2020年九年级数学中考三轮冲刺：《四边形综合训练》（解析版）2

1、三轮冲刺：四边形综合训练1已知四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，ADAO点E、F为矩形边上的两个动点，且EOF60（1）如图1，当点E、F分别位于AB、AD边上时，若OEB75，求证：DFAE；（2）如图2，当点E、F同时位于AB边上时，若OFB75，试说明AF与BE的数量关系；（3）如图3，当点E、F同时在AB边上运动时，将OEF沿OE所在直线翻折至OEP，取线段CB的中点Q连接PQ，若AD2a（a0），则当PQ最短时，求PF之长（1）证明：如图1中，在OD上取一点K，使得OKOE，连接DK四边形ABCD是矩形，ODOA，DAB90，ADAO，ADAOOD，OAD是等边三角形

2、，DOAEOFDAOADO60，DOKAOE，OAE906030，ODOA，OKOE，DOKAOE（SAS），DKAE，ODKOAE30，OAOB，OABOBA30，OEB75，OEBBOE75，EOF60，DOK180756045，DFO180604575，DKOODK+DOK75，DFKDKF75，DFDK，DFAE（2）解：结论：AF2BE理由：如图2中，将OAF绕点O逆时针旋转120得到OBJ，连接JEAOB120，EOF60，BOJ+BOEAOF+BOE60，EOJEOF，OFOJ，OEOE，EOFEOJ（SAS），OEFOEJ，OFB75，OBF30，BOF75，BOE756015

3、，FEOBOE+OBE45，OEFOEJ45，JEBJEF90，OBJOAF30，OBE30，EBJ60，EJB906030，BJ2BE，AFBJ，AF2BE（3）解：如图3中，连接BP由翻折可知：OEOP，EOFEOP60，FOPAOB120，AOFBOP，OAOB，OAFOBP（SAS），OBPOAF30，AFBP，OBC60，PBC30，如图31中，当QPPB时，PQ的值最小，作FHOA于H，OMPF于M在RtPQB中，QPB90，PBQ30，BQBCADa，PBAFBQcos30a，在RtAFH中，则有AHAFcos30a，FHAFa，OHOAAH2aaa，OFa，OFOP，OMPF，

4、FMMPOFcos30a，FP2FMa2如图，点E在矩形ABCD对角线AC上由A向C运动，且BC2，ACB30，连结EF，过点E作EFDE，交BC于点F（当点F与点C重合时，点E也停止运动）（1）如图1，当AC平分角DEF时，求AE的长度；（2）如图2，连结DF，与AC交于点G，若DFAC时，求四边形DEFC的面积；（3）若点E分AC为1：2两部分时，求BF：FC解：（1）如图1中，作DMAC于M，四边形ABCD是矩形，BBCDADC90，ABCD，ADBC2，ACB30，ABCDBCtan302，AC2AB4，在RtCDM中，CMD90，DCM60，CD2，CDM30，CMCD1，DMCM，

5、DEF90，EM平分DEF，DEMDEF45，EMDM，AEACEMCM3（2）如图2中，DFAC，DGC90，在RtCDG中，CD2，DCG60，CDG30，CGCD1，DG，FGCGtan30，FEG+DEG90，EDG+DEG90，FEGEDG，EGFDGE90，EGFDGE，EG1，S四边形DEFCDFCE2（3）如图11中，若AE：CE1：2，作EMBC于M，ENCD于NABCD2，AC4，AE：EC1：2，AE，EC，在RtCEN中，ECN30CNEC，ENCN，DN2，在RtCEM中，ECM30，EMEC，CMEM，DEEF，DEFNEM90，DENMEF，ENDEMF90，EN

6、DEMF，可得MF，CFCMMF，BF2CF，BF：CF4：5若AE：CF2：1时，同法可得BF：CF8：1综上所述，BF：CF4：5或BF：CF8：13已知在平行四边形ABCD中，动点P在AD边上，以每秒0.5cm的速度从点A向点D运动（1）如图1，在运动过程中，若CP平分BCD，且满足CDCP，求B的度数（2）如图2，在（1）的条件下，连结BP并延长与CD的延长线交于点F，连结AF，若AB4cm，求APF的面积（3）如图3，另一动点Q在BC边上，以每秒2cm的速度从点C出发，在BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若AD6cm，求当运动时间为多少秒

