第二章 随机过程

1、第二章第二章 随机过程随机过程主要内容主要内容1、随机过程的基本概念2、随机过程的统计特性3、平稳随机过程4、随机过程的各态历经性5、平稳随机过程自相关函数的性质6、随机过程的联合概率分布和互相关函数7、正态随机过程 2.1 2.1 随机过程的概念随机过程的概念 2.1.1 2.1.1 随机过程的定义随机过程的定义 例2.1 设有n台性能完全相同的雷达接收机，它们工作的条件也完全相同，图21是运用n台示波器记录的各接收机输出的噪声电压。它们是n条噪声电压时间的函数。从中可看出，在相同条件下，雷达接收机输出的噪声波形是不相同的。图2-1-1 噪声电压的输出波形 定义定义1 1 设随机试验E的样本

2、空间为 ，如果对于每一个样本 ，总可以依某种规则确定一时间t的函数 (T是时间t的变化范围 ) 与之对应。于是，对于所有的 来说，就得到一族时间t的函数，称此族时间的函数为随机过程（也称随机信号）X，而族中的每一个函数称为该随机过程的样本函数。注：随机过程是样本函数的集合 。 xS Sx TttxSx图2-1-2 随机过程是样本函数的集合 定义定义2 2 如果对于每一固定的 ， 都是随机变量，则称 是随机过程。 注：样本函数 随机变量。 Tti itX tX图2-1-3 随机过程是随机变量的集合 因此，随机过程有两种基本的表示方式： 1、样本函数集合表示(定义1) 2、随机变量集合表示(定义2

3、),.2 , 1,ixtXxtXi确定样本函数集合随机过程,.2 , 1,ixtXxtXi随机变量集合随机过程 具有以下四种含义：1、若 和 都是变量，则随机过程是一族时间函数，即随机信号；2、若 是变量，而 是固定值，则随机过程是一个确定的时间函数，即样本函数；3、若 是固定的，而 是变量，则随机过程是一个随机变量，即样本随机变量；4、若 和 都是固定值，则随机变量是一个确定值，即样本值。 tXtxtxtxtx2.1.2、随机过程的分类、随机过程的分类2.22.2 随机过程的统计特征随机过程的统计特征随机过程的统计特征主要有：1、概率分布：概率密度函数，概率分布函数；2、数字特征：数学期望，

4、均方值，方差，自相关函数，自协方差函数；3、特征函数：统计特征也可分为：1、幅值域描述: 数学期望、方均值、方差、概率密度函数等；2、时间域描述: 自相关函数、互相关函数；3、频率域描述: 自功率谱密度函数、互功率谱密度函数；4、变换域描述：特征函数。2.2.1、随机过程的概率分布、随机过程的概率分布 随机过程 ，在每一固定时刻 ， 和 都是随机变量。 随机事件： ， 发生概率： ， tXTtt21, 1tX 2tX 11xtX 2211,xtXxtX 11xtXP 2211,xtXxtXP1、一维分布函数、一维分布函数 与 和 都有直接的关系，是 和 的二元函数，记为： (2.2.1) 被称

5、为随机过程的一维分布函数。2、一维概率密度函数、一维概率密度函数 如果存在二元函数 ，使 (2.2.2) 成立,则称 为随机过程的一维概率密度函数, 是 和 的二元函数，且满足 (2.2.3) 11xtXP1x1t1x1t 11111;xtXPtxF111;txF111;txf1111111;1dtftxFx111;txf1x1t1111111;xtxFtxf 注：一维概率分布描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性。3、二维分布函数 与 ， ， 和 都有直接的关系，是 ， 和 的四元函数，记为： (2.2.4) 被称为随机过程的二维分布函数。4、二维概率密度函数如果存在四元函数 ，使 (2.2

