高数学习经验交流会

1、高等数学的学习高等数学的学习与几点思考与几点思考数学与统计学院数学与统计学院 孙善辉孙善辉 1.1.数学是一种思维模式数学是一种思维模式2.2.在数学学习中的学习思想在数学学习中的学习思想 3.3.培养高等数学思维品质培养高等数学思维品质5.5.高数二大纲的解读高数二大纲的解读6.6.专升本高数的大纲的解读专升本高数的大纲的解读4.4.良好解题习惯良好解题习惯主要内容主要内容1.数学是一种思维模式数学是一种思维模式 用数学知识去解决问题目的的意识就促使我用数学知识去解决问题目的的意识就促使我们的分析一开始接触到问题的要害信息，围们的分析一开始接触到问题的要害信息，围绕目标思考，观察目标的结构特

2、征，诱发类绕目标思考，观察目标的结构特征，诱发类比、联想，依目标的要求，凭借感知对问题比、联想，依目标的要求，凭借感知对问题解决作出猜想和设想，把问题设计在某种数解决作出猜想和设想，把问题设计在某种数学模型上，制定解题的途径，得到解决的方学模型上，制定解题的途径，得到解决的方案。利用数学模型计算去解决复杂的方程和案。利用数学模型计算去解决复杂的方程和最优化问题，改变工程过程中的组织和结构，最优化问题，改变工程过程中的组织和结构，以及新产品的设计。这样用数学模型的普遍以及新产品的设计。这样用数学模型的普遍方法，快刀斩烂麻似的使问题得到解决。所方法，快刀斩烂麻似的使问题得到解决。所以数学也是一种思

3、维模式以数学也是一种思维模式 。 在代数学中，可以用正整数集合上的在代数学中，可以用正整数集合上的加法运算来描述工厂产品的累计数，加法运算来描述工厂产品的累计数，可以用集合之间的可以用集合之间的“并并”与与“交交”运运算描述单位与单位之间的关系等。在算描述单位与单位之间的关系等。在初等数学领域里需要特殊技巧或无法初等数学领域里需要特殊技巧或无法解决的大量问题，在微积分学中，用解决的大量问题，在微积分学中，用导数（比式的极限）模型来描述质点导数（比式的极限）模型来描述质点运动的速度、路程等；用定积分（和运动的速度、路程等；用定积分（和式的极限）模式来计算弧长、面积、式的极限）模式来计算弧长、面积

4、、压力、重心、功和能等范围的广泛复压力、重心、功和能等范围的广泛复杂问题；以上这些都是杂问题；以上这些都是“数学模型数学模型”。 现实生活中许许多多类型的问现实生活中许许多多类型的问题的解决都运用到数学方法或题的解决都运用到数学方法或数学模型。即用数学知识或方数学模型。即用数学知识或方法研究某类问题而构造的数学法研究某类问题而构造的数学结构。也就是解决问题所具有结构。也就是解决问题所具有的共同数学规律性，它所用的的共同数学规律性，它所用的定理、公式、法则、性质、数定理、公式、法则、性质、数学方法程序基本相同。要想获学方法程序基本相同。要想获得解决模式，应以思维为主线，得解决模式，应以思维为主线

5、，把握问题结构的整体性。把握问题结构的整体性。 必须通过相关问题中或明或隐约的有用信必须通过相关问题中或明或隐约的有用信息的刺激，以数学思维方法、一些常用数息的刺激，以数学思维方法、一些常用数学方法学方法( (如：形数结合、换元法、反演法、如：形数结合、换元法、反演法、放缩法、配方法、待定系数法、引入辅助放缩法、配方法、待定系数法、引入辅助量等量等) )为依据，与固有知识相结合促使已为依据，与固有知识相结合促使已有知识经验再现，采用广泛联想、执因索有知识经验再现，采用广泛联想、执因索果或执果索因、凭借感知对问题解决作出果或执果索因、凭借感知对问题解决作出猜想和设想等，先抽象概括出某些问题的猜想

6、和设想等，先抽象概括出某些问题的共同本质特征，总结出一些行之有效的探共同本质特征，总结出一些行之有效的探索方法，然后抽象概括出这类问题的一般索方法，然后抽象概括出这类问题的一般解法解法解决模式。解决模式。 用模式解决问题时，应以用模式解决问题时，应以思维为主线，学习数学结思维为主线，学习数学结构的整体性；深思时要注构的整体性；深思时要注重思考的导向性，焕发兴重思考的导向性，焕发兴趣，激发情感磨砺意志。趣，激发情感磨砺意志。同时具体情况要具体分析、同时具体情况要具体分析、灵活运用，不要生搬硬套。灵活运用，不要生搬硬套。 另一类问题无解决模式，也就另一类问题无解决模式，也就是根据问题无法预知所用的

