学而思季素质123班难题汇总(至第10讲[1]...)

1、学而思2012年秋季素质123班难题汇总开篇语学而思2012年秋季课程，在北京市jw大禁奥数与升学挂钩的政策下，一如既往地如期开始了。无论大背景如何，数学思维方法的训练还是必要的，让我们这些对数学有着浓厚兴趣的家长，与孩子们一起继续学习。知识靠积累，学习靠兴趣，只有热爱，才能学好，给孩子做引路人，让孩子坦然前行。声明：本文档仅收录各讲有难度题目，并对题目进行解析。文档未对各讲内容进行汇总和分析，各讲内容的总结和剖析可以参见学而思老师的相关文档。如您对难题感兴趣，可以参阅本文档。第一讲 循环小数与分数分数是一定可以化成小数的，小数不一定都可以化成分数，无限不循环小数不能化成分数。小数化分数的目的

2、：是为了计算，主要是为了乘除的计算。尤其循环小数的乘除，小数不化成分数，几乎无法计算。（一） 分数化小数分数是一定可以化成小数的，分数可以化成如下3类小数：(1) 有限小数(2) 无限纯循环小数(3) 无限混循环小数分数化小数，化成哪一类？判断方法如下：先将分数化成最简分数，再看分母：a、分母只有因子2或5有限小数b、分母没有因子2和5无限纯循环小数c、分母有因子2和5，还有其他因子无限混循环小数分数化小数的方法分数化小数的方法：除。相除后，要么得到有限小数，要么得到循环小数(找到循环节)。特殊的地方是：如果分数的分母可以表示成都是数字9，就可以转换成无限纯循环小数；如果分数的分母可以表示成“

3、左边连续的数字9右边连续的数字0”，就可以转换成无限混循环小数。这2种情况，是有计算方法的。例如：13/99=0.，113/990=0.1。（二） 小数化分数有限小数、无限纯循环小数、无限混循环小数，可以化成分数，无限不循环小数不能化成分数。 有限小数化分数a、分母：1加几个0做分母(0的个数与小数的位数相同)b、分子：小数部分c、化为最简 无限纯循环小数化分数a、分母：全是9，9的个数与循环节的位数相同b、分子：循环节c、化为最简 无限混循环小数化分数a、分母：9和0，9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同b、分子：“第2个循环节以前的小数部分的数字组成的数”-“不循环部

4、分的数字组成的数”c、化为最简11、【例4的补充】将99个分数、化成小数，问：其中混循环小数有多少个？【难度级别】【解题思路】先要搞清楚如何判断：有限小数(分母只有2、5)、无限纯循环小数(分母无2、5)、无限混循环小数(分母有2、5和其他)。分母有2的：50个，分母有5的：20个，既有2又有5的：10个，所以分母有2或5的共有：50+20-1060(个)。这60个包括：有限小数、无限混循环小数。有限小数：只有2的：2、4、8、16、32、64共6个，只有5的：5、25共2个，既有2又有5的：10、20、40、50、80、100共6个，合计：14个。所以无限混循环小数有：601446(个)。【

5、答案】46。12、【例5的第2问】将循环小数0.2与0.7967相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少？【难度级别】【解题思路】先化成分数，相乘，分子分母约分，再化成小数。0.20.7967=0.0485。004856六个数字循环，1006164，第100位是8，后面的5四舍五入进1，进位后第100位(近似值的最后一位)是9。【答案】9。13、【例6的补充】真分数化成小数后，从小数点后第一位数字起连续若干个数字之和为1992，求的值。【难度级别】【解题思路】化成小数很神奇，都是有142857这六个数字组成，并循环的，而且六个数字从左到右的相对顺序位置是不变的。0.

6、4285，0.8571，0.2857，0.7142，0.1428，0.5714。六个数字的数字和：1+4+2+8+5+727。1992277321，27216，最后一个不完整的周期中的数字和是21，说明后面缺6，观察以上6个数，的后面的4+26，所以6。和为1992的最后一个数字是第673+4442(位)。【答案】6。14、【例6】已知真分数化成小数后，从小数点后第一位数字起连续若干个数字之和为1999，求的值。【难度级别】【解题思路】方法一为本人提供，方法二是老师提供的。方法一，化成小数，循环节都是6位。0.7692，0.3076，0.0769，0.9230，0.6923，0.2307，0.

