高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小)值（第2课时）函数的最大（小）值学案新人教A版必修1

1、第2课时函数的最大（小)值1理解函数的最大(小）值的概念及其几何意义（重点）2了解函数的最大（小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小）值（重点、难点)基础初探教材整理函数的最大（小）值阅读教材p30至“例3”以上部分，完成下列问题最大值最小值条件一般地，设函数yf(x)的定义域为i，如果存在实数m满足:对于任意的xi，都有f(x）mf(x）m存在x0i，使得f(x0）m结论称m是函数yf(x）的最大值称m是函数yf(x）的最小值几何意义f（x)图象上最高点的纵坐标f(x）图象上最低点的纵坐标1函数f(x)，x1，0）(0，2()a有最大值，最小值1b有最

2、大值，无最小值c无最大值,有最小值1d无最大值，也无最小值【解析】函数f（x）在1，0）上单调递减，在（0，2上也单调递减，所以无最大值，也无最小值,故选d。【答案】d2函数f(x)x22x2，x1，2的最小值为_；最大值为_【解析】因为f（x）x22x2(x1)21,x1,2，所以f(x)的最小值为f（1）1,最大值为f(1）5.【答案】15小组合作型利用函数的图象求函数的最值（值域）画出函数yxx1|的图象，并求其值域【精彩点拨】先把yxx1化成分段函数的形式，再画出其图象，并由图象求值域【自主解答】yxx1|画出该函数的图象如图所示由图可知，函数yx|x1|的值域为(，11函数的最大值、

3、最小值分别是函数图象的最高点、最低点的纵坐标对于图象较容易画出来的函数，可借助于图象直观的求出其最值，但画图时要求尽量精确2利用图象法求函数最值的一般步骤再练一题1已知函数f(x)(1)在如图1.3.2给定的直角坐标系内画出f（x)的图象；（2)写出f（x)的单调递增区间及值域. 【导学号：97030053】图132【解】(1)图象如图所示：（2）由图可知f(x)的单调递增区间为1，0），(2,5,值域为1，3利用函数的单调性求最值（值域)求函数f(x）x在1,4上的最值【精彩点拨】先利用单调性的定义判断函数的单调性，再根据单调性求最值即可【自主解答】设1x1x22,则f(x1)f(x2)x1

4、x2x1x2（x1x2）(x1x2）.1x1x22，x1x20，f（x1）f（x2）,f（x)是减函数同理f(x）在（2,4上是增函数当x2时，f(x）取得最小值4，当x1或x4时,f(x)取得最大值5。函数的单调性与其最值的关系1若函数f（x)在闭区间a,b上是减函数,则f（x）在闭区间a,b上的最大值为f（a）,最小值为f(b)2若函数f(x)在闭区间a，b上是增函数，则f(x）在闭区间a，b上的最大值为f(b），最小值为f(a）3求函数的最值时一定要注意所给的区间是闭区间还是开区间，若是开区间，则不一定有最大值或最小值再练一题2已知函数f（x），（1)判断f（x）在3,5上的单调性，并证

5、明； 【导学号：97030054】（2）求f（x）在3，5上的最大值和最小值【解】（1）f(x）在3,5上为减函数证明:任取x1，x23,5,有x1x2，f（x1）f(x2)。x1x2，x2x10。又x1，x23，5，(x12）(x22）0，0，f(x1）f（x2)0，即f(x1)f（x2），f(x)在3，5上是减函数（2)f（x)在3,5上是减函数，f（x)在3，5上的最大值为f（3)1,f（x)在3,5上的最小值为f(5）。函数最值的实际应用某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出；若超过6元，则

6、每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆规定:每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用,用y表示出租所有自行车的日净收入（即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得)(1）求函数yf（x）的解析式及定义域；(2）试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？【精彩点拨】（1）函数yf(x)出租自行车的总收入管理费；当x6时，全部租出；当6x20时,每提高1元，租不出去的就增加3辆，所以要分段求出解析式；(2)由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值【自主解答

7、】(1)当x6时，y50x115,令50x1150，解得x2.3。xn，3x6,且xn.当6x20时，y503(x6）x1153x268x115，综上可知y(2)当3x6，且xn时,y50x115是增函数，当x6时，ymax185元当6x20，xn时，y3x268x11532,当x11时，ymax270元综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元1本题建立的是分段函数模型,分段求出各段的最大值，两段中的最大值即为所求，其中求一次函数的最值应用单调性，求二次函数的最值则应用配方法2解决实际应用问题,首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学模型解决；分清各种数据之间的