7、数是根据问题无法预知所用的数学公式、法则、数学方法和程学公式、法则、数学方法和程序，在这种情况下，同一类型序，在这种情况下，同一类型的问题解法灵活多变，差别很的问题解法灵活多变，差别很大，解决这类问题，只有用正大，解决这类问题，只有用正确的思考方法进行认真观察分确的思考方法进行认真观察分析，深入探索，才能尽快地发析，深入探索，才能尽快地发现解决的途径。现解决的途径。 2.2.在数学学习中应以思维培在数学学习中应以思维培养为基础、以工具性为导向、养为基础、以工具性为导向、以能力为本位的学习思想以能力为本位的学习思想 学习方法多种多样，在学习过学习方法多种多样，在学习过程中可采用程中可采用“研究式

8、研究式”、“自自学式学式”、“发现式发现式”、“演讲演讲式式”、“辩论式辩论式”等。等。 究其实质，一种是接受式学习；究其实质，一种是接受式学习；另一种是探究式学习，两种学另一种是探究式学习，两种学习相辅相成，缺一不可。而过习相辅相成，缺一不可。而过去的教育过多地注重了接受式去的教育过多地注重了接受式学习，而忽视了探究性学习在学习，而忽视了探究性学习在人的发展中的重要价值，使探人的发展中的重要价值，使探究性学习如观察、实践、调查、究性学习如观察、实践、调查、实验等在教学中处于被忽略的实验等在教学中处于被忽略的地位。地位。 另外学的改变，即学习方式从另外学的改变，即学习方式从被动接受，被动操练，

9、被动应被动接受，被动操练，被动应试；改变为主动发现问题，主试；改变为主动发现问题，主动研究，主动获取人类优秀的动研究，主动获取人类优秀的最新的资源，这种学习方式理最新的资源，这种学习方式理念的变化就是学习者是未来世念的变化就是学习者是未来世界的创造者，具备未来世界对界的创造者，具备未来世界对他们生存和发展要求的基本素他们生存和发展要求的基本素质。质。 数学学习的目标是为提高适应数学学习的目标是为提高适应生活、适应社会、适应世界、生活、适应社会、适应世界、适应未来的综合能力，为此在适应未来的综合能力，为此在数学学习中应以工具性为导向、数学学习中应以工具性为导向、以培养思维为基础、以能力为以培养思

10、维为基础、以能力为本位的学习指导思想。既要具本位的学习指导思想。既要具备适用的、合理的重新学习的备适用的、合理的重新学习的知识结构，又注重知识结构，又注重“应运型应运型”的培养，成为的培养，成为“一专多能一专多能”型型人才。人才。 以现代教育理论为指导，培养以现代教育理论为指导，培养能力；注重知识结构及获取知能力；注重知识结构及获取知识过程；学会主动建构知识、识过程；学会主动建构知识、探索知识。采用问题解决等学探索知识。采用问题解决等学习模式，从实例问题入手，以习模式，从实例问题入手，以问题为引线，注意概念及其实问题为引线，注意概念及其实际意义、定理及其实际内涵、际意义、定理及其实际内涵、数学

11、思想方法及其应用的掌握。数学思想方法及其应用的掌握。 数学思想是指现实世界的数量数学思想是指现实世界的数量关系和空间形式反映到人的意关系和空间形式反映到人的意识之中，经过思维活动而产生识之中，经过思维活动而产生的结果，是对数学事实与理论的结果，是对数学事实与理论的本质认识。包括：形数结合的本质认识。包括：形数结合的思想；转化的思想，分类的的思想；转化的思想，分类的思想；特殊与一般的思想；观思想；特殊与一般的思想；观察、实验的思想等。察、实验的思想等。 技能是顺利完成某种任务的一技能是顺利完成某种任务的一种活动方式，基本技能是能够种活动方式，基本技能是能够按照一定的程序与步骤进行运按照一定的程序