6、.5) 2211,xtXxtXP1x1t2x2t1x1t2x2t 221121212,;,xtXxtXPttxxF21212,;,ttxxF21212,;,ttxxf21212122121212,;,;,ddttfttxxFxx 成立,则称 为随机过程的二维概率密度函数，是 ，和 的四元函数，且满足 (2.2.6) 注：1、二维概率分布反映了随机过程在不同时刻的状态之间的统计特性； 2、随机过程的二维概率分布与多维随机变量的二维概率分布所描述的物理概念是不相同的。随机过程的二维概率分布描述随机过程在不同时刻的状态之间的关系，二维随机变量的二维概率分布则描述不同变量之间的关系。21212,;,t

7、txxf1x1t2x2t212121221212,;,;,xxttxxFttxxf5、n维分布函数和概率密度函数例2.2 讨论贝努里随机过程 的一、二维概率特性。 解：贝努里随机过程，在 时刻，独立地观察某个事件 发生与否，建立事件 的指示函数 且有概率 (2.2.7) nXnt AA不发生时刻发生时刻AntAntxnX01,qpxnXPpxnXP10,1,设 ，单位步函数（阶跃函数）贝努里随机过程的一维概率分布函数 (2.2.8) 一维概率密度函数 (2.2.9)贝努里随机过程 ，对于不同的时刻 ，其随机变量 是彼此统计独立的。因此，可得 (2.2.10) 0001xxxU 1;1xpUxq

8、UnxF 1;1xpxqnxfn nX ,.1,0 XX 22112211,xnXPxnXPxnXxnXP贝努里随机过程的二维概率分布函数是 (2.2.11)其中， 是二维单位阶跃函数。 (2.2.12) 那么二维概率密度函数 (2.2.13) 1, 1, 11,11,;,212212121222112211221121212xxUpxxUxxUqpxxUqxpUxqUxpUxqUxnXPxnXPxnXxnXPnnxxF21,xxU1, 11, 1,;,212212121221212xxpxxxxqpxxqnnxxf 2121,xUxUxxU式中， (2.2.14)2.2.2、随机过程的数字特

9、征、随机过程的数字特征 随机过程的分布函数在实际上是很难获取的，甚至是不可能的。 随机过程（信号）的特征（或参数）在实际工作中运用得十分广泛。 (1) 正态随机过程由数学期望和相关函数详细描述。 (2) 复杂背景下目标识别、跟踪所依赖的有效依据仍然是目标在时间、空间的特征。 2121,xxxx图2-2-1 云层背景下的飞机 由随机过程的定义2，可知随机过程是随机变量集合：,.2 , 1,ixtXxtXi随机变量集合随机过程1、数学期望、数学期望(均值函数均值函数) 随机过程 在任意时刻 的取值是一随机变量 ，随机过程 的数学期望 或 ，即 (2.2.15) 数学期望 的取值与时刻 是有直接联系

10、的，是时刻 的函数。它是该随机过程在各个时刻的摆动中心。 tXt tX tX tXE tX dxtxxftXE;1 tXEtt图2-2-2 随机过程的数学期望2、均方值随机过程 在任意时刻 的取值是一随机变量 ，随机过程的均方值 或 ，即 (2.2.16)均方值 的取值与时刻 是有直接联系的，是时刻 的函数。3、方差 随机过程 在任意时刻 的取值是一随机变量，称随机变量 的二阶中心矩为随机过程的方差 。 (2.2.17) tXt tX tXE2 tX2 dxtxfxtXE;122 tXE2tt tXt tX tXD 2tXtXEtXD图2-2-3 随机过程的均方值、方差方差、均方值和均值有数学

11、关系式： (2.2.18) 方差描述在该时刻对其数学期望的偏离程度。 数学期望、均方值和均方差只能描述随机过程孤立的时间点上的统计特性。 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反映随机过程的起伏程度。 22tXEtXEtXD图2-2-4 随机过程的起伏程度图2-2-4 随机过程的起伏程度采用两时刻或更多时刻状态的相关性去描述随机过程的起伏程度。4、自相关函数 设 和 分别是随机过程 在时刻 和 的状态，称它们的二阶原点混合矩为随机过程 的自相关函数，记为 (2.2.19) 自相关函数反映了随机过程 在两个不同时刻的状态之间的相关程度。 1tX 2tX1t tX2t tX21,ttBX212121

