初三数学课堂讲义新二次函数的符号问题(新人教版).

1、知识点一：知识点一：抛物线抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：的符号问题：开口向上开口向上a0开口向下开口向下a0交点在交点在x轴下方轴下方c0与与x轴有一个交点轴有一个交点b2-4ac=0与与x轴无交点轴无交点b2-4ac0, b0, 0.练习练习2、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的符号：、的符号：xyo a0, b0, c=0, 0.练习练习3、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的符号：、的符号：xyo a0, b0, 0.练习练习4、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试

2、确定a、b、c、的符号：、的符号：xyo a0, b=0, c0, =0.练习练习5、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的符号：、的符号：xyo a0, b=0, c=0, =0.练习练习6、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定如图所示，试确定a、b、c、的符号：、的符号：xyo a0, c0, 0.练习练习7、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所的图象如图所示，则点示，则点M（ ，a）在）在 （ ）A、第一象限、第一象限 B、第二象限、第二象限 C、第三象限、第三象限 D、第四象限、第四象限 cbxoy a0

3、, c0,D练习练习8、已知：一次函数、已知：一次函数y=ax+c与二次函数与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图，它们在同一坐标系中的大致图象是图中的（象是图中的（ ）xyoxyoxyoxyo（A）（B）（C）（D）C练习练习9、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所的图象如图所示，下列结论中：示，下列结论中：abc0；b=2a；a+b+c0；a+b-c0; a-b+c0正确的正确的个数是个数是 （ ）A、2个个 B、3个个C、4个个 D、5个个xoy-11C练习练习11、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所的图象如图所示

4、，下列结论中下不正确的是示，下列结论中下不正确的是 （ ）A、abc0 B、b2-4ac0C、2a+b0 D、4a-2b+c0 xoy-1-11 1D练习练习1.抛物线抛物线y=ax2+bx+c在在x轴轴上方的条件是什么？上方的条件是什么？x0402acba变式：变式：不论不论x取何值时，函数取何值时，函数y=ax2+bx+c（a0）的值永远是正值的条件）的值永远是正值的条件是什么？是什么？你知道吗？你知道吗？不论不论x x取何值时，函数取何值时，函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的值永远是非）的值永远是非负数的条件是什么？负数的条件是什么？知识点二：知识点二：x知识点

5、二：知识点二：2、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c在在x轴下方的条轴下方的条 件是什么？件是什么？0402acba变式：变式：不论不论x取何值时，函数取何值时，函数y=ax2+bx+c（a0）的值永远是负值的条件）的值永远是负值的条件是什么？是什么？你知道吗？你知道吗？不论不论x x取何值时，函数取何值时，函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c（a0a0）的值永远是非）的值永远是非正数的条件是什么？正数的条件是什么？（三）知识升华（三）知识升华抛物线位置与系数抛物线位置与系数a，b，c的关系：的关系：a决定抛物线的开口方向：决定抛物线的开口方向： a0 开口向上开口向上 a0 开口向

6、下开口向下 c决定抛物线与决定抛物线与y轴交点的位置：轴交点的位置： c0 图象与图象与y轴交点在轴交点在x轴上方；轴上方； c=0 图象过原点；图象过原点； c0 图象与图象与y轴交点在轴交点在x轴下方。轴下方。 a，b决定抛物线对称轴的位置决定抛物线对称轴的位置:(对称轴是直线对称轴是直线x = ） ab2 a，b同号对称轴在同号对称轴在y轴左侧；轴左侧； b=0 对称轴是对称轴是y轴；轴； a，b异号对称轴在异号对称轴在y轴右侧轴右侧 顶点坐标是（顶点坐标是（ ， ）。）。 ab2abac442=b2-4ac决定抛物线与决定抛物线与x轴交点情况：轴交点情况： 0抛物线与抛物线与x轴有两个

7、交点；轴有两个交点； 0抛物线与抛物线与x轴有唯一的公式点；轴有唯一的公式点； 0抛物线与抛物线与x轴无交点。轴无交点。二次函数的最大、最小值由二次函数的最大、最小值由a决定。决定。 例例2、已知函数、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示，的图象如下图所示，x= 为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数为该图象的对称轴，根据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？的一些什么结论？ -1 0 1 x31 y 31【分析与参考答案分析与参考答案】首先观察到二次函数的图象为抛首先观察到二次函数的图象为抛物线，其对称轴为直线物线，其对称轴为直线x= ，抛物，抛物线与线与

8、x轴有两个交点，交点的横坐标轴有两个交点，交点的横坐标其一大于其一大于1，另一个介于，另一个介于-1与与0之间，之间，抛物线开口向上，顶点的纵坐标及抛物线开口向上，顶点的纵坐标及抛物线与抛物线与y轴的交点的纵坐标均介于轴的交点的纵坐标均介于-1与与0之间，由此可得如下结论：之间，由此可得如下结论：a0;-1c0; b2-4ac0; ,2a=-3b; 312ab由，由，(4)得得b0; 由由,得得abc0; 考虑考虑x = 1时时y0，所以有，所以有a+b+c0; 又又x = -1时时y0，所以有，所以有a-b+c0; 考虑顶点的纵坐标，有考虑顶点的纵坐标，有0c- -1。 ab4231-11.