7、时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形解：（1）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DPCPCB，CP平分BCD，PCDPCB，DPCDCP，DPDC，CDCP，PCCDPD，PDC是等边三角形，DB60；（2）作CHAD于H，则DHPDCD2，由勾股定理得，CH2，SPCD424，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，BCAD，ABCD，SPBCSFABS平行四边形ABCD，SABP+SPCDS平行四边形ABCD，SAPF+SABPSABP+SPCD，SAPFSPCD4（cm2）；（3）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，PDBC要使四边形PDQB是平行四边形，则PDBQ，设运

8、动时间为t秒，当0t3时，PD60.5t，BQ62t，60.5t62t，解得t0，不合题意，舍去；当3t6时，PD60.5t，BQ2t6，60.5t2t6，解得，t4.8；当6t9时，PD60.5t，BQ182t，60.5t182t，解得，t8；当9t12时，PD60.5t，BQ2t18，60.5t2t18，解得，t9.6；综上所述，当运动时间为4.8秒或8秒或9.6秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形4实践与探究在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O0，0），点A（5，0），点B（0，3）以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为

9、D，E，F（1）如图，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；（2）如图，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H求证：ADBAOB；求点H的坐标解：（1）A（5，0），B（0，3），OA5，OB3，四边形AOBC是矩形，OBAC3，OABC5，C90，矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到的，ADOA5，在RtACD中，CD4，BD541，D（1，3）；（2）由旋转可知，OADA，AOBADE90，AOBADB90，在RtAOB与RtADB中，RtADBRtAOB（HL）；ADBAOB，BDBOAC，在BDH与ACH中，BDHACH（AAS），DHCH，DH+AHAD5，CH+AH5，设CHx，

10、则AH5x，在RtACH中，（5x）2x2+32，解得，x，BH5，点H的坐标为（，3）5如图，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a、b满足+|b6|0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着OCBAO的线路移动（1）a4，b6，点B的坐标为（4，6）；（2）当点P移动3.5秒时，求出点P的坐标；（3）在移动过程中，若点P到x轴的距离为4个单位长度时，求点P移动的时间解：（1）由题意得，a40，b60，解得，a4，b6，OA4，OB6，四边形OABC为长方形，点B的坐标为（4，6），故答案为：4；6；（4，6

11、）；（2）点P的速度是每秒2个单位长度，点P移动3.5秒时，移动的距离为：3.527，则CP761，点P的坐标（1，6）；（3）当点P在OC上时，移动的时间为：422（秒），当点P在BA上时，移动的时间为：（6+4+64）26（秒），综上所述，点P到x轴的距离为4个单位长度时，点P移动的时间为2秒或6秒6如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC为长方形，A（10，0），C（0，4），D是OA的中点，点P在线段BC上运动（1）B的坐标为（10，4）；（2）当POD30时，求CP的长；（3）当DPO是腰长为5的等腰三角形时，求点P的坐标解：（1）四边形OABC是长方形，ABOC，BC

12、OA，BAO90A（10，0），C（0，4），OABC10，OCAB4，B（10，4），故答案为（10，4）（2）如图1中，POD30，COA90，COP903060，PCOCtan604（3）OD是等腰三角形的底边时，P就是OD的垂直平分线与CB的交点，此时OPPD5；OD是等腰三角形的一条腰时：若点O是顶角顶点时，P点就是以点O为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，在直角OPC中，CP3，则P的坐标是（3，4）；若D是顶角顶点时，P点就是以点D为圆心，以5为半径的弧与CB的交点，过D作DMBC于点M，在直角PDM中，PM3，当P在M的左边时，CPCMPM532，则P的坐标是（2，4）；当P在

13、M的右侧时，CPCM+PM5+38，则P的坐标是（8，4）所以满足条件的点P的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）7如图1，长方形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，B点坐标是（8，4），将AOC沿对角线AC翻折得ADC，AD与BC相交于点E（1）求证：CDEABE（2）求E点坐标；（3）如图2，动点P从点A出发，沿着折线ABCO运动（到点O停止），是否存在点P，使得POA的面积等于ACE的面积，若存在，直接写出点P坐标，若不存在，说明理由解：（1）证明：四边形OABC为矩形，ABOC，BAOC90，CDOCAB，DAOCB，又CEDABE，CDEABE（AAS），CEAE；（2）