12、22121,;,dxdxttxxfxxttBX tX5、自协方差函数 设 和 分别是随机过程 在时刻 和 的状态，称它们的二阶中心混合矩为随机过程 的自相关函数，记为 (2.2.20) 自协方差函数反映了随机过程 在两个不同时刻的状态相对于数学均值之间的相关程度。 1tX 2tX1t tX2t tX tX21,ttCovX 221121,tXtXtXtXEttCovX 自协方差函数、自相关函数与数学均值有数学关系式： (2.2.20) 自相关系数 (2.2.21) (2.2.22) 在 ， 。 212121,tXEtXEttBttCovXX22112121,ttCovttCovttCovtt1

13、,21tt21tt 1,11tt 随机过程统计不相关 如果对于任意的 ， 都有 ，则称该随机过程在任意两个时刻是不相关的。1t2t0,21ttCovX例2.3 若随机过程 为 式中，A为在0,1上均匀分布的随变量，求 的均值和相关函数。解 已知A的概率密度函数为则随机过程 的均值 tX tAttX tX 其它0101aafA tX 210tdaaaftAtEAtEtXEA随机过程 的自相关函数 tX 211022121212131,ttdaattAtAtEtXtXEttBX 例2.4 求随机相位正弦波 的数学期望，方差及自相关函数。式中， 为常数， 是在区间 上均匀分布的随机变量。 解 根据题

14、意有 那么有 ttX0sin02 , 0 其它0202 1f sincoscossinsincoscossinsincoscossinsin0000000tEtEtEtEttEtEtXE因为 ( 在区间 均匀分布)所以则方差 0sincosEE2 , 0 212sin2sin2cos2cos1212sin2sin2cos2cos12122cos121sin00000022tEtEttEtEtEtXE 2122tXEtXEtXD那么，自相关函数 20102010201020102121cos21cos2cos21sinsin,ttttttEttEtXtXEttBX 例2.5 试证明: (1)若随

15、机过程 加上确定的时间函数 ，则协方差不变。(2) 若随机过程 乘以非随机过程因子 ，则协方差函数乘以积 。 证： (1) 设 ，即需证 。 因为 而中心化随机函数为 tX t tX t 21tt ttXtY2121,ttCovttCovXY 不相关与ttXttXEtEtXEttXEtYE tXtXEtXtEtXEttXtYEtYtY所以故得证。(2)设 ，即要证因为 而中心化随机函数为 212121221121,ttCovtXtXEtYtYEtYEtYtYEtYEttCovXY ttXtZ 212121,ttttCovttCovXZ ttXEttXEtZE tXttXEtXtttXEttXt

16、tXEttXtZEtZtZ所以故得证。 212121212211221121,ttCovtttXtXEtttXttXtEtZEtZtZEtZEttCovXZ 例2.6 求贝努里随机过程 的均值、自相关函数、协方差函数和相关系数。 解 贝努里随机过程 的均值 在不同时刻 ，信号取值独立，则有 而在同一时刻 ，信号取值不独立，即取相同的值，则有 nX nX ppqnXE1021nn 2222111011000,ppqpqnnBX21nn ppqnnBX1100,11因此，自相关函数为贝努里随机过程 的协方差函数贝努里随机过程 的相关系数 2122121,nnpnnpnnBX nX 21212212

17、1210,covnnnnppnXEnXEnnBnnX nX21,nn21212211212101,cov,cov,cov,nnnnnnnnnnnn图2-2-4 贝努里随机过程的均值，相关函数和自相关系数 (a)均值(b)相关与协方差函数(c)自相关系数2.32.3 平稳随机过程平稳随机过程 平稳随机过程的定义 严平稳随机过程及其性质 宽平稳随机过程及其性质图2-3-1 初相角随机的正弦信号 ttttatXcos图2-3-2 幅度随机的正弦信号 图2-3-3 频率随机的正弦信号 图2-3-4 频率、相位和幅度随机的正弦信号 图2-3-5 云层背景下的飞机 2.3.1 随机信号 的统计特性(如概率

