多次相遇问题解题技巧

1、“多次相遇问题”解题技巧“多次相遇”问题有直线型和环型两种模型。相对来讲，直线型更加复杂。环型只是 单纯的周期问题。一、直线型直线型多次相遇问题宏观上分“两岸型”和“单岸型”两种。“两岸型”是指甲、乙两 人从路的两端同时出发相向而行；“单岸型”是指甲、乙两人从路的一端同时出发同向而行。（一）两岸型两岸型甲、乙两人相遇分两种情况，可以是迎面碰头相遇，也可以是背面追及相遇。 题意如果没有明确说明是哪种相遇，对两种情况均应做出思考。1、迎面碰头相遇：如下图，甲、乙两人从A、B两地同时相向而行，第一次迎面相遇在 a处，（为清楚表 示两人走的路程，将两人的路线分开画出）则共走了1个全程，到达对岸b后两人

2、转向第二次迎面相遇在c处，共走了 3个全程，则从第一次相遇到第二次相遇走过的路程是第一次 相遇的2倍。之后的每次相遇都多走了 2个全程。所以第三次相遇共走了 5个全程，依次 类推得出：第n次相遇两人走的路程和为（2n-1） S, S为全程。而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的 2倍，分开看每个人都是2倍关系，经常可 以用这个2倍关系解题。即对于甲和乙而言从 a到c走过的路程是从起点到a的2倍。甲 b相遇次数1234全程个数1357再走全程数1222n2n-122、背面追及相遇与迎面相遇类似，背面相遇同样是甲、乙两人从 A、B两地同时出发，如下图，此时可 假设全程为4份，甲1分钟走1份，乙1分钟

3、走5份。则第一次背面追及相遇在a处，再 经过1分钟，两人在b处迎面相遇，到第3分钟，甲走3份，乙走15份，两人在c处相遇。 我们可以观察，第一次背面相遇时，两人的路程差是1个全程，第二次背面相遇时，两人的路程差为3个全程。同样第二次相遇多走的路程是第一次相遇的 2倍，单看每个人多走 的路程也是第一次的2倍。依次类推，得：第n次背面追及相遇两人的路程差为（2n-1） S（二）单岸型单岸型是两人同时从一端出发，与两岸型相似，单岸型也有迎面碰头相遇和背面追及相遇两种情况1、迎面碰头相遇:如下图，假设甲、乙两人同时从 A端出发，假设全程为3份，甲每分钟走2份，乙每 分钟走4份，则甲乙第一次迎面相遇在

4、a处，此时甲走了 2份，乙走了 4份，再过1分钟, 甲共走了 4份，乙共走了 8份，在b处迎面相遇，则第二次相遇多走的跟第一次相遇相同， 依次类推，可得出：当第n次碰头相遇时，两人的路程和为 2ns。2、背面追及相遇与迎面相遇相似，假设全程为3份，甲每分钟走1份，乙每分钟走7份，则第一次背 面相遇在a处，2分钟后甲走了 2份，乙走了 14份，两人在b处相遇。第一次相遇，两人 走的路程差为2S，第二次相遇两人走的路程差为 4S,依次类推，可以得出：当第n次追及相遇时，两人的路程差为2ns。a甲：勺“直线型”总结（熟记）两岸型:第n次迎面碰头相遇，两人的路程和是（2n-1） So第n次背面追及相遇

5、，两人的路程差是（2n-1） So单岸型:第n次迎面碰头相遇，两人的路程和为2ns第n次背面追及相遇，两人的路程差为 2ns。下面列出几种今后可能会考到的直线型多次相遇问题常见的模型：模型一 ：根据2倍关系求AB两地的距离。【例1】甲、乙两人在A、B两地间往返散步，甲从 A,乙从B同时出发，第一次相遇点距B60米，当乙从A处返回时走了 10米第二次与甲相遇。A、B相距多少米A、150B、170C、180D、200【答案及解析】Bo如下图，第一次相遇在a处，第二次相遇在b处，aB的距离为60，Ab 的距离为10o以乙为研究对象，根据2倍关系，乙从a到A，再到b共走了第一次相遇的2 倍，即为60X

6、 2=120米，Ab为10，则Aa的距离为120-10=110米，则AB距离为110+60=170 米。模型二:告诉两人的速度和给定时间，求相遇次数。【例2】甲、乙两人在长30米的泳池内游泳，甲每分钟游米，乙每分钟游米。两人同时分别从泳池的两端出发，触壁后原路返回，如是往返。如果不计转向的时间，则从出发开始计算的1分50秒内两人共相遇多少次A、2B、3C、4D、5【答案及解析】Bo题目没说是迎面还是背面，所以两种相遇的次数都应该计算。 分开讨论,如是是迎面相遇，则走的全程的个数为个，根据迎面相遇37.5H-j2, j60n次，走的全程为2n-1=5,求得n=3;如果是背面相遇，则走的全程数为一