7、5384，0.8461，0.6153，0.3846，0.1538，0.4615。根据组成循环节的6个数字是否相同，找规律：1、3、4、9、10、12相同，2、5、6、7、8、11相同。数字和：0+7+6+9+2+327；数字和：1+5+3+8+4+627。199927741，最后一个不完整的周期中的数字和是1，观察以上12个数，在一个周期内前几位的数字和为1的只有0.153846，即：，2。方法二，通过代数方法证明数字和为27。=77999，999|，999|(+)，+=999（等于999的2倍不可能）。由+=999得到：c+f=9，b+e=9，a+d=9，并且都没有进位，所以：a+b+c+d

8、+e+f=93=27。199927741，最后一个不完整的周期中的数字和是1。当=1时，a=0；当=2时，a=1；当2时，a1。真分数为，=2。【答案】2。15、【例8】我们把由数字0和7组成的小数叫做“特殊数”，例如7.0、77.007都是“特殊数”。如果我们将1写成若干个特殊数的和，最少要写成多少个？【难度级别】【解题思路】将7除以7变成1。若干个特殊数的和写成1，说明这样的特殊数都是小于1的。假设：a1+a2+an1，则 (a1+a2+an)/70.4285。除以7后，每个数位上要么是0要么是1，4285中的8至少要有8个1相加才可以得到，所以1最少要写成8个特殊数的和。构造如下：十分位

9、百分位千分位万分位十万分位百万分位(1)111111(2)11111(3)1111(4)1111(5)111(6)11(7)11(8)1求和142857a10.7777，a20.7777，a30.7077，a40.7077，a50.0077，a60.0070，a70.0070，a80.0070。【答案】8。16、【学案3】和化成循环小数后第100位上的数字之和是_。【难度级别】【解题思路】用到：20097287，20027286，10.。，+10.。每一个小数位都是数字9。证明一下10.：a0.，10a9.，10a-a9.-0.，9a9，a1。【答案】9。17、【学案4】图中圆周上的10个数，

10、按顺时针次序可以组成许多整数部分是一位的循环小数(10个数字恰好各用一次)，例如：1.8929592。问：在所有这种数中最大的是几？【难度级别】【解题思路】最大肯定整数部分是9，9.29.1，看2个9.2的。9.2915929189.291892915，后者大。小数部分291892915是不变的了，5肯定是循环节的最后一位，5后面显然以9开始最大，9291，以92为循环节的开始，循环节为92915。最大数为：9.2918291。【答案】9.2918291。18、【作业6】给小数0.7082169453添上表示循环节的两个点，使其变成循环小数。已知小数点后第100位上的数字是5，求这个循环小数。

11、【难度级别】【解题思路】3是循环节的末位。1001090。循环节有10个数字，7开始3结束，901090，第100位为3；循环节有9个数字，0开始3结束，909100，第100位为3；循环节有8个数字，8开始3结束，908112，第100位为2；循环节有7个数字，2开始3结束，907126，第100位为5；循环节有6个数字，1开始3结束，906150，第100位为3；循环节有5个数字，6开始3结束，905180，第100位为3；循环节有4个数字，9开始3结束，904222，第100位为4；循环节有3个数字，4开始3结束，903300，第100位为3；循环节有2个数字，5开始3结束，902450

12、，第100位为3。所以，这个循环小数是：0.70816945。【答案】0.70816945。19、【作业7】纯循环小数0.b写成最简分数时，分子与分母之和是58，请你写出这个循环小数。【难度级别】【解题思路】0.b；99933371。大家还记得约数个数定理吗？(3+1)(1+1)8。999小于58的约数有5个：1、3、9、27、37；其他3个约数大于58（337、937、2737）。分子分母约分后，剩余的也是约数，最简分数分母只能是37。因为如果分母是：1、3、9、27，则58减去分母后差比分母大（差为分子），与题目给的纯小数矛盾。分子为：583721。这个循环小数为：。【答案】0.6。第二讲

13、 因数与倍数（一）（一） 最大公因数 短除法：出现互质就停（有就停、不是都互质），乘一边； 分解质因数：你有我也有（公共质因子、取最低次）； 辗转相除法：不断“除数余数”，除到余0看除数。（二） 最小公倍数 短除法：两两互质才停，乘半圈； 分解质因数：大家有才是真的有（所有质因子、全取最高次）。（三） 分数的最大公因数、最小公倍数的求法分数的求法：子同母反。即：求最大公因数，分子的最大公因数分母的最小公倍数；求最小公倍数，分子的最小公倍数分母的最大公因数。（四） 因数的找法因数总是成对出现的，一个自然数的每一对因数之积都等于这个自然数本身，如：60160230320415512610。21、【