12、与步骤进行运算、作图、分析、推理。他是算、作图、分析、推理。他是通过练习获得的，分为动作技通过练习获得的，分为动作技能和心智技能，在数学活动中，能和心智技能，在数学活动中，必须同时运用动作技能和心智必须同时运用动作技能和心智技能，才能达到相应目标。技能，才能达到相应目标。 如：知识与技能互相依存，运如：知识与技能互相依存，运用知识才能形成技能，知识是用知识才能形成技能，知识是技能的基础，是经验的概括。技能的基础，是经验的概括。技能形成过程中也巩固了知识，技能形成过程中也巩固了知识，是一系列活动方式的概括。是是一系列活动方式的概括。是发展数学能力的基础。一方面发展数学能力的基础。一方面不能脱离技

13、能的训练发展学生不能脱离技能的训练发展学生能力，另一方面，有些技能含能力，另一方面，有些技能含有能力，但能力不等于技能。有能力，但能力不等于技能。 逻辑思维是指人脑借助于概念、判逻辑思维是指人脑借助于概念、判断、推理及其它逻辑方法反映客观断、推理及其它逻辑方法反映客观现实的认识过程。逻辑思维能力是现实的认识过程。逻辑思维能力是指正确的、合理的进行思考的能力。指正确的、合理的进行思考的能力。而数学思维在客观上，是策略创造。而数学思维在客观上，是策略创造。其中包括直觉归纳、类比联想、观其中包括直觉归纳、类比联想、观念更新和顿悟技巧等；微观上是步念更新和顿悟技巧等；微观上是步步为营，言必有据地进行逻

14、辑推理，步为营，言必有据地进行逻辑推理，这两方面的有机结合才能反映数学这两方面的有机结合才能反映数学思维的本质。思维的本质。 发展学生的逻辑思维能力主发展学生的逻辑思维能力主要是逐步培养学生会观察、要是逐步培养学生会观察、比较、分析、综合、抽象和比较、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎类比概括；会用归纳、演绎类比进行推理；会准确地阐述自进行推理；会准确地阐述自己的思想和观念；形成良好己的思想和观念；形成良好的思维品质。的思维品质。 数学思维常用的方法：分析与综数学思维常用的方法：分析与综合；比较与分类；抽象与概括。合；比较与分类；抽象与概括。数学方法是指人们在数学活动中数学方法是指人们在数

15、学活动中为达到预期目的而采用的手段、为达到预期目的而采用的手段、途径和行为方式。采用的方式是途径和行为方式。采用的方式是观察、实验、归纳、抽象分析和观察、实验、归纳、抽象分析和公理化等等。数学思想方法：是公理化等等。数学思想方法：是思维的产物，是从事数学活动的思维的产物，是从事数学活动的思维方式和手段。思维方式和手段。 即对数学对象属性分析、综合、即对数学对象属性分析、综合、类比、联想、逻辑推理所采用类比、联想、逻辑推理所采用的方式、手段。是在数学活动的方式、手段。是在数学活动中产生的，是人类智慧的结晶，中产生的，是人类智慧的结晶，是数学的内在形式，它通过知是数学的内在形式，它通过知识的载体得

16、以实现，是获取知识的载体得以实现，是获取知识和能力的工具。识和能力的工具。 有观察、实验的思想方法（数学这门科有观察、实验的思想方法（数学这门科学，需要观察，还需要实验，如数的性学，需要观察，还需要实验，如数的性质几乎都是由观察所发现）；朴素的方质几乎都是由观察所发现）；朴素的方法（即把法（即把“从最简单的做起从最简单的做起”当做座右当做座右铭）；类比和归纳的方法；极限的方法铭）；类比和归纳的方法；极限的方法（即数学分析研究函数性质所用的工具（即数学分析研究函数性质所用的工具就是极限）；近似的方法（如近似计算、就是极限）；近似的方法（如近似计算、估计、预测等）；抽象的方法（如何把估计、预测等）

17、；抽象的方法（如何把一个实际问题抽象成数学问题）；变量一个实际问题抽象成数学问题）；变量思想方法；整体的思想方法等。思想方法；整体的思想方法等。 从掌握知识的目的来看：掌握知从掌握知识的目的来看：掌握知识的目的就是为了具有探索解决识的目的就是为了具有探索解决问题的方法和能力，而问题种类问题的方法和能力，而问题种类繁多，形式多样，就其解决的过繁多，形式多样，就其解决的过程来看都要经过观察、类比、归程来看都要经过观察、类比、归纳、联想、分析和综合的思维过纳、联想、分析和综合的思维过程，为问题的解决在已知到结论程，为问题的解决在已知到结论之间用思维铺路搭桥，寻求逻辑之间用思维铺路搭桥，寻求逻辑联系，

