向上的光强度为：22)21(2sin)21(2sin)21(2sin)212121(2sin)2121(2sin)2121(2sin)2121(2sin02sin)21(2cos)21(2cos)21(2cos)212121(2cos)2121(2cos)2121(2cos)2121(2cos02cos)(nhfnkfnlfnlnknhfnlnkfnlnhfnknhfnfnhfnkfnlfnlnknhfnlnkfnlnhfnknhfnfKIClClClClNaNaNaNaClClClClNaNaNaNa经过化简，所有的正旋值都为经过化简，所有的正旋值都为0，上式变为：，上式变为：