18、密度函数、相关函数)，部分或全部在观察点或观察点组的位置变化时，保持不变或变化。在随机信号理论中就称该随机信号的相应统计特性具有平稳或非平稳性。 2.3.2 随机信号统计平稳性有多种情况： (1)对整个观察点位置 变化的平稳性； (2)对观察点中时间位置 变化的时间平稳性； (3)对观察点空间位置 变化的平稳性； (4)对观察点中空间位置的部分坐标变化的平 稳性。 tXtzyx,tzyx,2.3.3 平稳随机过程的分类2.3.4 严平稳随机过程 1、定义 设有随机过程 ，若它的 维概率密度函数（或 维分布函数） 不随时间起点选择的不同而改变，即对于任何的 和 ，过程 的 维概率密度函数 （2.

19、3.1） 则称为严(格)平稳随机过程，或称窄平稳随机过程或狭义平稳过程。 tXnnnnXtttxxxf,.,;,.,2121n tXnnnXnnXtttxxxftttxxxf,.,;,.,.,;,.,212121212、实际的严平稳过程 一个工作在稳定状态下的接收机输出的噪声电压 是一个严平稳过程。 噪声电压 实质上反映电子热运动的剧烈程度。电子热运动程度则取决于接收机的工作温度T；一旦接收机稳定工作，其工作温度也相对稳定，则噪声电压 严格平稳。 tU tU tU 平稳与否严格随机过程)(tX决定随机信号的主要物理条件不变 平稳严格随机过程)(tX3、主要性质(1)、若 是严平稳随机过程，则它

20、的一维概率密度与时间无关。 证明 令 ，则一维概率密度函数 得证。 tXt xfxftxftxf11110 ;(2)、若 是严平稳随机过程，则它的均值、均方值和方差都是与时间无关的常数。证明： 根据题意有 (2.3.2) (2.3.3) (2.3.4) tX XmdxxxfdxtxxftXE11; 212122;XdxxfxdxtxfxtXE 21212;XXXdxxfmxdxtxfmxtXD(2)、若 是严平稳随机过程，则它的均值、均方值和方差都是与时间无关的常数。证明： 根据题意有 严平稳随机过程的所有样本曲线都是在同一水平直线周围随机地波动。 tX XmdxxxfdxtxxftXE11;

21、 212122;XdxxfxdxtxfxtXE 21212;XXXdxxfmxdxtxfmxtXD图2-3-6 严平稳随机过程(3) 严平稳随机过程 的二维概率密度函数只与两个时刻 和 的时间间隔有关，而与时间起点无关。 证明： 令 ，则随机过程的二维概率密度函数 (2.3.5) 式中， 。1t2t1t, 0 ;, 0 ;,;,;,212122122121221212xxfttxxfttxxfttxxf12tt tX(4) 严平稳随机过程 的自相关函数和协方差函数只与两个时刻 和 的时间间隔有关，而与时间起点无关。 证明： 根据题意，则随机过程的自相关函数 (2.3.6) 式中， 。1t2t1

22、2tt tX XXBdxdxxxfxxdxdxttxxfxxttB 212122121212122121;,;, 2212121,XXXXXXmBtEtEttBttCov 例2.7 设有随机过程 任意时刻的随机变量是高斯的，有概率密度函数 若其任意观察时刻组的随机变量是相互独立的，试判断 是否为严平稳过程。 解：在任意n个时刻 ，随机过程的n个随机变量是相互独立的，即 tX tX22221;axetxfnttt,.,21 naxnnnnetxftxftxftttxxxf2222211212121;.;,.,;,., 显然， 的任意n阶概率密度函数对观察点时刻组 是平稳的。所以 是严平稳随机过程

