(浙江专用)高考数学二轮复习专题四解析几何第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题课件

1、锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题高考定位 圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之 一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一,一般以椭圆或抛 物线为背景，试题难度较大,对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求.真题感晤考点整合真题感悟明考向孟罷扣要点(2018北京卷)己知抛物线C：寸=2卩%经过点P(l, 2).过点0(0, 1)的直线/与抛物 线C有两个不同的交点A, B,且直线交y轴于M,直线交y轴于N.(1) 求直线/的斜率的取值范围；(2) 设。为原点，QM=QO, QN=/dQO,求证：士+*为定值.解(1)因为抛物线护=22过点(1，2),所以2

2、p=4,即p = 2. 故抛物线C的方程为护=4%.由题意知，直线伯勺斜率存在且不为0.设直线Z的方程为丁=也+ 1伙北0)于=4兀， y=kx+i得 lcx-(2k4)x+1 0.依题意 / =(2k4)24xQxl0，解得 k0,8mk3十4於3 （zn24Z?） 3+4Z?4（/ 3）/. y 12 = （3 + 加）伙兀2 + 加）=疋兀2 + mk（X +%2）+ 加2 =椭圆的右顶点为A2(2, 0), AA2BA2, (jq 2)(吃一2)+刃力=0，力乃+心比一2(% 1 +兀2)+4 = 0，3 茫尸+铲F +勰+4f 曲+16诫+40,解得严2k2k, m2=-y.由 zl

3、0,得 3+42血20,m 2k时，/的方程为y = k（x2）,旦线过定点（2，0），与L_1知矛盾. 当m2=y时，/的方程为y=lx直线过定点弓，0 ,且满足，（2 ）直线/过定点，定点坐标为片0.探究提高（1）动直线/过定点问题解法：设动直线方程（斜率存在）为y = kx + t, 由题设条件将f用k表示为/二认,得y二k（x +肌）,故动直线过定点（-m , 0）.（2）动 曲线C过定点问题解法：引入参变量建立曲线C的方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点.考法2定值的探究与证明【例1一2】(2018金丽衢联考)已知O为坐标原点，直线/： x=my + b与抛物线E：

4、 / = 2x(p0)相交于儿B两点.(1)当 b = 2p 时，求当b = 3时，设点C的坐标为(一3, 0),记直线CA, CB的斜率分别为 k,上2,证明：p+p2/n2为定值.1解设A（xp刃），Bg，2），联立方程消元得 2mpy_2pb = 0, 所以 yi+y2 = 2p, yy2=2pb./ 2当 b=2p 时，力力=4#2,兀仏2= =4/?2,所以dA-dB=xxx2Jryxy2=p1 4/?=0（2）证明 当 p=q且 b = 3 时，yi+y2=加，yyi = 3.因为k=刃%i + 3刃myi+6?k =乃_ 力2 七+3加y 2+611)f6、2 .6加+m+l刃丿

5、b0)的离心率为冷-，A(ti, 0), B(0, b),0(0, 0), AO AB 的面积为 1.(1) 求椭圆C的方程；(2) 设F是椭圆C上一点，直线与y轴交于点M,直线与兀轴交于点N.求 证:AN-BMJ定值.解 由已知+=，苏b=l.又 6Z2 = Z?2 + c2,解得 6Z = 2, b=l, C=j32椭圆方程为予+员=1.(2)证明 由知 A(2, 0), B(0, 1).2设椭圆上一点P(x(),为)，则晋+yo = 1 当0黑0时，直线M方程为y=2),令x=0得yMXo 2兀0 乙从而IBMI = I1 弘1= 1 + xq2 .直线方程为x+1.Xn令 y0 得 x

6、n=1.yo1 AN = 2-xn =xo+2y（）2x022+y。1x0+2y02为1呼+4垃+4无0为一4xo8yo+4x0y0x02y0+24xoy o4x08y o+8砂0一兀0一2刃）+2=4.当兀o=O 时,yo= l，IBMI=2，L4NI = 2,所以ANABM=4.故VMBMI为定值.热点二最值与范围问题 考法1求线段长度、面积(比值)的最值【例21】(2018-湖州调硏)已知抛物线C： y2=4x的焦点为F,直线 /： y = kx4(lkrL、Erl !8E + 416ix A(x yj，B(%2，2)，则 兀i+a?2=2,兀 1兀2=疋，(5 J2 J所以二弓：:71

