函数的定义域与值域

1、第五节函数的定义域与值域归纳知识整合1常见根本初等函数的定义域(1) 分式函数中分母不等于零.(2) 偶次根式函数被开方式大于或等于0.一次函数、二次函数的定义域均为Rx y = a(a 0 且 al), y = sin x, y = cos x，定义域均为 R.y = log ax(a0且a工1)的定义域为(0 ,+ ).ny = tan x的定义域为 x| xm k n +亍,k Z .(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的 制约.2.根本初等函数的值域(1) y = kx + b(kmo )的值域是 R.y = ax + bx+ c( a

2、 mo )的值域是:当a0时，值域为yly k(3) y = x(kmo)的值域是y| ym0.z.(4) y = ax( a0 且 aMi)的值域是y| y0.(5) y = log ax(a0 且 aMl)的值域是 R.(6) y = sin x, y = cos x 的值域是1,1.(7) y = tan x的值域是 R1探究1.假设函数y = f (x)的定义域和值域相同，那么称函数y= f (x)是圆满函数，那么函数y=-；xy = 2x；y=x；y= x2中是圆满函数的有哪几个2.分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系 自测牛刀小试1.(教材习题改编)函数f(x

3、)=的定义域为()x 1A. a, 4 B. 4 ,+ ) C . (a, 4)D. ( a, 1) U (1,4x0x55 x1010 x1515/X + 2) = X + 2(X，那么函数f (X)的值域为 一、选择题(本大题共6小题，每题5分，共30分)1a为实数，那么以下函数中，定义域和值域都有可能是R的是()A. f(x)= x2 + aB.f(x)= ax2 + 1C . f (x)= ax2 + x+ 1D.f(x)= x2+ ax+ 12. 等腰厶ABC周长为10,那么底边长y关于腰长x的函数关系为y = 10-2x，那么函数的定义域为 ( )A. R B . x|x0C .

4、x|0x53. 设M= x| 2 xw2, N= y|0 y0 B . x| x 1 C . x| x 1,或 x0D . x|0 xw 15. 函数y= 2， x2 + 4x的值域是A. 2,2 B . 1,2 C . 0,2D. .2,2 og x + x+ 4, x g x ,U (1 ,+s )U (2 ,+s )二、填空题(本大题共3小题，每题5分，共15分)17函数y= j2的定义域是.寸6 x xx+ 5x + 28. 设 x2, 那么函数 y=的最小值是.x + 19. (2021 -厦门模拟)定义新运算：当a b时，a b= a；当a1)，求a, b的值.11. 设0为坐标原

5、点，给定一个定点A(4,3)，而点B(x, 0)在x轴的正半轴上移动,x长，求函数y = l一的值域.12. 函数 f (x) = x2+ 4ax+ 2a+ 6.(1)假设函数f(x)的值域为0 ,+s )，求a的值；假设函数f (x)的函数值均为非负数，求g(a) = 2 a| a+ 3|的值域.11 以下函数中，与函数y=g有相同定义域的是()1xA. f (x) = In x B f (x) = x C f (x) =|x| D. f (x) = eIn x + 12 函数丫=寸 x2 3x + 4的定义域为()A. 4, - 1)B. ( 4,1) C . ( 1,1) D. ( 1,

6、1f2x3. 假设函数y= f(x)的定义域为0,2，那么函数g(x)=的定义域是()x 1A. 0,1 B. 0,1) C . 0,1) U (1,4D. (0,1)1x4. 函数 f(x) = 3 , x 1,1，函数 g(x) = f (x) 2af(x) + 3 的最小值为 h(a).(1) 求h( a)的解析式；(2) 是否存在实数 m n同时满足以下两个条件：m*n3；当h( a)的定义域为n, m时，值域为n2,吊假设存在，求出 m n的值；假设不存在，请说明理由.11探究1.提示：y =-的定义域和值域都是g, 0 uo,+s，故函数y=-是圆满函数；XXy = 2x的定义域和

7、值域都是 R,故函数y= 2x是圆满函数；y= 5的定义域和值域都是0，+g ,故y= .X是圆满函数；y= x 2 0 x 3,.0 x 9, K x 1 0,x w 4,即x 1工 0,x 丰 1.所以函数的定义域为-g1) U (1,4.2.解析:选D函数值只有四个数2,3,4,5，故值域为234,5.3.解析:选A根据题意得log 121(2 x + 1) 0,即卩 0v 2x+ 1 1，解得一2x0,即卩 x4.又/ y= x2 6x+ 7= (x 3)2 2,二 ymin= (4 3)2 2= 1 2= 1. 其值域为1,+g ). 答案：1,+g )x + 10,例1自主解答(1

8、)X满足x + 1工1,24 x 0,x 1,即x丰0,解得一1x0或0xw 2.2 xw 2.函数y= f (x)的定义域为1,8.答案(1)B(2) 1,8解得2W xw 1或10解得log 6Xw*? o0且x= 号 ,1 1t 0,所以y W 2,故函数的值域是 yly w 2 .1 法二：(单调性法)容易判断函数y= f(x)为增函数，而其定义域应满足 1 2x 0,即XW 21 1 1(3)法一：(根本不等式法4所以yw f 2 = 2,即函数的值域是 ylyw2 .当且仅当x = 2时=成立；当 x0时，x+ x= ( x X) 4,当且仅当x = 2时“=成立.即函数的值域为(