23、。 tXnttt,.,21 tX 例2.8 设有随机过程 ，式中A是高斯随机变量， 为确定的时间函数。试判断 是否为严平稳过程。 解：已知A的概率密度函数 在固定的时刻， 为常数。 是随机变量A的线性变化，仍为高斯分布。当 变化时， 的数学期望 和方差 均与时间有关。因此，一维概率密度函数也与时间有关， 不是严平稳过程。 tAYtX tX tY 22221maAeaf tY tXt tX tmy ty22 tX2.3.5 宽平稳随机过程 研究随机过程的概率密度函数的统计特性是很困难的； 随机过程一、二阶矩函数在一定程度上描述了随机过程的一些重要特性。 (1) 噪声电压是一平稳过程 ，那么一、二

24、阶矩函数，就是噪声平均功率的直流分量、交流分量、总平均功率等参数。 (2) 正态随机过程由数学期望和相关函数详细描述。 tX1 定义 若随机过程 满足 (2.3.7) 则称 为宽平稳随机过程或广义平稳过程。 tX XXXBtXtXEttBtXEmtXE21212,常数 tX2、主要性质随机信号的严格平稳性与广义平稳性之间有关系 严格平稳 广义平稳 随机过程 随机过程(2) 广义平稳随机过程的相关函数卷积共轭的，即 (2.3.8)(1) 证明 必然是不一定是 XXBB XXBtXtXEtXtXEB(3)随机过程的协方差函数和相关系数也是平稳的，即 (2.3.9) (2.3.10) 2212121

25、,XXXXXXmBtEtEttBttCov 0,21CovCovttXX 例2-9 判断以下三个随机过程是否平稳？ 式中， 是常数， 是相互独立的随机变量。随机过程 在上 均匀分布。 tAtXtAtXtatXcoscoscos, a,A2 , 0相位振幅振幅、相位、频率 解：(1)当幅度为常数， 在 上均匀分布时， 数学期望和自相关函数分别为 因此，X(t) 为广义平稳过程。 (2) 当幅度为随机变量，相位为常数时，那么每个样本函数的幅度都是随机变量A的一个可能取值，但它们同时到达零点或最大，均值和方差随时间变化。因此它是一个非平稳随机过程。 200cosdtatXE2 , 0cos2cosc

26、os,2atataEttRX(3) 当幅度、相位和频率都为随机变量时，每个样本函数的幅度、相位和频率都可能不同。由于 相互独立，且 在上 均匀分布。 X(t)的数学期望为 是与时间无关的常数。 X(t)的自相关函数为 0coscostEAEtAEtXE,A2 , 0cos21cos22cos21coscos,22EAEEtEAEtAtAEttBX 也与时间起点无关，只与时间差有关的函数，是广义平稳随机过程。 例2-10 广义平稳过程 通过乘法调制器得到随机信号 ， 是确定常数，是在 均匀分布的随机相位， 与 统计独立的，试问 是否广义平稳。 tX tY0, tX tY乘法调制器t0cos tX

27、 tY图 2-3-8 调制器输出信号特性解：调制器输出 为 其均值为因为 在 上均匀分布，固有所以 tY ttXtY0cos tEtXEttXEtYE00coscos,0cos21cos00dttE 0tYE输出函数 的自相关函数表示为 Y(t) 的均值和自相关函数对观察时间是平稳的，因此Y(t)是广义平稳的。 tY 0000000000cos2122coscos21coscoscoscoscoscos,XXBtEtXtXEttEtXtXEtttXtXEttXttXEttB例2-11 设随机过程式中， 为常数； 为随机变量，其特征函数为 试证：当且仅当 时， 过程为平稳过程。证明：根据题意，过

28、程X(t)的均值为而 ttX0cos ujEuEeEuMjusincos0 02, 01MM tX tEtEttEtEtXEtmx00000sinsincoscossinsincoscoscos 0sincos1jEEM有 所以 过程X(t)的相关函数为因为有所以本题得证。0sin, 0cosEE 0tmx 0000000,coscos1coscos22211coscos 2cos2sin 2sin222XBt tE X tX tEttEtEtEt 02sin2cos2jEEM02sin, 02cosEE0cos21,ttBX2.4 随机过程的各态历经性对于随机过程，在做各类统计平均时，理论上