8、关系是正确构造函数关系式的关键再练一题3某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x（百台)，其总成本为g(x）（万元)，其中固定成本为2。8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本固定成本生产成本)销售收入r（x)（万元)满足r(x）假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉）,根据上述统计规律,请完成下列问题:（1)写出利润函数yf（x）的解析式(利润销售收入总成本）;(2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多?【解】（1）由题意得g（x）2.8x.r（x)f（x)r(x）g（x）（2）当x5时，函数f（x)递减，f(x）f（5)3。2(万元）当0x

9、5时，函数f(x)0。4（x4）23.6，当x4时，f(x）有最大值为3.6(万元)所以当工厂生产4百台时，可使盈利最大为3。6万元探究共研型二次函数的最值问题探究1函数f(x）x22x2在区间1,0，1,2，2，3上的最大值和最小值分别是什么？【提示】函数f（x)x22x2的图象开口向上，对称轴为x1。(1）因为f（x）在区间1,0上单调递减，所以f（x）在区间1，0上的最大值为f(1）5，最小值为f（0)2.(2)因为f（x）在区间1,1上单调递减,在1，2上单调递增,则f(x）在区间1，2上的最小值为f(1)1,又因为f(1)5,f（2)2，f（1）f（2），所以f（x）在区间1，2上的

10、最大值为f（1)5.(3)因为f(x）在区间2，3上单调递增，所以f（x）在区间2，3上的最小值为f（2)2，最大值为f(3）5。探究2你能说明二次函数f(x）ax2bxc的单调性吗？若求该函数f(x）在m,n上的最值，应考虑哪些因素？【提示】当a0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增；当a0时，f（x)在上单调递减,在上单调递增若求二次函数f（x）在m，n上的最值,应考虑其开口方向及对称轴x与区间m，n的关系已知函数f(x)x2ax1,（1）求f(x)在0，1上的最大值；（2）当a1时,求f(x）在闭区间t，t1(tr）上的最小值【精彩点拨】（1)根据二次函数图象的对称性求函数的最大值(2

11、）根据函数在区间t，t1上的单调性分三种情况讨论,分别求出f(x）的最小值【自主解答】(1)因为函数f(x）x2ax1的图象开口向上，其对称轴为x，所以区间0,1的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值,当,即a1时，f（x)的最大值为f(1）2a；当，即a1时，f（x)的最大值为f（0)1.（2)当a1时,f（x）x2x1，其图象的对称轴为x，当t时，f(x)在其上是增函数,f(x)minf（t)t2t1；当t1，即t时，f（x）在其上是减函数，f（x)minf（t1)2t2t1；当tt1，即t时，函数f(x）在上单调递减，在上单调递增，所以f(x）minf.探求二次函数的最值问题,要

12、根据函数在已知区间上的单调性求解，特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,如果二者的位置关系不确定，那么就应对其位置关系进行分类讨论来确定函数的最值。再练一题4求f(x)x22ax1在区间0,2上的最大值和最小值。【导学号：97030055】【解】f(x）(xa)21a2，对称轴为xa。(1）当a0时，由图可知，f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(x)minf(0)1，f（x）maxf(2）34a.（2）当0a1时，由图可知，对称轴在区间0,2内,所以f（x)minf（a)1a2，f(x）maxf(2)34a。(3)当10时，有(2a

13、1)(a1）2，解得a2；当a0时,有（a1）（2a1）2，解得a2。综上知a2。【答案】c4函数f(x)3x在区间2，4上的最大值为_【解析】在区间上是减函数，3x在区间上是减函数，函数f(x）3x在区间上是减函数,f（x）maxf(2）324.【答案】45已知函数f（x）(x2，6)（1）判断函数f（x)的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值【解】(1)函数f（x)在x2,6上是增函数证明：设x1，x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2，则f（x1)f（x2）。由2x10，于是f(x1)f（x2)0，即f(x1）f(x2)，所以函数f(x）是区间2,6上的减函数（2)由（1）

14、可知，函数f(x)在区间2,6的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x2时取得最大值，最大值是2，在x6时取得最小值，最小值是0.4。尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。this article is collected and compiled by my colleagues and i in our busy schedule. we proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there will be some unsatisfactory points. if the