14、例7】有甲、乙、丙三个人在操场跑道上步行，甲每分钟走80米，乙每分钟走120米，丙每分钟走70米。已知操场跑道周长为400米，如果三个人同时同向从同一地点出发，问几分钟后，三个人首次同时回到出发点？【难度级别】【解题思路】提供两种方法。方法一，追及时间+最小公倍数。乙追上甲一次需要的时间：400(120-80)=10(分钟)；乙追上丙一次需要的时间：400(120-70)=8(分钟)；10,8=40，40为最小公倍数，说明乙40分钟可以同时追上甲和丙。看看追上的地点是否是出发点？如果不是再看80分钟。40120480012400，是周长400米的整数倍，地点是在出发点。方法二，走一圈时间+分数

15、的最小公倍数。每人走一圈需要的时间：5，。,40。【答案】40分钟。22、【例3】现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公因数中，最大的可以是多少？【难度级别】【解题思路】设公因数为x，设三个自然数为ax、bx、cx，则有：ax+bx+cx=1111。(a+b+c)x=1111=11101，x最大值为101。构造：a+b+c=11,a=2,b=3,c=6,三个自然数：202、303、606。【答案】101。23、【例1】如果你写出12的所有因数，1和12除外，你会发现最大的因数是最小的3倍。现有一个整数n，除掉它的因数1和n外，剩余的因数中，最大因数是最小因数的15倍，那么满足

16、条件的整数n有哪些？【难度级别】【解题思路】设除1和n外剩余因数中最小为x，则最大为15x。因数成对出现，n1n，nx15x35x2。n的因数中有3，所以1x3(因为x是除1以外的最小因数)。x2，15x30，n23060；x3，15x45，n345135。当然此题也可以尝试，尝试2、3、5，尝试到5时就不可以了。【答案】60、135。24、【例8】甲乙两数的最小公倍数是90，乙丙两数的最小公倍数是105，甲丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少？【难度级别】【解题思路】标准分解质因数。甲,乙902325；看出，丙独有7；乙,丙105357；看出，甲独有2；甲,丙1262327；看出，乙独

17、有5；因为乙,丙只有1个3，所以甲有2个3，甲23218。乙和丙有1个3，所以：乙为5或53，丙为7或73，可以有3种组合：、（不能是因为这个组合没有3）。【答案】18。25、【例4】n为自然数，且n+1、n+2、n+9与690都有大于1的公因数。n的最小值为。【难度级别】【解题思路】对690分解质因数，69023523。方法一，理论求解。9个连续的自然数有两种可能的情况：5奇4偶、4奇5偶。(1) 5奇4偶4个偶数都有公因数2。5个奇数：最多有2个3的倍数、最多有1个5的倍数、最多有1个23的倍数，那么另外1个奇数与690无公因数。此种情况，舍弃。(2) 4奇5偶5个偶数都有公因数2，n+1

18、为偶数。n+2、n+4、n+6、n+8为奇数。n+2与n+8相差6，3的倍数有2个就是n+2和n+8。n+4与n+6一个是5的倍数一个是23的倍数，相邻奇数1个是5的倍数1个是23的倍数，最小的是23和25，n+423，n19。验证这4个奇数：21、23、25、27，21和27是3个倍数、25是5的倍数、23是23的倍数，满足题意。方法2，估算。因为69023523，所以猜想这9个连续的自然数必然在23附近，比23小的距离23最近的质数是19，比23大的距离23最近的质数是29，在19和29之间恰好有2028九个自然数，而这9个自然数满足题意：5个偶数与690有公因数2，21、27与690有公

19、因数3，25与690有公因数5，23与690有公因数23。【答案】19。26、【学案2】用16这六个数字可以组成720个没有重复数字的六位数，求这些数的最大公因数。【难度级别】【解题思路】1+2+3+4+5+6=21，21是3的倍数，所以这些数都能被3整除。因此，最大公因数必须是3的倍数，设为3k。而在这些数中，差最小的是9，最大公因数3k必须是这个差9的约数，所以最大公因数只能是3。因为：如果是6，这些数有奇数不是6的倍数；如果是9，这些数的数字和21不是9的倍数这些数不能被9整除。【答案】3。27、【学案4】鼹鼠和老鼠分别从长157米的小路两端a、b开始向另一端挖洞。老鼠对鼹鼠说：“你挖完

20、后，我再挖。”这样一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好也是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖_个洞。（鼹鼠每隔3米挖1个洞，老鼠每隔5米挖1个洞）【难度级别】【解题思路】从a往b看，鼹鼠3米3米往前挖，老鼠：1575312，老鼠与a距离2米时是第1个洞。第1次重叠的洞是：2+5+512米，1234，也就是老鼠挖的第3个洞与鼹鼠挖的第5个洞重叠（从a往b看）。3,515，15712145，14515910，又重叠了9个洞。9+110。【答案】10。28、【作业2】用19这九个数字可以组成362880个没有重复数字的九位数，求这些数的最大公因数。【难度级别】【解题思路】1+2+9=45，45是9的倍数，