18、从中发现解决的方法。联系，从中发现解决的方法。 从寻找解决途径来看，有时需从寻找解决途径来看，有时需要推理证明、有时需要通过计要推理证明、有时需要通过计算、有时运用类比法、有时需算、有时运用类比法、有时需要归纳法、有时需要将一些复要归纳法、有时需要将一些复杂问题转化变形，化简转化为杂问题转化变形，化简转化为典型问题上。典型问题上。 从社会角度来讲，社会需要的从社会角度来讲，社会需要的是能对信息能作出灵敏反映的是能对信息能作出灵敏反映的人；能对自然现象有着良好的人；能对自然现象有着良好的感悟的人。尽管专家们花了大感悟的人。尽管专家们花了大量的时间编写了教材，但真正量的时间编写了教材，但真正决定数

19、学课程不是写在书上的决定数学课程不是写在书上的各种观念与规定，而是天天和各种观念与规定，而是天天和学生接触的老师。学生接触的老师。 教师要努力做到有利于提高学教师要努力做到有利于提高学生独立思考的能力，在学生学生独立思考的能力，在学生学会的同时，教给学生学习的方会的同时，教给学生学习的方法，同时要增强思维的灵活性、法，同时要增强思维的灵活性、变通性和创造性，把握数学思变通性和创造性，把握数学思想（它在数学活动中产生、凝想（它在数学活动中产生、凝聚了人类活动的智慧）。聚了人类活动的智慧）。 即数学学习是做的数学，数学即数学学习是做的数学，数学的做。是学习者组织再组织，的做。是学习者组织再组织，不

20、是数量的累积，而是通过学不是数量的累积，而是通过学习使知识越来越有次序，具有习使知识越来越有次序，具有适用的、合理的重新学习的知适用的、合理的重新学习的知识结构，具备注重知识结构、识结构，具备注重知识结构、获取知识的过程、主动建构知获取知识的过程、主动建构知识的技能和探索知识的能力。识的技能和探索知识的能力。 从数学本身来看，数学内容的从数学本身来看，数学内容的整体结构有两根强有力的支柱，整体结构有两根强有力的支柱，即：数学知识与数学思想方法。即：数学知识与数学思想方法。从教育的角度来看，数学思想从教育的角度来看，数学思想方法比数学知识更重要，这是方法比数学知识更重要，这是因为知识的记忆是暂时

21、的，思因为知识的记忆是暂时的，思想方法的掌握是永久的；知识想方法的掌握是永久的；知识只能使学生受益于一时，思想只能使学生受益于一时，思想与方法将使学生受益终生。与方法将使学生受益终生。 世界著名数学家波利亚在世界著名数学家波利亚在6060年年代曾做过统计：学生毕业后在代曾做过统计：学生毕业后在其工作中需要用到数学的（包其工作中需要用到数学的（包括数学家在内）约占全部学生括数学家在内）约占全部学生的的30%30%，而其余，而其余70%70%则几乎用不则几乎用不到任何具体的数学知识。到任何具体的数学知识。 正是基于这样的分析，波利亚认正是基于这样的分析，波利亚认为：为：“一个数学教师，他若要同一个

22、数学教师，他若要同样地去教他所有的学生样地去教他所有的学生未来未来用数学和不用数学的人，那么他用数学和不用数学的人，那么他在教学时应当教三分之一的数学在教学时应当教三分之一的数学和三分之二的常识（即一般性的和三分之二的常识（即一般性的数学思想方法或思维模式）。数学思想方法或思维模式）。”这就是说，数学学习必须重视数这就是说，数学学习必须重视数学思想方法的学习。学思想方法的学习。3.3.培养思维品质是掌握数学方培养思维品质是掌握数学方法的核心法的核心 没有思维，便没有智慧，知识与方法没有思维，便没有智慧，知识与方法也就成了无源之水。学习知识是通过也就成了无源之水。学习知识是通过思维来实现的，语言

23、是思维的工具，思维来实现的，语言是思维的工具，思维常借助于语言进行表述和实现的，思维常借助于语言进行表述和实现的，数学是一切科学的理论基础，是锻炼数学是一切科学的理论基础，是锻炼人思维的体操，是一切科学的语言，人思维的体操，是一切科学的语言，是探索发现的重要方法。是探索发现的重要方法。 每个数学问题的解决，都必须每个数学问题的解决，都必须有相应的数学方法。为驱使思有相应的数学方法。为驱使思维持续、创造性的运转，加大维持续、创造性的运转，加大思维的力度，提高思维的能力，思维的力度，提高思维的能力，以便达到思维的敏捷性、灵活以便达到思维的敏捷性、灵活性和独创性，促使学习者在学性和独创性，促使学习者