7、_ J - -，故在1分50秒内，不能背面相遇。所以共相遇 3次。60模型三:告诉两人的速度和任意两次迎面相遇的距离，求AB两地的距离。【例3】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行20千米，乙车每小时行50千米，已知两车第10次与第18次迎面相遇的地点相距60千米,则A、B相距多少千米A、95B、100C、105D、110【答案及解析】Co走相同时间内，甲乙走的路程比为 20: 50=2: 5o将全程看成7份，则 第一次相遇走1个全程时，甲走2份，乙走5份。以甲为研究对象（也可以以乙），第 10 次迎面相遇走的全程数为2X10-1=19个，甲走1个全程走2份

8、，则走19个全程可走19X 2=38份。7份是一个全程，则38份共有38 - 7=53份（当商是偶数时从甲的一端数，0也 是偶数；当商是奇数时从乙的一端数，比如第1个全程在乙的一端，第2个全程在甲的一端）从乙端数3份。同理当第18次相遇，甲走的份数为（2X 18-1）X 2=70份。共有70- 7=10个全程，10为偶数在甲的端点。如下图：则第10次相遇与第18次相遇共有4份为60千米，所以AB长为I千米。4点评：对于给定任意两次的距离，主要是根据速度转化为全程的份数，找一个为研究对象， 看在相遇次数内走的全程数，从而转化为份数，然后根据一个全程的份数，将研究对象走的 总份数去掉全程的个数看剩

9、余的份数，注意由全程的个数决定剩余的份数从哪一端数。【例4】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B间不断往返行驶。甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米,则A、B相距多少千米A、90B、180C、270D、110【答案及解析】A。法一：同上题。相同时间，甲、乙路程比为 45: 36=5: 4,则将全程分 成9份。则一个全程时甲走5份，乙走4份。以甲为研究对象，第2次相遇，走的全程数 为2X 2-1=3个，则甲走的份数为3X 5=15份，一个全程为9份，则第2次相遇甲走的份数 转化为全程的个数为15宁9=16份，则从乙端数6份。第3次相

10、遇走的份数为（2X 3-1） X 5=25份，转化为全程的个数为25- 9=27,则从甲端数7份。如下图：*2乙-JB由图第2次和第3次相遇之间共有4份为40千米，则AB相距 =90千米斗法二：在此引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解题的前提是题干中已知两人的速度。 将速度转化为相同路程的条件下两人的时间比， 则以时间为刻度，画出两人到达对岸的路线 图，两人走的路线图相交的点即为两人相遇的地点。s-t图中的路线因像古代记时间的沙漏故称为“沙漏模型”。本题中，甲、乙走到端点用的时间比为36： 45=4： 5。如下图:根据路线图看出甲乙第2次相遇和第3次相遇的交点E和0,根据三角形相似，可得CE:EG

11、=3:6=1：2则求得第2次相遇距A地的比例为S/3,同理D0:0N=7: 2,则第3次相遇 距A地的比例为7S/9，则两次相遇比例为 一 一为40千米，则S=90千米。939点评：考生如果能掌握“沙漏”模型，则会直观快速的提高解题速度。用交点判断是迎面 相遇还是背面相遇的技巧：看相交的两条线是由同一岸引出还是两岸，同一岸则说明是背面相遇，不同岸则说明是迎面相遇。用时注意：一般题干涉及到的相遇次数较少时可画，相遇次数太多，则会花费大量时间，不利于提高速度；画时的单位刻度要看时间比，如果时间比中的数据较大可把刻度画大。模型四：告诉两人的速度，相遇次数较少时，利用s-t图形成“沙漏”模型速解。【例

12、5】A、B两地相距950米。甲、乙两人同时由 A地出发往返锻炼半小时。甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟行150米。则甲、乙二人第几次迎面相遇时距 B地最近。A、1B、2C、3D、4【答案及解析】B。利用“沙漏模型”。甲乙走到端点用的时间比为 150： 40=15: 4,半小 时两人共走的全程数为- 7个。对于单岸型，相遇6个全程，则是迎面40+150第三次相遇（由前边公式推出）画出 s-t图：观察上图可知，可第3次迎面相遇的过程中，甲乙有一次背面相遇（交点由同一点引 出）。而在三次迎面相遇中第 2次相遇离B地最近，并且可根据三角形相似求出离 B地的 距离。【例6】河道赛道长120米，水流