21、所以这些数都能被9整除。因此，最大公因数必须是9的倍数。而在这些数中，差最小的是9，最大公因数必须是这个差9的约数，所以最大公因数就是9。【答案】9。29、【作业8】七个连续自然数之和既是5的倍数，也是9的倍数，求七个数中最大数的最小值。【难度级别】【解题思路】5945，和为：45k(k1)。中间数：，因为45和7除了1以外没有公约数，所以k必须是7的倍数，k的最小值为1，此时，中间数为：45，七个数之和为：457315，最大数为45+348。【答案】48。2a、【作业答案】(1)40，8、6、5 (2)9 (3)91(4)517 (5)10 (6)7 (7)24 (8)48第三讲 三角形中的

22、模型（一）（一） 鸟头定理(鸟头模型)（二） 裤衩定理（三） 平行线分线段成比例若debc，则，。本讲有两道题目采用裤衩定理，其余大多采用鸟头定理，使用鸟头定理时主要在于找到相同角或者互补角，鸟头定理是本讲的重点。本讲题目难度不大，孩子认真听讲都可以搞懂。例7、例8、学案4采用“平行线分线段成比例”，这个内容是初中内容，超出孩子的能力范畴，为选讲内容。31、【例7】已知三角形abc的面积为a，af:fc2:1，e是bd的中点，且efbc，交cd于g，求阴影部分的面积。【难度级别】【解题思路】先应用2次“平行线分线段成比例”。e是bd的中点，egbc，；af:fc2:1，efbc，。可以得到：，

23、。之后有2种方法：一是比例，二是鸟头定理（共角模型）。方法一：比例连结ag、bg，将abc分成了左边3个、右边2个、下边1个共6个小。设阴影面积(sgfc)为1份。egb与gfc，eg:gf3:1，等高，segb：sgfc3:1，segb3份。,deeb，,addeeb，等底同高，sdge3份，sagd3份，也就是左边3个的面积分别都是3份。af2fc，背靠背同高，sagf：sgfc2:1，sagf2份。，等高，segb：sgbc1：2，sgbc6份。sabc3份+3份+3份+2份+1份+6份18份a，所以：1份。方法二：鸟头定理（共角模型）再应用2次鸟头定理（共角模型）。，；，；。【答案】。

24、32、【例8】梯形abcd的面积为12，ab2cd，e为ac的中点，be的延长线与ad交于f，四边形cdfe的面积是_。【难度级别】【解题思路】应用“平行线分线段成比例”、鸟头定理。延长bf、cd相交于g。由于e为ac的中点，cgab2cd，gddc。ab2cd，等高，2：1，124。gdab，df：fagd：ab1：2，所以，af：fd2：1，af：ad2：3。aeec，ae：ac1：2。鸟头定理，。4。当然，此题可以不这样做辅助线，而是过e点做ab的平行线交ad于h：通过he与dc、ab的关系，得到fh与ha、fh与hd的比例关系，进而得到af与fd的关系，其余解法与上面的鸟头定理相同。【

25、答案】。33、【学案4】边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平分厘米？【难度级别】【解题思路】应用“平行线分线段成比例”。chef，hgef12。，h1+h212，h112。hgh116.2(平方厘米)。当然，不用h1、h2，连结he，根据鸟头定理可以求出ghi和hie的面积比例关系，而ghe的面积是可求的，也可以求出来。【答案】16.2平方厘米。34、【作业7】如图，abc中，de、fg、bc互相平行，addffb，则_。【难度级别】【解题思路】应用“平行线分线段成比例”。11：22：331：4：9。1：(4-1)：(9-4)1：3：5。【答案】1：3

26、：5。35、【作业8】如图，长方形abcd中，ef16，fg9，求ag的长。【难度级别】【解题思路】应用“平行线分线段成比例”。daeb，；dfab，；所以：，259，ag5315。【答案】15。36、【作业答案】(1)30 (2)4 (3)140 (4)59 (5)65 (6)第四讲 解分数系数方程解分数系数方程，关键是去分母，注意如下几点：a) 找分母的最小公倍数b) 先去括号c) 常数也要乘d) 去分母后加括号列分数方程，看关键字“的”，寻找单位“1”。列方程的应用题，注意有5点：解、设、列、求、答。本讲没有难题。41、【学案4】小刚给王奶奶运蜂窝煤，第一次运了全部的，第二次运了50块，