29、需要无穷多个样本函数。 使得测试工作(集合平均)变得十分困难： (1)实际生产、生活中难以提供如此多的样本函数。 (2)如果减少样本函数的数量，而统计特征的精度就会受到影响。 txNtXENii11 211211,txtxNttBiNiiX 平稳随机过程概念的引入，使得统计特性的测试可以选在方便测试时刻上进行，且测试时刻的移动不影响该统计特性。 借助平稳随机过程统计特性与计时起点无关的特点，能否找到一种简化的方法来代替原有的统计方法。 tXEtXE XXBttB11,(a)(b)图2-4-1 两种平稳随机过程 一个样本没有经历随机过程的整个状态。 任何 一个样本经历随机过程的整个状态。 辛钦证

30、明：在具备一定的条件下，对平稳过程 的一个样本函数取时间平均 (观察时间足够长) ，从概率意义上趋近于此过程的统计(集合)均值 ，即 例如：处于稳态工作的n台雷达接收机，其噪声电压X(t)的统计平均与一台雷达接收机 的时间平均x(t) 。 txtXE dttxTtxTTT21lim tXE tXniitXntXE11 dttxTtxTTT21lim2-4-2 雷达接收机的统计平均和时间平均 tXtXntXtXEinii11 dttxtxTtxtxTTT21lim2-4-3 雷达接收机的自相关函数和时间自相关函数2.4.1 各态历经过程的定义1、各态历经过程的前提条件：随机过程是平稳过程。2、各

31、态历经过程分为严(或狭义)各态历经过程和宽(或广义)各态历经过程。3、严各态历经过程 定义 如果一个随机过程X(t)，它的各种时间平均(时间足够长)，依概率1收敛于相应的集合平均，则称此随机过程X(t)为严(或狭义)各态历经过程，该随机过程X(t)具有严(或狭义)各态历经性。4、宽(或广义)各态历经随机过程 (1)、随机过程的时间平均 对随机过程X(t) 中任意一条样本函数 x(t) 沿整个时间轴的积分： 分别称为X(t)的时间均值和时间自相关函数。 dttxTtxTTT21lim dttxtxTtxtxT21lim(2)、如 依概率1成立，则称随机过程 的均值具有各态历经性。 xmtxtXE

32、 tX(2)、如 依概率1成立，则称随机过程 的均值具有各态历经性。(3)、如 依概率1成立，则称随机过程 的自相关函数具有各态历经性。 当 时，如该式也成立，则称随机过程 的均方值具有各态历经性 xmtxtXE tXtXEtxtx0 tX tX tX(2)、如 依概率1成立，则称随机过程 的均值具有各态历经性。(3)、如 依概率1成立，则称随机过程 的自相关函数具有各态历经性。 当 时，如该式也成立，则称随机过程 的均方值具有各态历经性(4)、若 的均值和自相关函数具有各态历经性，则称 是宽(或广义)各态历经过程。 xmtxtXE tXtXEtxtx0 tX tX tX tX tX2.4.2

33、 各态历经性的实际意义1、随机过程 X(t)中任意一样本函数 x(t)代表了该随机过程，也就是各样本函数具有完全相同的特性。图2-4-2 噪声电压的输出波形2、采用随机过程的样本函数的时间平均代替随机过程的集合平均，给许多实际问题带来了极大的方便。 图2-4-3 噪声电压的输出波形niitXntXE11 dttxTtxTTT21lim3、遍历过程X(t)的一、二阶矩函数有明确的物理意义。 若遍历过程X(t) 代表噪声电压(或电流)，则 (1)、遍历过程的时间平均是的直流分量。 2-4-4 基本交流RLC电路电流 ItitiE (2)、遍历过程的自相关函数代表噪声电压消耗在单位电阻上的总平均功率