14、B（8，4），即AB4，BC8设CEAEn，则BE8n，可得（8n）2+42n2，解得：n5，E（5，4）；（3）SACECEAB5410，SPOAOAyP10，8yP10，yP，满足条件的点P的坐标为（8，）或（0，）8【问题探究】小敏在学习了RtABC的性质定理后，继续进行研究（1）（i）她发现图中，如果A30，BC与AB存在特殊的数量关系是BCAB；（ii）她将ABC沿AC所在的直线翻折得AHC，如图，此时她证明了BC和AB的关系；请根据小敏证明的思路，补全探究的证明过程；猜想：如果A30，BC与AB存在特殊的数量关系是BCAB；证明：ABC沿AC所在的直线翻折得AHC，（2）如图，点E

15、、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上，且BD90，连接AE、AF、EF，将ABE、ADF折叠，折叠后的图形恰好能拼成与AEF完全重合的三角形，连接AC，若EAF30，AB227，则CEF的周长为6解：（1）（i）BCAB，理由如下：在AB上截取BDBC，A30，ACB90，B60，且BDBC，BCD是等边三角形，CDBD，BDCBCD60，ACD30A，ADCD，BDADBC，BCAB；（ii）将ABC沿AC所在的直线翻折得AHC，ABCAHC，ABAH，BACHAC30，BCCH，BAH60，且ABAH，ABH是等边三角形，ABBH，BCBHAB；（2）将ABE、ADF折叠，折叠后的图形

16、恰好能拼成与AEF完全重合的三角形，ABAD，BE+DFEF，BAD2EAF60，ABAD，ACAC，RtABCRtADC（HL），BACDAC30，BCCD，AB227，AB3，tanBAC，BC3CD，CEF的周长EC+CF+EFEC+CF+BE+DFBC+CD6故答案为：69在正方形ABCD中，ABAD，BAD90，P是CD边上一点，连结PA，分别过点B，D作BEPA，DFPA，垂足分别为点E，F，如图（1）求证：BEDF+EF；（2）若点P在DC的延长线上，如图，上述结论还成立吗？如果成立请写出证明过程；如果不成立，请写出正确结论并加以证明（3）若点P在CD的延长线上，如图，那么这三条

17、线段的数量关系是EFBE+DF（直接写出结果）（1）证明：BEPA，DFPA，BEAAFD90，四边形ABCD是正方形，ABAD，BAD90，BAE+DAF90，又AFD90，ADF+DAF90，BAEADF，在BAE和ADF中，BAEADF（AAS），BEAF，AEDF，AFAE+EF，BEDF+EF；（2）解：上述结论不成立，正确结论为：DFEF+BE；理由如下：BEPA，DFPA，BEAAFD90，四边形ABCD是正方形，ABAD，BAD90，BAE+DAF90，又AFD90，ADF+DAF90，BAEADF，在BAE和ADF中，BAEADF（AAS），BEAF，AEDF，AEAF+EF

18、，DFBE+EF（3）解：EFBE+DF理由如下：BEPA，DFPA，BEAAFD90，四边形ABCD是正方形，ABAD，BAD90，BAE+DAF90，又AFD90，ADF+DAF90，BAEADF，在BAE和ADF中，BAEADF（AAS），BEAF，AEDF，EFAF+AE，EFBE+DF；故答案为：EFBE+DF10已知A（a，0），B（0，b），且a、b满足（1）填空：a3，b3；（2）如图1，将AOB沿x轴翻折得AOC，D为线段AB上一动点，OEOD交AC于点E，求S四边形ODAE（3）如图2，D为AB上一点，过点B作BFOD于点G，交x轴于点F，点H为x轴正半轴上一点，BFODH

