【课件】5.3.1 函数的单调性2-新教材人教A选择性必修第二册第5章课件

1、5.3.1函数的单调性与导数(二)学习目标1.会利用导数证明一些简单的不等式问题.2.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学1.函数的单调性与其导数正负的关系函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)：f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0单调递_f(x)0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.导数的绝对值函数值变化函数的图象越大_比较“ ”(向上或向下)越小_比较“ ”(向上或向下)2.函数图象的变

2、化趋势与导数值大小的关系函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数yf(x)，在区间(a，b)上快慢陡峭平缓3.利用导数解决单调性问题需要注意的问题利用导数解决单调性问题需要注意的问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点.(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开.1.如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性.()2.函数

3、在某区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大.()思考辨析 判断正误题型探究类型一利用导数求参数的取值范围例例1若函数f(x)kxln x在区间(1，)上单调递增，则k的取值范围是_.解析答案1，)即k的取值范围为1，).引申探究引申探究1.若将本例中条件递增改为递减，求k的取值范围.解答又f(x)在(1，)上单调递减，即k的取值范围为(，0.2.若将本例中条件递增改为不单调，求k的取值范围.解答解解f(x)kxln x的定义域为(0，)，k的取值范围是(0,1).当k0时，f(x)0(或f(x)1，即a2时，函数f(x)在(，1)和(a1，)上单调递增，在(1，a1)上单调递减，由

4、题意知(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)，所以4a16，即5a7.故实数a的取值范围为5,7.方法方法二二(数形结合法)如图所示，f(x)(x1)x(a1).因为在(1,4)内，f(x)0，在(6，)内f(x)0，且f(x)0有一根为1，所以另一根在4,6上.故实数a的取值范围为5,7.方法三方法三(转化为不等式的恒成立问题)f(x)x2axa1.因为f(x)在(1,4)上单调递减，所以f(x)0在(1,4)上恒成立.即a(x1)x21在(1,4)上恒成立，所以ax1，因为2x17，所以当a7时，f(x)0在(6，)上恒成立.综上知5a7.故实数a的取值范围为5,7.例例2证明exx1

5、sin x1(x0).证明证明令f(x)exx1(x0)，则f(x)ex10，f(x)在0，)上单调递增，对任意x0，)，有f(x)f(0)，而f(0)0，f(x)0，即exx1，令g(x)xsin x(x0)，g(x)1cos x0，g(x)g(0)，即xsin x0，x1sin x1(x0)，综上，exx1sin x1.类型二证明不等式证明反思与感悟反思与感悟用导数证明不等式f(x)g(x)的一般步骤(1)构造函数F(x)f(x)g(x)，xa，b.(2)证明F(x)f(x)g(x)0，且F(a)0.(3)依(2)知函数F(x)f(x)g(x)在a，b上是单调递增函数，故f(x)g(x)0，即f(x)g(x).这是因为F(x)为单调递增函数，所以F(x)F(a)0，即f(x)g(x)f(a)g(a)0.证明当x1时，f(x)0，则f(x)在(1，)内是增函数.当x0时，f(x)f(0)0.达标检测1.已知命题p：对任意x(a，b)，有f(x)0，q：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12345答案123452.已知对任意实数x，都有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且当x0时，f(x)0，g(x)0，则当x0，g(x)0 B.f(x)0，g(x)0C.f(