13、速度为2米/秒，甲船静水速度为6米/秒，乙船静水速度 为4米/秒。比赛进行两次往返，甲、乙同时从起点出发，先顺水航行，问多少秒后甲、 乙船第二次迎面相遇A、48B、50C、52D、54【答案及解析】Co由题知，得出如下关系：顺流逆流甲8 (15)4 (30)乙6 (20)2 (60)注：（）中为走完全程的时间假设A到B是顺流，由上表可知甲、乙两人第 2次迎面相遇共有4个全程。由于甲的 速度快，则第2次相遇前甲已走了 2个全程。共15+30=45秒。当第45秒时乙走了一个顺 流全程20秒和25秒的逆流，走的路程为25X 2=50米，则在剩余的70米内，甲乙分别以 顺流和逆流相遇时间为t，则有70

14、= （8+2）X t，求得t=7秒，则共用时间45+7=52秒。本题同样可用“沙漏模型”解决。根据上表中的速度关系，可得出一个全程时的时间关 系如下：顺流逆流甲36乙412根据时间的关系，得出s-t图像，如下:甲t 6) Q |乙268 1016 10 20s-t S 甲対冥线.乙対虚线）观察上图，可看出第二次迎面相遇在 P点，以甲为研究对象计算时间，此时甲走了一 个顺流，一个逆流，另外EP段为顺流，根据三角形相似可求出走 EP用的时间7EP:PN=EF:MN=7,由上表，求出走EP用的时间为，则甲共走的时间为7 + 315+30+7=52=、环型环型主要分两种情况，一种是甲、乙两人同地同时反

15、向迎面相遇（不可能背面相遇）， 一种是甲、乙两人同地同时同向背面追及相遇（不可能迎面相遇）。分开讨论如下:（一）甲、乙两人从A地同时反向出发:如下图，一个周长分成4份，假设甲是顺时针每分钟走1份到B,乙是逆时针每分钟走 3份到B,则第一次相遇两人走了 1个周长，则再过1分仲，甲再走1份到C,同样乙走3 份也到C,则第二次相遇共走了 2个周长，依次类推，可得出： 第n次迎面相遇共走了 n 圈。乙A甲C（二）甲、乙两人从 A地同时同向出发:如下图，全程分成4份。假设甲、乙两人都是顺时针同时出发，甲每分钟走1份，乙每分钟走5份，则1分钟后两人在B处第一次背面追及相遇，两人走的路程差为 1个周长 再过

16、1分钟后，甲到C处，乙也到C处，两人第二次背面追及相遇，多走的路程差同样为 一个周长，依次类推，可以得出： 第n次背面追及相遇，路程差为n圈。乙c环型多次相遇问题相对比较简单，当甲、乙不在同一地点出发时相对具有难度。 比如在 直径两端出发。考生可通过下面的例题把握【例 1】老张和老王两个人在周长为 400 米的圆形池塘边散步。老张每分钟走 9 米，老王每分钟走 16 米。现在两个人从同一点反方向行走，那么出发后多少分钟他们第三次相遇A、33B、45C、48D、56【答案及解析】C。第一次迎面相遇时间为400( 9+16) =16,则第三次迎面相遇时间为16X 3=48。【例 2】小明、小亮从

17、400 米环形跑道的同一点出发，背向而行。当他们第一次相遇时，小 明转身往回跑；再次相遇时，小亮转身往回跑；以后的每次相遇分别是小明和小亮两人交 替调转方向，小明速度 3 米/秒，小亮速度 5米/秒，则在两人第 30次相遇时小明共跑了 多少米A、11250B、11350C、11420D、11480【答案及解析】A。由题意知，第1次是迎面相遇，第2次是背面追及相遇，之后都是迎面 与背面相遇交替。则在 30次相遇中，迎面相遇 15次，背面相遇 15次。迎面相遇一次用时 为400-( 3+5) =50,背面相遇一次用时为400( 5-3) =200,则30次相遇共用时为 15X( 50+200) =3750s,则小时在这段时间里跑的路程为 3750X3=11250米。【例 3】甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反方向绕此圆形路 线运动,当乙走了 100 米以后,他们第一次相遇,在甲走完一周前 60 米处又第二次相遇, 则这个圆形场地的周长为多少米A、320B、360C、420D、480【答案及解析】D。如下图，假设甲、乙分别在直径 A、B两端以顺时针和逆时针运动。第1次相遇在C点距B点100米，第2次相遇在D点，距A