19、O，求证：AFOH（1）解：，a+30，且a+b0，a3，b3，故答案为：3，3；（2）解：A（a，0），B（0，b），A（3，0），B（0，3），OAOB3，ODOE，AOBDOE90，AOEBOD，AOB沿x轴翻折得AOC，OAOBOC，AOBAOC90，OBDOAE45，在OBD和OAE中，OBDOAE（ASA），SAOESOBD，S四边形ODAESAOBOAOB33；（3）证明：过点O作OP平分AOB交BF于P，如图2所示：OP平分AOB，AOPBOP45，OBOA，OAB是等腰直角三角形，OAD45，BOPOAD，BGOD，OBP+BOG90，AOD+BOG90，OBPAOD，在BO

20、P和OAD中，BOPOAD（ASA），OPAD，在PFO和DHA中，PFODHA（AAS），OFAH，AFOH11在正方形ABCD和正方形AEFG中，点B在边AG上，点D在线段EA的延长线上，连接BE（1）如图1，求证：DGBE；（2）如图2，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，使点B恰好落在线段DG上求证：DGBE；若AB2，AG3，求线段BE的长（1）证明：延长EB，交DG于H，如图1所示：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，ADAB，AGAE，DAGBAE90，在DAG和BAE中，DAGBAE （SAS）DGABEA，又DGA+GDA90，BEA+GDA90，DHE90，DGBE

21、；（2）证明：设AG交BE于N，如图2所示：由旋转的性质得：BAD90，ABAD，BAD90，GAE90，BAD+BAGGAE+BAG，即DAGBAE，在DAG和BAE中，DAGBAE （SAS），AGDAEB，又BNGANE，GBEGAE90，DGBE；解：如图3，连接AC，交DG于点M，四边形ABCD是正方形，AB2，ACBD，ADAB2，且ADM是等腰直角三角形，AMDMAD，在RtAMG中，由知，DAGBAE，12如图1矩形ABCD中，AB6cm，BC12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以1cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动

22、时间为ts（1）当t2时，求PBQ的面积；（2）当t为何值时，DPQ是以PQ为底的等腰三角形；（3）当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，DP是否能平分ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由解：（1）当t2时，APt2，BQt2，BPABAP624，PBQ的面积244；（2）DPQ是以PQ为底的等腰三角形，DPDQ，DP2DQ2，AP2+AD2DC2+CQ2，144+t236+（12t）2，t，当t时，DPQ是以PQ为底的等腰三角形；（3）如图，过点P作PEDQ于点E，连接PQ，DP平分ADQ，ADPQDP，且ADEP90，DPDP，ADPEDP（

23、AAS）APPE，ADDE12cm，点P运动3s，AP3cm，PBABAP3cmPE，且PQPQ，RtPQERtPQB（HL）BQEQ，DQ2DC2+CQ2，（12+BQ）236+（12BQ）2，BQ，t3+13（1）如图1，在四边形ABCD中，ABAD，B+D180，E，F分别是边BC，CD上的点，且EAFBAD，则BE，EF，DF之间的数量关系是EFBE+DF（2）如图2，若E，F分别是边BC，CD延长线上的点，其他条件不变，则BE，EF，DF之间的数量关系是什么？请说明理由（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰

24、艇到指挥中心的距离相等，接到行动命令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观察到舰艇甲、乙分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O连线的夹角EOF70，试求此时两舰艇之间的距离解：（1）延长FD到点G，使DGBE，连结AG，如图1所示：在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AEAG，BAEDAG，EAFBAD，GAFDAG+DAFBAE+DAFBADEAFEAF，在AEF和GAF中，AEFAGF（SAS），EFFG，FGDG+DFBE+DF，EFBE+DF，故答案为：EFBE+DF；（2）BE，EF，DF之

25、间的数量关系是：EFBEDF；理由如下：在CB上截取BMDF，连接AM，如图2所示：B+D180，ADC+ADF180，BADF，在ABM和ADF中，ABMADF（SAS），AFAM，DAFBAM，BADMAF，BAD2EAF，MAF2EAF，MAEEAF，在FAE和MAE中，FAEMAE（SAS），EFEMBEBMBEDF，即EFBEDF；（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，如图3所示：AOB30+90+（9070）140，EOF70，EOFAOB，OAOB，OAC+OBC（9030）+（70+50）180，符合（1）中的条件，即结论EFAE+BF成立，EF1.5（60+80）210（