27、这时已运来的恰好是没运来的。问还有多少块蜂窝煤没有运来？（方程）【难度级别】【解题思路】设还有7y块蜂窝煤没有运来，则运来的为5y块，全部为12y。12y+50=5y，解得：y=100。还有700块蜂窝煤没有运来。当然设没运来的为y也可以求解，就是式子稍微复杂一点而已(y+50=y)。【答案】700。42、【越玩越聪明】在古埃及，分子为1的真分数称为埃及分数，请从、这99个埃及分数中挑出10个，使它们的和为1。【难度级别】【解题思路】利用的拆分，=-。因为+=1-把右边的移到左边即可：+=1【答案】见上。43、【补充1】形状完全相同的12个小球，有1个坏球（质量与其他11个不同），使用天平称3

28、次能否找出这个坏球？【难度级别】【解题思路】操作类题目，逻辑推理。分三组，每组4个球，拿两组比较，两组平衡的话就简单了（坏球在剩下的那组中，1组的4个球2次可以搞定：2个球比较，不等，拿1个和8个标准球之一比，等，拿另外2个中1个和8个标准球之一比）。两组不平衡的话，不妨设1234比5678轻，做如下讨论：拿4567和89(10)(11)比较（操作策略：留下48不动，拿走123，把567调换到左边，右边增加9(10)(11)，变成4567和89(10)(11)。若4567轻，则说明4轻或者8重，那比较1和4，平衡的话不同的是8，不平衡的话不同的是8；若4567重，则说明567重，那比较5和6，

29、平衡的话不同的就是7，不平衡的话不同的是56中重的那个。若平衡，则说明123轻，那比较1和2，平衡的话不同的就是3，不平衡的话不同的是12中轻的那个。另外一个方法，思路相同（第二次比较的是个不是个）：分三组，每组4个球，拿两组比较，两组平衡的话就简单了（坏球在剩下的那组中，1组的4个球2次可以搞定：2个球比较，不等，拿1个和8个标准球之一比，等，拿另外2个中1个和8个标准球之一比）。两组不平衡的话，不妨设1234比5678轻，做如下讨论：拿125和369比较（操作策略：拿走478，留下123和56，右边补个9，再3和5左右调换，变成125和369）。若125轻，则说明12轻或者6重，那比较12

30、，平衡的话不同的是6，不平衡的话不同的是12中轻的那个；若125重，则说明5重或者3轻，那比较5和9即可，5重就是5，平衡不同的就是3；若平衡，则说明4轻或者78重，比较78，平衡的话不同的就是4，不平衡的话不同的是78中重的那个。【答案】能，详见上面分析。44、【作业答案】(1)第1题 3(5-3x)=2(3-5x)，此题出的不好，x=-9(1)第2题 (2x+1)-2(x+1)=8，此题出的不好，x无解(2) (3)0 (4)13 (5)10 (6)1 (7)36 (8)200第五讲 电梯与发车电梯问题，关键词：s可见(可见的阶数)，s可见指的是楼层高度。同向：s可见s人+s梯；反向：s可

31、见s人s梯。svt。发车问题，关键词：s间(车间距)，s间指的是车与车之间的距离，人车反向：s间(v车+v人)t相；人车同向：s间(v车v人)t追。s间v车t发。本讲的扶梯问题和发车问题都是有固定解题思路的，最关键的是：列方程。电梯问题的解题思路：题目一般都是求s可见的，即求扶梯可见的阶数。第一：根据“同向、反向”、“2次同向”、“2次反向”、“2人”等等条件总是可以列出2个s可见的等式，s可见是相等的，这样就构成了一个方程。第二，两个s可见中的时间t是不等的，无论s人还是s梯，如果s或者t没有给出，那么总是可以根据v人或v梯是不变的得到2个时间t的关系。一般来说，根据题目给的条件，是可以列出

32、如下方程的：s人v人t、s梯v梯t。如果采用第一步不能直接求出答案，再采用第二步的求t关系的方程就一定可以求出答案的。发车问题的解题思路：题目一般都是求t发的，即发车的时间间隔。第一：根据“人车同向”、“人车反向”、“2人1车”、“2车1人”等等条件总是可以列出2个s间的等式， s间是相等的，这样就构成了一个方程。第二，如果第一步无法求出，一般会给出第3个条件，例如：“车、车相遇”、“车追车”、“两个s间存在比例关系”(流水行程中的两个s间不等)等等，根据这个条件就可以再列出一个方程，或者找到第一步中的2个等式之间存在的比例关系。一般来说，采用第一步，根据方程可以求出v车和v人的关系。如果采用