9、(天津天津)已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c， 且且a0,a-b+c0,则一定有则一定有( ) A.b2-4ac0 B. b2-4ac=0 C.b2-4ac0 D. b2-4ac0二、典型例题分析二、典型例题分析A A2.(2.(重庆重庆) )二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图的图 像如图所示，则点像如图所示，则点M M（b,c/a)b,c/a)在在 ( )( ) A. A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限 D. D. 第四象限第四象限D D-1a 0,c 03.(河北省河北省)在同一直角坐标系中，一次函数在同一直角坐

10、标系中，一次函数y=ax+c和二次函数和二次函数y=ax2+c的图像大致为的图像大致为 ( )B4.(山西省山西省)二次函数二次函数y=x2+bx+c 的图像如图所示，则函数值的图像如图所示，则函数值 y0时，对应的时，对应的x取值范围取值范围 是是 .-3x1.-3-3-3-35、已知二次函数、已知二次函数y=ax2+bx+c的的 图像如图所示，下列结论：图像如图所示，下列结论： a+b+c0，a-b+c0； abc0；b=2a 中正确个数为中正确个数为 ( ) A.4个个 B.3个个 C.2个个 D.1个个A6、无论、无论m为任何实数，二次函数为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m

11、 的图像总是过点的图像总是过点 ( ) A.(1，3) B.(1，0) C.(-1，3) D.(-1，0)C当当x= 1x= 1时时,y=a+b+c,y=a+b+c当当x=-1x=-1时时,y=a-b+c,y=a-b+ca 0,b 0 x=- b/2a=-1D7.(7.(安徽安徽)二次函数二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图，则下列的图像如图，则下列a、b、 c间的关系判断正确的是间的关系判断正确的是( ) A.ab 0 B.bc 0 D.a-b+c 0bx+a0的的 解为解为 ( ) ( ) A.x a/b B.x -a/b A.x a/b B.x -a/b C.x a/b D.x -a

12、/b C.x a/b D.x -a/b Da 0,b 0,c 0a 0,b 09.9.已知二次函数已知二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图像如图所示，的图像如图所示， 那么下列判断不正确的有那么下列判断不正确的有( )( ) A.abc A.abc0 B. b0 B. b2 2-4ac-4ac0 0 C.2a+b C.2a+b0 D.4a-2b+c0 D.4a-2b+c0 0DX= - b/2a1X= - b/2a1-b2a-b2a2a+b2a+b0 0 当当x=-2x=-2时时, ,y=4a-2b+cy=4a-2b+c0 0D10、若抛物线、若抛物线y=ax2+3x+1与与

13、x轴有两轴有两 个交点，则个交点，则a的取值范围是的取值范围是 ( ) A.a0 B.a- 4/9 C.a 9/4 D.a9/4且且a011.某幢建筑物，从某幢建筑物，从10米高的窗口米高的窗口A用水管向用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面抛物线所在平面与墙面垂直，如图所示与墙面垂直，如图所示).如果抛物线的最高点如果抛物线的最高点M离墙离墙1米，离地面米，离地面40/3米，则水流落地点米，则水流落地点B离墙离墙的距离的距离OB是是 ( ) A.2米米 B.3米米 C.4米米 D.5米米BO O抛物线顶点抛物线顶点M（1,40/3) 与与y轴交点轴交点A

14、(0.10) 求得抛物线解析式求得抛物线解析式;求出抛物线与求出抛物线与x轴的交点轴的交点;1、(青海省青海省)如图所示，已知抛物线如图所示，已知抛物线 y=-x2+bx+c与与x轴的两个交点分别为轴的两个交点分别为A(x1,0)， B(x2，0)，且，且x1+x2=4，x1x2=3，(1)求此抛物线的解析式；求此抛物线的解析式；(2)设此抛物线与设此抛物线与y轴的交点为轴的交点为C，过点，过点B、C作作直线，求此直线的解析式；直线，求此直线的解析式；(3)求求ABC的面积的面积.(1)y= -x2+4x-3 (2) y= x-3 (3) 3 三、综合应用三、综合应用 能力提升能力提升2、已知

15、、已知;二次函数二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1).(1)求证求证:不论不论m为何值时为何值时,函数的图像与函数的图像与x轴总轴总有交点有交点,并指出并指出m为何值时为何值时,只有一个交点；只有一个交点；(2)当当m为何值时为何值时,函数图像过原点函数图像过原点,并指出此时并指出此时函数图像与函数图像与x轴的另一个交点；轴的另一个交点；(3)若函数图像的顶点在第四象限若函数图像的顶点在第四象限,求求m的取值的取值范围范围.(2)另一个交点坐标为另一个交点坐标为(1，0) (3)当当m-1且且m3时时,抛物线的顶点在第四象限抛物线的顶点在第四象限 .30. 0,) 3() 1(24) 1() 1 (22轴只有一个交点抛物线与时，时，即轴总有交点，且当抛物线与为何值时，无论xmxmmmm抛物线抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：的符号问题：（1）a的符号：的符号：由抛物线的开口方向确定由抛物线的开口方向确定（2）C的符号：的符号