9、一8, 4 U 4 ,+ ).、，4 x2 4、法二：(导数法)f (x) = 1 r= 十.x ( 8, 2)或 x (2 ,+8 )时，f (x)单调递增,x x当 x ( 2,0)或 x (0,2)时，f (x)单调递减.故 x = 2 时，f(x)极大值=f( 2) = 4;x= 2时，f (x)极小值=f(2) = 4. 即函数的值域为(一8, 4 U 4 ,+8 ).解：易知函数y= x f在(8, 0)和(0,+8 )上都是增函数，故函数 y = x 扌的值域为R-2 2 22.解：(1)(配方法)y= x + 2x = (x + 1) 1,v ow x3,1W x+ 14. /

10、 1 (x+ 1) 3,. 0Jw4,x x + 124 4 x x+1311w y1 时，t0, y寸t * 1 = 1,1当且仅当t =-即log 3x = 1, x= 3时，等号成立；当 0x1时，t0,那么对于正数 b, f (x) = ax2+ bx的定义域为 D= x| ax2+ bx0 = m， - U 0 ag)，但f(x)的值域A? 0 ,+s )，故DM a即a0不符合条件； 人假设a0,那么对于正数 b, f(x) = ax2 + bx的定义域 D= 0,-,a由于此时f(X)max= fb b=，故f (x)的值域为0,2a 2 a那么-b=aa0,又x a, b，二a

11、1.那么f(x)= 在a, b上为减函数，x 11 1 1那么 f (a) = a 1 = 1 且 f (b)=匕1 = 3，二 a= 2, b= 4, a+ b= 6. 答案：6易误警示与定义域有关的易错问题x+ 1 2 1 x 0,x 1,典例解析要使函数f(x) = 1 x有意义，贝Ux +1x+ 1工 0,x 工1,函数f (x)的定义域为x|x 1,且x工一1.答案(8, 1) U ( 1,1变式训练1 1 11.解析：选C 令t = f (x)，那么22) . f(t) = (t 2)2+ 2(t 2) = t2 2t(t 2). f(x) = x2 2x( x2) . f (x)

12、 = (x 1)2 1 (2 1)2 1 = 0,即 即 f(x)的值域为0 ,+ ).答案：0 ,+8 )一、选择题(本大题共6小题，每题5分，共30分)1.解析：选C当a= 0时，f (x) = ax2 + x+ 1 = x+1为一次函数，其定义域和值域都是Rx0,2解析：选D由题意知10 2x0,即|x102x,3.解析：选 A A中定义域是2,2，值域为0,2 ; B中定义域为2,0，值域为0,2 ; C不表示函数；D中的值域不是0,2x x 1 0,得 x 1.4解析：选B由10,x5. 解析：选 C / x3+ 4x= (x 2)2+ 4W4, 0W x2 + 4xw 2, 2w

13、x2 + 4xw 0, 0w2 x2+ 4xw 2,. 0w yw 2.2x2;令 xg(x)，即 x x 20,解6. 解析：选D令x0，解得得一K x2,故函数f x2x + x + 2, x2, x2 x 2, 1 w x 2.当 x2 时，函数 f (x) f ( 1) = 2;当一10,即x2+ x 60,故一3x3,那么 y =;= t + + 5,在区间2 ,+ 上此函数为增函数，所以28 28t = 3时，函数取得最小值即ymin =亍答案：x 一 29.解析：由题意知，fx = x32,x 2, 1,x 1, 2.当 x 2,1时，f (x) 4, 1 ; 当10解： f (

14、x) = 2(x 1)2+ a(1,2时，f (x) ( 1,6，故当 x 2,2时，f (x) 4,6.答案：4,6三、解答题本大题共3小题，每题12分，共36分12,.其对称轴为x= 1,即1 , b为f x的单调递增区间.由解得b= 3.f (x)max= f (b) = 2b2 b+ a= b.11.解：依题意有 x0, l (x) = ： x 4 2 + 32 = x2 8x+ 25,所以y =x2 8x + 2518251 +一2x x由于 1 8 + 25 = 25x x1x 254 29+ 25,所以1 8+15 |，故 0 v yw 3 即函数xk的值域是012.解: 2 2

15、(1) 函数的值域为0 ,+s ) , A A = 16a 4(2 a+ 6) = 0? 2a a 3 = 0? a= 1 或 a=32.2 3 2173-g(a) = 2 a| a + 3| = a 3a+ 2 = a+ 2 + 4 a 1,3 319二次函数 g( a)在 1, 2 上单调递减，二 g 2 wg( a) g( 1)，即 g(a) 0时,有意义，因此函数1x的定义域为x|x0 对于A,函数f(x)= In x的定义域为x| x0；对于B,函数f(x)=】的定义域为x|xm0,x R；x对于C,函数f(x) = |x|的定义域为R;对于D,函数f(x) = ex的定义域为R1所以与函数y=&有相同定义域的是f(x) = ln x.x 3x + 402解析：选C由得一1x00W2x w 2,3.解析：选B要使g( x)有意义，那么解得Ow x3时，g(x)的最小值h( a) = 12 6a,28 2a 17 I，aW 3，综上所述，h(a)=3 a2,1当3a3 时，h(a)