33、第一步不能求出v车和v人的关系，再采用第二步其他条件列出另外的方程来就一定可以求出v车和v人的关系。最后一步，根据s间v车t发就可以求出t发，或者求出题目要求解的其他问题。以上解题思路，请认真领会，从下面的解法中看得出来，本讲所有题目都是这么做出来的。51、【例5】从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲与乙两人在一条街上沿着同一方向行走。甲每隔10分钟遇上一辆迎面开来的电车；乙每隔15分钟遇上一辆迎面开来的电车。且甲的速度是乙的速度的3倍，那么电车总站每隔多少分钟开出一辆电车？【难度级别】【解题思路】发车问题，2人1车，s间相同，2人速度不同，需要第3个条件，“甲的速度是乙的速度的3倍”就是我

34、上面解题思路中的第3个条件。以v乙和v车，列出2个方程：乙与车：s间15(v车+v人)甲与车：s间10(v车+3v人)15(v车+v人)10(v车+3v人)，解得：v车3v人s间15(v车+v人)15(3v人+v人)60v人根据s间v车t发，t发s间v车60v人3v人20。当然最后一步也能简便一下：s间60v人20v车v车t发，t发20。【答案】20。52、【例7】小峰骑自行车去小宝家聚会，在途中小峰注意到，每隔9分钟就有一辆公交车从后方超过自己，半路上自行车发生故障，小峰只好弃车打的前往小宝家，这时小峰又发现出租车也是每隔9分钟超越一辆公交车。已知出租车的速度是小峰骑车速度的5倍，如果公交车

35、的发车间隔和行驶速度固定的话，那么公交车的发车间隔为多少分钟？【难度级别】【解题思路】发车问题，1人1车（自行车出租车只是两种不同的形式，速度不同），追及，s间相同，2种情况人的速度不同，需要第3个条件，“出租车的速度是小峰骑车速度的5倍”就是第3个条件。以v自和v车，列出2个方程：车(公交车)追人(自行车)：s间9(v车v自)人(出租车)追车(公交车)：s间9(5v自v车)9(v车v自)9(5v自v车)，解得：v车3v自s间9(v车v自)9(3v自v自)18v自根据s间v车t发，t发s间v车18v自3v自6。当然最后一步也能简便一下：s间18v自6v车v车t发，t发6。【答案】6。53、【例

36、6】甲、乙两地是电车始发站，每隔一定时间两地同时各发出一辆电车，小张和小王分别骑车从甲、乙两地厨房，相向而行。每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车，小张每隔5分钟遇到迎面开来的一辆电车；小王每隔6分钟遇到迎面开来的一辆电车。已知电车行驶全程是56分钟，那么小张与小王在途中相遇时他们走了_分钟。【难度级别】【解题思路】发车问题，2人2车，s间相同，2人速度不同，需要第3个条件，“每辆电车都隔4分钟遇到迎面开来的一辆电车”就是第3个条件。小张与车相遇：s间5(v车+v张)小王与车相遇：s间6(v车+3v王)这2个等式，无法求出v之间的关系，需要根据第3个条件“车车相遇”再列出一个方程：s间4(

37、v车+v车)8v车根据这3个方程，可以求出：v张v车，v王v车最后一步：根据s全程v和t张王相遇，求得：t张王相遇s全程(v张+v王)56v车(v车+v车)56(+)60。【答案】60。54、【例8】某人乘坐观光游船沿顺流方向从a港到b港。发现每隔40分钟就有一艘货船从后面追上游船，每隔20分钟就有一艘货船迎面开过。已知a、b两港间货船的发船间隔时间相同，且在静水中的速度相同，均为水速的7倍，那么货船发出的时间间隔是_分钟。【难度级别】【解题思路】发车问题，加上流水行船问题，1人2车，s间不相同（这是本题特殊的地方），需要第3个条件来求解2个s间的关系，流水行船中的顺水速度逆水速度恰好就是第3

38、个条件。v货7v水，以v水和v游，列出2个方程：货船与游船追及：s间140(7v水-v游)货船与游船相遇：s间220(7v水+v游)通过流水行船中的货船的顺水速度、逆水速度来求解货船的这2个s间的关系：v顺v货+v水7v水+v水8v水，s间1v顺t发8v水t发v逆v货-v水7v水-v水6v水，s间2v逆t发6v水t发进而就可以根据前2个方程求出v游与v水的关系：，求得：v游v水最后一步：s间140(7v水-v游)40(7v水-v水)288v水t发s间1(8v水)(288v水)(8v水)28【答案】28。55、【学案4】a城每隔30分钟有直达班车开往b镇，速度为每小时60千米；小王骑车从a城去b