26、海里）答：此时两舰艇之间的距离是210海里14如图，在四边形ABCD中，ABBCAD，ADC90，ADBC（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）如图，点E在BC上，连接AE，以AE为斜边作等腰RtAEF，点F在正方形ABCD的内部，连接DF，求证：DF平分ADC；（3）在（2）的条件下，延长EF交CD的延长线于点H，延长DF交AE于点M，连接CM交EF于点N，过点E作EGAF交DC的延长线于点G，若BGE+2FEC135，DH1，求线段MN的长解：（1）ADBC，BCAD四边形ABCD是平行四边形ADC90，四边形ABCD是矩形ABBC矩形ABCD是正方形；（2）如图2，过点F作RTAD于

27、R，交BC于T，作FKCD于K，则ARFDRFDKFCKF90四边形ABCD是正方形，ADBC，ADCC90，ADCDETFCTF90四边形DRFK和四边形CKFT是矩形，CKFTAEF是以AE为斜边的等腰直角三角形，AFE90，AFFEAFR+EFTAFR+FAR90EFTFARAFRFET（AAS）ARETCKADARCDCK即DRDK矩形DRFK是正方形DF平分ADC；（3）如图3中，在AB上取一点K，连接KE，使得KEBFEC，作FTBC于T，MPAB于P，MWBC于W，NRBC于R，连接CF，延长BC到J，使得BECJ，连接GJ由（2）可知，B，D，F共线，AEF45，KEBFEC，

28、2FEC+AEK135，2FEC+BGE135，AEKBGE，AFEG，AFEFEG90，GEC+FEC90，KEB+BKE90，CEGKEB，BKEKAE+KEA，CEGBGE+CBG，CBGBAE，BABC，ABEBCG，ABEBCG（ASA），BECGCJ，GCJ90，JADF45，ADEJ，AFEG，DAFJEG，BECJ，EJBCAD，DAFJEG（ASA），AFEGEF，FTEC，ETFECG90，FET+CEG90，CEG+CGE90，FETCGE，FTEECG（AAS），ETCG，FTEC，ADDC，ADFCDF，DFDF，ADFCDF（SAS），AFFC，FTEC，ETTCC

29、GBE，tanFET2，HSDHEC，tanHSD2，DH1，DS，SDBE，2，BE1，BEETTC1，ABBC3，AE，3，AM，EM，MPAB，MWBC，则四边形BWMP是正方形，BPMPMWBW，CWBCBW，tanMCW，tanNER2，可以假设ERm，NR2m，tanNCR，CR6m，EC7m2，m，CM，CN，MNCMCN15平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，b），C（0，c），且满足：+（2bac）2+|bc|0，E、D分别为x轴和y轴上动点，满足DBE45（1）求A、B、C三点坐标；（2）如图1，若D为线段OC中点，求E点坐标；（3）当E，D在x轴和y轴上运动时，试探究

30、CD、DE和AE之间的关系解：（1）+（2bac）2+|bc|0，a4，bc，2bac0，b4，c4，点A（4，0），点B（4，4），点C（0，4）；（2）如图1，将BCD绕点B逆时针旋转90得到BAH，点A（4，0），点B（4，4），点C（0，4），OAOCBCAB4，D为线段OC中点，CDDO2，将BCD绕点B逆时针旋转90得到BAH，BCDBAH，BDBH，CBDHBA，CDAH2，DBE45，CBD+EBA45，EBA+ABH45HBEDBE，且BDBH，BEBE，DBEHBE（SAS）DEEH，OHOA+AH4+26，DEEH6OE，DE2OD2+OE2，（6OE）24+OE2，OE

31、，点E坐标为（，0）；（3）如图1，若点E在x轴正半轴，点D在y轴正半轴上，由（2）可知：DEEH，AHCD，DEAE+AHAE+CD，如图2，点E在x轴负半轴，点D在y轴正半轴，将BCD绕点B逆时针旋转90得到BAH，BCDBAH，DBH90，BDBH，CBDHBA，CDAH，DBE45，DBE45HBE，且BDBH，BEBE，DBEHBE（SAS）DEEH，AEAH+EHCD+DE；如图3，点E在x轴正半轴，点D在y轴负半轴，将BCD绕点B逆时针旋转90得到BAH，BCDBAH，DBH90，BDBH，CBDHBA，CDAH，DBE45，DBE45HBE，且BDBH，BEBE，DBEHBE（