34、。 2-4-4 基本交流RLC电路电流 2tititiEP总 (3)、遍历过程的方差代表噪声电压消耗在单位电阻上的交流平均功率。2-4-4 基本交流RLC电路电流 22tititiEtiEP (4)、许多实际的信号，尤其无线电技术领域里遇到的各种平稳的信号和噪声，都是各态历经过程。 例2-12 讨论随机过程 的各态历经性。其中， 为常数， 是在 上均匀分布的随机变量。 解： 由例2-9知是平稳过程，其数学期望和自相关函数分别为 时间均值 tatX0cosa 200cosdtatXEcos2coscos,2atataEttRX 0cos21lim0TTTdttaTtx2 , 0时间自相关函数可得

35、：所以，随机过程具有宽遍历性。 020002002cos2cos22cos2121limcoscos21limataTttaTtxtxTTTTTT ttBtxtxtXEtxX, 例2-13 讨论随机过程X(t)=Y的各态历经性，式中Y是方差不为零的随机变量。图2-4-5 例2-13中X(t) 解：随机过程X(t)的数学期望和自相关函数分别为时间平均时间平均是一随机变量，随Y的取值不同而变化，所以故不是各态历经过程。 常数常数2YEtXtXEYEtXE YdtYTdttxTtxTTTTTT21lim21lim txtXE2.5 平稳随机过程的自相关函数性质 随机过程的基本特征：数学期望和自相关函

36、数。 平稳随机过程的数学期望为常数，自相关函数则成为平稳随机过程。 自相关函数提供随机过程各状态之间的关联程度，还是求取随机过程功率谱以及从噪声中提取信息的工具。 常数tXE1、实平稳随机过程X(t)的自相关函数是偶函数 证明： XXBB XXBtXtXEtXtXEB2、平稳过程X(t)自相关函数的最大点在 处证明：任何正函数的数学期望为非负值，有展开固有 0tXtXE 02020222XXBBtXtXtXtXE XXBB00 XXBB0 例如相位随机正弦信号 的自相关函数 02cos2aBX2-5-1 相位随机正弦信号的自相关函数 tatX0cos3、周期平稳过程的自相关函数必为周期函数，则

37、它的周期与过程的周期相同，即 若平稳随机过程X(t)满足条件X(t)=X(t+T)，则称此为周期平稳随机过程，其中T为过程的周期。 证明： 得证。 XXBTB XXBtXtXETtXtXETB 例如相位随机正弦信号 的自相关函数 02cos2aBTBXX2-5-2 相位随机正弦信号的自相关函数 tatX0cos4、若平稳过程X(t)含有一个周期分量，则自相关函数 也含有一个同周期的周期分量。 XB4、若平稳过程X(t)含有一个周期分量，则自相关函数 也含有一个同周期的周期分量。 证明：设随机过程 ，式中 为在 内均匀分布的随机变量， 为平稳随机过程， 和 统计独立。显然，随机过程的自相关函数

38、XB tNtAtX0cos2 , 0 tN tN tX NXBAtNtNEttAEtNtNtNtAtNtAtAtAEtNtAtNtAEtXtXEttB02002000000cos2coscoscoscoscoscoscoscos,ab2-5-3 周期信号噪声信号5、对任何不含周期分量的非周期平稳过程均有证明：对于此类非周期平稳过程，当 增大时，随机变量之间的相关性会减弱；当的极限的情况下，两者相互独立，故有 2limXXXmBB 2limlimlimXXmtXEtXEtXtXEB6、平稳随机过程的自相关函数必须满足且对于所有的都成立。 0deBjX XB2-5-4 自相关函数(a)(b)(c)

39、(d) XB XB XB XB2-5-5 非自相关函数相关系数： 2XXXXCovXDCov X10图2-6 自相关系数相关时间： 05. 00X X100图2-5-7 自相关时间相关性减弱不相关用平稳过程的自相关函数表示数字特征：(1).数学期望(2).均方值(3).方差(4).协方差 BtX_ 0_2BtX BBtXtXtXD0_2_2 XXXBBCov2Xm2X 0XB XB0图2-5-8 随机过程数字特征平稳随机过程自相关函数的电路形式：延时积分平均电路 XB图 2-5-9 自相关仪例2-14、设随机过程 的自相关函数为求的均值、均方值、方差和自协函数方差。解： tX 261425XB