39、镇，速度为每小时20千米。当小王出发30分钟时，正好有一趟班车（这是第一趟）追上并超过了他；当小王到达b镇时，第三趟班车恰好与他同时到达。a、b间路程为_千米。【难度级别】【解题思路】此题不采用“发车间隔”的求解思路，不属于本讲解题思路范畴，是一道纯行程问题，分析一下，列方程就可以求解。车速60，人速20，人用30分钟，车用10分钟，说明第一趟车是10分钟前发出的，那么第二趟车20分钟后发出，第三趟车50分钟后发出，50分钟小时。人30分钟已经走了：0.52010(千米)，设再过t小时到达b镇，则第三趟车到达b镇共用时(t-)小时，列方程：20t+1060(t-)解得：t1.5a、b间路程：2

40、0t+10201.5+1040(千米)。【答案】40。56、【例1】小明站着不动乘电动扶梯上楼需要30秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需12秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？【难度级别】【解题思路】扶梯问题，1人2次同向，t给出，不需额外条件，可直接求解。1次小明不动上扶梯：s可见30v梯1次小明动上扶梯： s可见12(v梯+v人)30v梯12(v梯+v人)，2v人3v梯，v人1.5v梯最后一步： t20(秒)。【答案】20秒。57、【例3】小志与小刚两个孩子在电梯上的行走速度分别为每秒2个台阶和每秒3个台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相同方向从一楼走上二楼，分

41、别用时28秒和20秒，那么如果小志攀登静止的电梯需要用时多少秒？【难度级别】【解题思路】扶梯问题，2人2次同向，t给出，不需额外条件，可直接求解。小志上电梯：s可见28(2+v梯)小刚上电梯： s可见20(3+v梯)28(2+v梯)20(3+v梯)，v梯0.5最后一步：s可见28(2+v梯)282.570，t35(秒)。【答案】35秒。58、【例2】商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走到，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。如果男孩单位时间内走的扶梯阶数是女孩的2倍，则当扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少阶？【难度级别】

42、【解题思路】扶梯问题，2人2次反向，s人给出，s梯没有给出，需要其他条件求解，“男孩速度是女孩速度2倍”就是这个其他条件。女孩上扶梯：s可见s女+s梯40+v梯t1男孩下扶梯： s可见s男-s梯80-v梯t2根据“男孩速度是女孩速度2倍”求解t1和t2的关系：40v女t180v男t22v女t2得到：t1t2有了这个结果，前2个方程就可求了：40+v梯t180-v梯t2解得：v梯t120最后一步：s可见40+v梯t140+2060【答案】60。59、【学案1】在地铁中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯。小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶

43、，那么他走过30级台阶后到达地面。从站台到地面有_级台阶。【难度级别】【解题思路】与例2思路完全相同。扶梯问题，1人2次同向，s人给出，s梯没有给出，需要其他条件求解，“人的速度和台阶数”就是这个其他条件，这个条件可以求出电梯运行的时间。每秒1阶上扶梯：s可见20+v梯t1每秒2阶上扶梯： s可见30+v梯t2根据“人的速度和台阶数”求解t1和t2：201t1， t120302t2， t215将t1、t2代入前2个方程，v梯就可求了：20+20v梯30+15v梯解得：v梯2最后一步：s可见20+v梯t120+22060【答案】60。5a、【例4】百华大楼一二层间有一正以恒定速度向上运行的自动扶

44、梯，某人以固定的速度从一楼向上跑，数得梯子有m级；到二楼后他又反过来以同样的速度向下跑至一楼，数得梯子有n级，那么该自动扶梯实际有多少级？【难度级别】【解题思路】与例2、学案1思路完全相同，只是没有给数字而给的是字母。扶梯问题，1人2次，同向、反向2个方向，s人给出，s梯没有给出，需要其他条件求解，“人的速度不变、2次台阶数”就是这个其他条件，这个条件可以求出电梯2次运行时间的比例关系。同向上扶梯：s可见m+v梯t1反向下扶梯： s可见n-v梯t2根据“人的速度不变、2次台阶数”求t1和t2的关系：mv人t1nv人t2最后一步：t1t2 ，代入前2个方程：m+v梯t2n+v梯t2解得：v梯t2

45、s可见n-v梯t2n-最后一步也可不求t1和v梯t2，而将前2个方程变形，直接求得s可见：s可见mv梯t1 ， ns可见v梯t2s可见m ：ns可见v梯t1 ：v梯t2t1 ：t2m ：n得到：s可见【答案】2mn/(m+n)。5b、【作业8】小红放学后沿着公共汽车的线路以4千米/小时的速度往家走，一边走一边数来往的公共汽车。到家时迎面来的公共汽车数了11辆，后面追上的公共汽车数了9辆。如果公共汽车按相等的时间间隔发车，那么公共汽车的平均速度是多少？【难度级别】【解题思路】发车问题，1人2车，s间相同，v车不知道，需要第3个条件，“迎面11辆、后面追上9辆”就是第3个条件。人与车相遇：s间(v