7、 )一 123,=7+72=27+1 z 2 -, 6 .k丿由于詐牆瓷由可知泊4亠+亠3+小2乍2、2 A %2 兀 1X1X2k2 +4) 2 1?-2 = +2” 2Wk丿r1716,諾得4因为0fz0,解得詈4或詐土SiS2、4，由暫+欝7得，心2心12-7-10,解得申V詐呼，又詐1,所以屮/?0)的离心率为申，且/过点1,(1)求椭圆C的方程；3设与圆6 %2+/=4相切的直线/交椭圆C与人B两点，求Q4B面积的最大值，及取得最大值时直线/的方程.解由题意可得_a/6a 3 、/ =戻 +(2,2解得/ = 3,戾=1, 奇+亍二.（2）当R不存在时，直线为x= j，代入奇+天=1

8、,得歹=， SqAB =当比存在时，设直线为y = kx+m, A（xp刃），Bg 旳），联立方程得J kx +171、消 y 得(1H-3A;2)%2 + 6kmx3m23 0,I 6km3m 3AX1+%2=1 + 3P，%1X2=T+3F，直线/与O相切d=r 4 加 2 = 3(1+/?), AB = a/1+P 6km212 (m21)、1 +3戌1 3k21 + 6k2+9 k44T筛 1 + 1+6以+狄W2.当且仅当右=9心即比=时等号成立, 2， 、你 SzioAB=3SBIx厂Wx2x 2 =r 、疗AOAB t积的最大值为冷/3km = = 1,此时直线方程为y=土寻1.

9、考法2求几何量、某个参数的取值范围【例2-2已知椭圆E：的焦点在%轴上M是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于4, M两点，点N在E上，M4丄M4.(1)当 AM = AN时，求4MN 的面积； 当2L4MUL4NI时，求k的取值范围.解 设M(Xl,刃)，则由题意知刃0.2 2当尸4时，E的方程为+十=1，A(-2, 0).JTiAM = AN及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为才因此直线AM的方程为y=x+22 2将x=y2代入才+普=1得7于一12y=0,、 I?I?解得y=0或y=所以刃=_1 12 12144因此 AMN 的面积 SAMN=2x2xyxy=_492 2(2)由题意

10、/3, k0,0),将直线AM的方程y=k(x-t)代入+葺=1得(3+ tx + 2“ 仏2x+以2 一 3f=o亠厂 #比2_3匚冃 t (3_力)由斤(一劭=祁辽侍兀=齐乔, 故AM = lxi+ 701 + 0=E扌；). 由题设，直线AN的方程为=*(%+/),6kyt (1+2)側= 3Z故同理可得即伙 3 2=3k(2k1)，3Qk (?k 1 )当k=/2时上式不成立，因此f= 戸二t3等价于3 2k2-k2疋_2由此得k一20, W 20,(2)(以+1)0,k? 即严V0.仏_20,3解得 y2k0)的左焦点为F(c, 0),、斤h2离心率为于，点M在椭圆上且位于第一象限，

11、直线FM被圆/+丁2=才截得的线 段的长为c, FM=.(1) 求直线FM的斜率；(2) 求椭圆的方程；(3) 设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于迈，求直线OP(O为原点)的斜率的 取值范围.解（1）由已知，有%=|,又由 a2 = b2-c2,可得 a2 = 3c2f b2 = 2c2.设直线FM的斜率为心0), F(c, 0),则直线的方程为y = g+c).，解得k=警.1,直线FM的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去 y,整理得 3x2+2cx5c2=0,解得 x=|c,或 x=c.=1得尸卄I即=心+1)0#1)，与椭圆方程联立因为点M在第一象限，可得M的坐标为c,斗2 2

12、解得C=l,所以椭圆的方程为专+计(3)设点P的坐标为(丽y),直线FF的斜率为匚y=t （兀+1）,消去 y，整理得 2x2 + 3?2（x+ lf = 6,又由己知，得尸、3 (卄1) 2型，3、解得一VxV 1,或一1 VxVO. 设直线OF的斜率为加，得加=三，X79即j = mx(x0),与椭圆方程联立，整理得m2=23?2当兀丘一1时，有y = t(x-1)0,于是m=壬_卞得 当xe(-l, 0)时，有丁 =心+1)0因此m0,于是得加W综上，直线OP的斜率的取值范围是一oo,鑿鑿鑿探规律pIBllJjgiI 纳总结丨思维升华I i解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握:（1）从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；（2）直接推理、计算，在整 个过程中消去变量，得定值；（3）在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数 的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标.2.锥曲线的范围问题的常见求法(1) 几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质 来解决；(2) 代数法：若题目的条件和结论能体