40、 5_BtX 290_2 BtX 425290BBtXD 614BBCovX第六节 随机过程的联合概率分布 和互相关函数 讨论了单个随机过程的统计特性。 需要研究多个随机过程的统计特性。接收机输入输出信号噪声图2-6-1 接收机输入为信号与噪声2.6.1 两个随机过程的联合概率分布 两个随机过程 和 的联合事件 其发生概率为 设概率密度函数分别为 和 ，定义此两个随机的 维联合分布函数为 tX tYmmYtttyyyf,.,;,.,2121nnXtttxxxf,.,;,.,2121mn mmnnmnmnXYytYytYxtXxtXPttttttyyyxxxF,.,;,.,.,;,.,;,.,;

41、,.,111121212121 mmnnytYytYxtXxtX,.,;,.,1111 mmnnytYytYxtXxtXP,.,;,.,1111 如果存在函数 满足： 则称为此两个随机过程的 维联合概率密度函数。nnmnXYttttttyyyxxxf,.,;,.,;,.,;,.,21212121mnxxyynnmnXYmnmnXYdvdvduduttttttvvuufttttttyyyxxxFnm.,.,;,.,;,.,;,.,.,.,;,.,;,.,;,.,112121112121212111 mnmnmnXYmnnnmnXYyyyxxxttttttyyyxxxFttttttyyyxxxf.

42、,.,;,.,;,.,;,.,.,;,.,;,.,;,.,21212121212121212121mn随机过程相互独立：若随机过程 和 满足或则称随机过程 和 相互独立。mmYnnXmnmnXYtttyyyFtttxxxFttttttyyyxxxF,.,;,.,.,;,.,.,;,.,;,.,;,.,2121212121212121mmYnnXmnmnXYtttyyyftttxxxfttttttyyyxxxf,.,;,.,.,;,.,.,;,.,;,.,;,.,2121212121212121 tX tY tX tY联合严平稳随机过程若随机过程 和 的联合概率分布满足：或则称随机过程 和 是联

43、合严平稳过程。 tX tYttttttttttttyyyxxxFttttttyyyxxxFmnmnXYmnmnXY,.,;,.,;,.,;,.,.,;,.,;,.,;,.,2121212121212121ttttttttttttyyyxxxttttttyyyxxxmnmnXYmnmnXY,.,;,.,;,.,;,.,.,;,.,;,.,;,.,2121212121212121 tX tY2.6.2 互相关函数及其性质 设两个随机过程 和 ，在任意两个时刻 的状态分别为 ，则随机过程 和 的互相关函数定义为： tX tY tX tY21,tt 21,tYtX dxdyttyxxyftYtXEtt

44、BXYXY212121;, XYB0图2-6-2 互相关函数 正交随机过程： 若两个随机过程 和 对任意两个时刻 都具有 则称随机过程 和 为正交随机过程。0,21ttBXY tX tY21,tt tX tY图2-6-3 随机相位的正弦和余弦正弦余弦TTtt_11000sincos余弦互不相关随机过程 若两个随机过程 和 对任意两个时刻 都具有 则称随机过程 和 互不相关。 tX tY21,tt 2121tYEtXEtYtXEBXY tX tY必定不一定互为独立的随机过程互不相关的随机过程图2-6-4 随机过程独立与不相关互协方差函数：互协方差函数与互相关函数的关系： dxdyttyxftYtytXtxtYtYtXtXEttCovXYXY21_22_11_22_1121,;, _2_12121,tYtXttBttCovXYXY0 XYB XYCov _2_1tYtX图2-6-5 互协方差与互相关函数联合宽平稳随机过程 如果两个随机过程 和 是宽平稳随机过程，且它们的互相关函数是任意两时刻 之差 的函数，即 则称随机过程 和 为联合宽平稳随机过程。 tX tY21,tt12tt 122