32、SAS）DEEH，CDAHAE+EHAE+DE16如1，在矩形ABCD中，AB6，AD10，E为AD上一点且AE6，连接BE（1）将ABE绕点B逆时针旋转90至ABF（如图2），且A、B、C三点共线，再将ABF沿射线BC方向平移，平移速度为每秒1个单位长度，平移时间为t（s）（t0），当点A与点C重合时运动停止在平移过程中，当点F与点E重合时，t12（s）在平移过程中，ABF与四边形BCDE重叠部分面积记为S，求s与t的关系式（2）如图3，点M为直线BE上一点，直线BC上有一个动点P，连接DM、PM、DP，且EM5，试问：是否存在点P，使得DMP为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段BP的长

33、；若不存在，请说明理由解：（1）如图1中，连接EF，作BHEF，BEBF，FBE90，BHEF，EHFHBH6，EF16，t12时，点F与点E重合，故答案为12如图21中，当0t6时，重叠部分是BMB，St2如图22中，当6t10时，重叠部分是四边形AMNB，SSBNBSABMt2（t6）2t2+6t18如图23中，当10t12时，重叠部分是五边形AMNHC，SSBNBSABMSHCBt2（t6）2（t10）2t2+16t68如图24中，当12t16时，重叠部分是四边形AEHC，S66（t10）2t2+10t32综上所述，S（2）如图3中，总MHAD于H，交BC于GABAE6，A90，BE6，

34、EM5，BM，BGMGAH1，HMHE5，DHADAH9，DM，当DMDP时，可得CP1CP2，BP110，BP210+当MDMP时，可得GP3GP4，BP31，BP4+1，当PMPD时，设GP5x，则，解得x，BP51+17在四边形ABCD中，ADBC，ABCD（1）如图1，连接AC，求证：ABCD；（2）如图2，在CB的延长线上取一点M，连接DM，在DM上取一点L，连接BL，当CBL2M时，求证：LBMB；（3）如图3，在（2）条件下，CE平分ACB交DM于E点，连接AE，当AECE，BL8时，求AC的长解：（1）证明：在ADC与CBA中，ADCCBA（SSS），ACDBAC，ABCD；（

35、2）CBLM+BLM，CBL2M，M+BLM2M，MBLM，BMBL；（3）延长AE交CM于H，CE平分ACB交DM于E点，ACEHCE，AECE，AECHEC90，在ACE与HCE中，ACECHE（ASA），AEEH，ACCH，ADCM，ADEM，在ADE与HME中，ADEHME（AAS），ADHM，ADBC，HMBC，CHBM，BL8，CHBM8，ACCH818阅读下面的例题及点拨，补全解题过程（完成点拨部分的填空），并解决问题：例题：如图1，在等边ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是ABC的外角ACH的平分线上一点，且AMMN求证：AMN60点拨：如图2，作CBE60，BE

36、与NC的延长线相交于点E，得等边BEC，连结EM，易证ABMEBM（SAS），可得AMEM，12；又AMMN，则EMMN，可得34；由3+14+560，进一步可得125又因为2+6120，所以5+6120，所以AMN60问题：如图3，四边形ABCD的四条边都相等，四个角都等于90，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是四边形ABCD的外角DCH的平分线上一点，且AMMN求AMN的度数解：点拨：如图2，作CBE60，BE与NC的延长线相交于点E，得等边BEC，连结EM，易证ABMEBM（SAS），可得AMEM，12；又AMMN，则EMMN，可得34；由3+14+560，进一步可得125又因为2

37、+6120，所以5+6120，所以AMN60问题：延长AB至E，使EBAB，连接EMC、EC，如图所示：则EBBC，EBM中90ABM，EBC是等腰直角三角形，BECBCE45，N是正方形ABCD的外角DCH的平分线上一点，MCN90+45135，BCE+MCN180，E、C、N，三点共线，在ABM和EBM中，ABMEBM（SAS），AMEM，12，AMMN，EMMN，34，2+345，4+545，125，1+690，5+690，AMN1809090故答案为：SAS，3，4，519著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1PA+PB，图2是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2PA