24、在学习和应用数学知识时，逐步掌习和应用数学知识时，逐步掌握思维的学习方法。握思维的学习方法。3.1 3.1 观察是掌握数学学习方法观察是掌握数学学习方法的先导的先导 观察是人们用视觉直接从被研究对观察是人们用视觉直接从被研究对象获得各种信息，并经过思维加工，象获得各种信息，并经过思维加工，揭示研究对象的某些数学规律的方揭示研究对象的某些数学规律的方法。观察虽然是最原始的方法，但法。观察虽然是最原始的方法，但也是数学研究中使用最普遍的方法，也是数学研究中使用最普遍的方法，是进行数学思维不可缺少的第一步，是进行数学思维不可缺少的第一步，是解题时开拓思路，运用技巧的先是解题时开拓思路，运用技巧的先导

25、。导。 观察时，若不仔细，有时连最简观察时，若不仔细，有时连最简单的问题的解决也难已发现，虽单的问题的解决也难已发现，虽然有些类型的问题有通法可循，然有些类型的问题有通法可循，但做到目的明确，必须认真观察但做到目的明确，必须认真观察进行积极思维，发现可能的规律进行积极思维，发现可能的规律性，并用类比的方法，猜想一般性，并用类比的方法，猜想一般的规律性，并把所发现的规律性的规律性，并把所发现的规律性推广，可走捷径。推广，可走捷径。 3.2 3.2 比较是发现方法的途径比较是发现方法的途径 比较是确定被比较事物之间比较是确定被比较事物之间的共同点和不同点，是数学的共同点和不同点，是数学活动中使用十

26、分广泛的思维活动中使用十分广泛的思维方法。利用比较，分清事物方法。利用比较，分清事物之间的联系和区别以形成清之间的联系和区别以形成清晰、准确的概念。晰、准确的概念。 只有比较，才能发现某种联系只有比较，才能发现某种联系与存在的差别，思考转化的方与存在的差别，思考转化的方法，从而产生将矛盾转化的动法，从而产生将矛盾转化的动机与方法，使问题向着目标一机与方法，使问题向着目标一步步转化，由难到易，由隐到步步转化，由难到易，由隐到明，最终获得解决。明，最终获得解决。3.3 3.3 联想是掌握方法的钥匙联想是掌握方法的钥匙 联想是由一事物想及另一事联想是由一事物想及另一事物的思维方式和过程，是一物的思维

27、方式和过程，是一种活泼、流畅的思维方式。种活泼、流畅的思维方式。联想通常是事物间形式、结联想通常是事物间形式、结构、范围、关系等因素的作构、范围、关系等因素的作用和结果。用和结果。 3.4 3.4 分析与综合分析与综合 有比较，才有鉴别；有分析，有比较，才有鉴别；有分析，才能深入；有综合，才能提高，才能深入；有综合，才能提高，是思维过程的基本环节，并且是思维过程的基本环节，并且总是协同进行的。分析是把事总是协同进行的。分析是把事物的整体分解成各个部分或从物的整体分解成各个部分或从整体中区分出个别特性、个别整体中区分出个别特性、个别方面。方面。 综合是把事物的各个部分或不综合是把事物的各个部分或

28、不同特性，不同方面联合成一个同特性，不同方面联合成一个整体，值得注意的是整体，值得注意的是, ,不要把思不要把思维方法中的分析与综合跟解题维方法中的分析与综合跟解题思路的分析法与综合法相混淆。思路的分析法与综合法相混淆。解题思路的分析法是指由问题解题思路的分析法是指由问题出发推想到已知条件，而综合出发推想到已知条件，而综合法是指从已知条件出发推想到法是指从已知条件出发推想到问题的方法。问题的方法。4.4.良好解题习惯是掌握数良好解题习惯是掌握数学方法的重要认识过程学方法的重要认识过程 如何解决数学问题是一个非常复如何解决数学问题是一个非常复杂的心理过程。思考与解决问题杂的心理过程。思考与解决问题是一个整体的两个侧面，是思考是一个整体的两个侧面，是思考中有解决