46、车+4)t1人与车车追：s间(v车-4)t2这2个等式，无法求解，需要根据第3个条件“迎面11辆、后面追上9辆”求出t1和t2的关系：11t19t2t1：t29：11这样，前2个方程就可以求解了：(v车+4)t1(v车-4)t2t1：t2(v车-4)：(v车+4)9：1111(v车-4)9(v车+4)解得：v车40【答案】40千米/小时。5c、【作业答案】(1)54 (2)50 (3)64 (4)40 (5)54 (6)8 (7)4.8 (8)40第六讲 定义新运算（二）定义新运算，对于成人来说比较简单，但是对于孩子来说，个别题目接受起来还是挺有难度，不过可以告诉孩子那种题目不需要去理解，只需

47、要“照葫芦画瓢”就可以，这样孩子就容易明白了。加减乘除和括号，计算顺序不动摇，照葫芦画瓢(套)。繁分化简并不难，主分数线当除号。61、【学案2】对于非零自然数a和b，规定符号的含义：ab=（m是一个确定的整数）。如果14=23，那么34=_。【难度级别】【解题思路】14=，23=，m=6。34=。【答案】。62、【学案3】已知x、y满足x+y=2009，x+y=20.09；其中x表示不大于x的最大整数，x表示x的小数部分，即x=x-x，那么x=_。【难度级别】【解题思路】此题主要是孩子理解x、x，有点逻辑推理的意思。x+y=2009，x+整数=整数，所以x是整数，所以x=0。x+y=20.09

48、，y=20.09，y=20。x=2009-y=2009-20=1989。本题，如果将2009改成2009.02会更好一些，解法也是一样的：x+y=2009.02，x=0.02。x+y=20.09，y=20.09-x=20.09-0.02=20.07，y=20。x=2009.02-y=2009.02-20=1989.02。【答案】1989。63、【学案1】规定：adbc，=a-b+c，求的值。【难度级别】【解题思路】孩子理解三阶行列式很有难度，但是本题也不需要孩子理解，只需要“照葫芦画瓢”即可。=1-2+3=1(59-66)-2(49-63)+3(46-53)=9-36+27=0【答案】0。64

49、、【例3】定义a*b为a与b之间(包含a、b)所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如：7*14(7+9+11+13)410，18*10(18+16+14+12+10)514。在算式*(19*99)80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？【难度级别】【解题思路】此题是本讲最难的题目。方法一，按照数列求和先求19*99，19到99之间有：(99-19)2+141个奇数，19*99(19+21+99)41(19+99)259。*5980，59。设与59之间（包含、59）有n个与奇偶性相同的自然数，则这n个自然数的和为：80n。(1)如果为奇数，59+2(n-1)=2n+57

50、80n59+(2n+57)n280(2n+116)2n22，2n+57101(2)如果为偶数，(59+1)+2(n-1)=2n+5880n60+(2n+58)n280(2n+118)2n21，2n+58100方法二，按照平均数求解，比方法一的计算简单按照“平均数(a1+an)2”来计算平均数，简化了很多。先求19*9919*99(19+99)259。*5980，59。再求(1)如果为奇数，*59(+59)280，101(2)如果为偶数，*59(+60)280，100【答案】101、100。65、【例6】x、y表示两个数，规定新运算“”和“”如下：xyax+by，xyc(x+y)，其中a、b、c

51、为非零自然数。已知2312，(32)156，求：(12)3？【难度级别】【解题思路】求a、b是解一个不定方程，是本题的难点和关键。232a+3b12，因a、b是非零自然数，经尝试a3，b2。也可以利用奇偶性来解，因为12是偶数，2a是偶数，所以3b也是偶数，b只能等于2，因为b4时a0，b2，a3。(32)1(33+22)1131c(13+1)14c56，c4。xy3x+2y，xy4(x+y)。(12)3(31+22)3734(7+3)40。【答案】40。66、【补充1】已知：mn，求：201220113210。【难度级别】【解题思路】本题的突破口不太容易寻找。仔细观察：分子是m+2，分母是mn+4，分母+4分子+2，想到2倍关系，如果n2，那么，分母2m+42(m+2)，恰好是分子的2倍。当n2时，m2，说明：当n2时，m无论是何值，m2都等于，m2的结果与m的值无关。设x201220113，x不需要计算，因为式子后面是2，x2，与x等于多少没有关系，也就是说2之前