甘肃省武威市第一中学2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题

武威一中学年度第一学期期末试卷高一数学一、选择题（4×12＝48，请将答案涂在机读答题卡）1．点(1，－1)到直线y＝x＋1的距离是()．A． B． C． D．2．已知圆的方程为x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么通过圆心的一条直线方程()．A.2x－y－1＝0B.2x－y＋1＝0C3．已知两条平行直线l1:3x＋4y＋5＝0，l2:6x＋by＋c＝0间的距离为3，则b＋c＝()．A．－12 B．48 C．36 4．下列命题中正确的个数是()①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑤平行于同一平面的两直线可以相交．A．1B．2C．35．如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax―By―C＝0不经过的象限是()．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是7．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1A．30°B．45°C．60° D．90°8．一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图(又称主视图)、侧视图(又称左视图)如下图所示，则其俯视图为()9．a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0必过定点()．A． B． C． D．10．过点P(1，2)，且与原点距离最大的直线方程是()．A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0 D．11．如果一个正四面体的体积为9dm3，则其表面积S的值为()．A．18dm2 B．18dm2 C．12dm2 D．12dm212．平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′等于()．A．2∶1 B．3∶1C．3∶2 D．4∶3二、填空题（4×4＝16）13．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A14．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是．15．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则侧面与底面所成二面角的大小为．16．已知两点A（3,2），B（2,1），点Ｐ（x，y）为线段AB上的动点，假设m＝,则m的取值范围为_______．高一数学答题页一、选择题（4×12＝48，请将答案涂在机读答题卡）二、填空题（4×4＝16）13.14..15..16.三、解答题（第19,20,21题均为12分）17．求斜率为，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．（8）(第18题)18．△ABC中，已知C(2，5)，角A的平分线所在的直线方程是y＝x，BC边上高线所在的直线方程是y＝2x－1(第18题)19．如图，在四棱锥PABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．20．当0<a<2时，直线l1：ax－2y＝2a－4与l2：2x＋a2y＝2a2＋4和两坐标轴围成一个四边形，问a取何值时，这个四边形面积最小，并求这个最小值．21.（见背面。）21．如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为．(1)求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；(2)若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；(第21题)DBACOEP(第21题)DBACOEP 答案1.D1.D2.C3.D4.B5.B6.A7.C8.C9.B10.A11.B12.A二13.614.16015.60°16.m≥1或m≤1三．解答题17．解：设所求直线的方程为y＝x＋b，令x＝0，得y＝b；令y＝0，得x＝－b，由已知，得＝6，即b2＝6，解得b＝±3．故所求的直线方程是y＝x±3，即3x－4y±12＝0．18．解：依条件，由解得A(1，1)．(第19题)因为角A的平分线所在的直线方程是y＝x，所以点C(2，5)关于y＝x的对称点C'(5，2)(第19题)AB边所在的直线方程为y－1＝(x－1)，整理得x－4y＋3＝0．又BC边上高线所在的直线方程是y＝2x－1，所以BC边所在的直线的斜率为－．BC边所在的直线的方程是y＝―(x－2)＋5，整理得x＋2y－12＝0．联立x－4y＋3＝0与x＋2y－12＝0，解得B．19．(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PD⊥BC．由∠BCD＝90°，得CD⊥BC．又PD∩DC＝D，PD，DC平面PCD，∴BC⊥平面PCD．∵PC平面PCD，故PC⊥BC．(第18题)(2)解：(方法一)分别取AB，PC的中点E，F，连DE(第18题)则易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D，E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于点E到平面PBC的距离的2倍，由(1)知，BC⊥平面PCD，∴平面PBC⊥平面PCD．∵PD＝DC，PF＝FC，∴DF⊥PC．(第18题)又∴平面PBC∩平面PCD＝PC，∴DF⊥平面(第18题)易知DF＝，故点A到平面PBC的距离等于．(方法二)：连接AC，设点A到平面PBC的距离为h．∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°．由AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1．由PD⊥平面ABCD，及PD＝1，得三棱锥PABC的体积V＝S△ABC·PD＝．∵PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，∴PD⊥DC．又∴PD＝DC＝1，∴PC＝＝．由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝．∵VAPBC＝VPABC，∴S△PBC·h＝V＝，得h＝．故点A到平面PBC的距离等于．20.解：如图，由已知l1：a(x－2)－2(y－2)＝0，l2：2(x－2)＋a2(y－2)＝0.∴l1、l2都过定点(2,2)，且l1的纵截距为2－a，l2的横截距为a2＋2.∴四边形面积S＝eq\f(1,2)×2×(2－a)＋eq\f(1,2)×2×(2＋a2)＝a2－a＋4＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(15,4)，又0<a<2，故当a＝eq\f(1,2)时，Smin＝eq\f(15,4).21．解：(1)取AD中点M，连接MO，PM，MDBACOMDBACOEP(第21题(1))则∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角．∵PO⊥面ABCD，∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．∴tan∠PAO＝．设AB＝a，AO＝a，∴PO＝AO·tan∠POA＝a，tan∠PMO＝＝．∴∠PMO＝60°．(2)连接AE，OE，∵OE∥PD，MDBACMDBACOEP(第21题(2))∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE平面PBD，∴AO⊥OE．∵OE＝PD＝＝a，∴tan∠AEO＝＝．(3)延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．MDBACOEP