2.2圆锥曲线的参数方程[共43页]

1、1新课标人教版课件系列新课标人教版课件系列高中数学选修选修4422.2.1椭圆的参数方程3教学目标教学目标 掌握椭圆的参数方程及其解法；理解方程参数是椭圆的离心角，不是旋转角。cossinxayb4参数方程。轴上的椭圆的，焦点在这是中心在原点为参数一个参数方程为的我们得到了椭圆由例xObyaxbabyax)(sincos)0( 1422225的意义是什么？方程中参数数的意义，椭圆的参数类比圆的参数方程中参思考：6如下图，以原点为圆心，分别以如下图，以原点为圆心，分别以a，b（ab0）为半径）为半径作两个圆，点作两个圆，点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点，过点与小圆的交点，过点A作作ANo

2、x，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M，求，求当半径当半径OA绕点绕点O旋转时点旋转时点M的轨迹参数方程的轨迹参数方程. OAMxyNB分析：分析：点点M的横坐标与点的横坐标与点A的横坐标相同的横坐标相同,点点M的纵坐标与点的纵坐标与点B的纵坐标相同的纵坐标相同. 而而A、B的坐标可以通过的坐标可以通过引进参数建立联系引进参数建立联系. 设设XOA=7xyoAMB8sinsincoscos,),(bOByaOAxBAyBxAyxMOAox定义有的的终边上，由三角函数均在角，由点的纵坐标为点的横坐标为，那么点是的坐标，点为终边的角为始边，设以9轴上的椭圆。，焦点在这是中

3、心在原点为参数是的轨迹，它的参数方程点旋转一周时，就得到了绕点当半径xObyaxMOOA)(sincos)2 , 0范围是的通常规定参数在椭圆的参数方程中，10的意义类似吗？中参数为参数程的意义与圆的参数方椭圆的参数方程中参数思考：)(sincosryrx的旋转角。是半径的旋转角，参数是，不的离心角称为点的旋转角或径所对应的圆的半是点由图可以看出，参数OMOMMOBOAM)()(11sincos)(sincos. 1111222222byaxyxyxbyaxybyxax方程为可以得到椭圆的参数为参数利用圆的参数方程可以变成则椭圆的方程通过伸缩变换从几何变换的角度看，椭圆参数方程的推导121 .

4、参数方程参数方程 是椭圆的参是椭圆的参 数方程数方程.cosxasinyb 2 .在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a、b分分别是椭圆的长半轴长和短半轴长别是椭圆的长半轴长和短半轴长. ab另外另外, 称为称为离心角离心角,规定参数规定参数的取值范围是的取值范围是0,2 )cos ,sin .xaXyb焦点在 轴cos ,sin .xbYya焦点在 轴OAMxyNB知识归纳知识归纳椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :12222byax椭圆的参数方程中参数椭圆的参数方程中参数的几何意义的几何意义: :)(sinbycosa为为参参数数 xxyO圆的标准方程圆的标准方程: :圆的参数方

5、程圆的参数方程: : x2+y2=r2)(sinycos为为参参数数 rrx的几何意义是的几何意义是AOP=PA椭圆的参数方程椭圆的参数方程: :是是AOX=,不是不是MOX=.14【练习【练习1】把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程. 22149xy22116yx (1)(2)3 cos5 sinxy8 cos10 sinxy(3)(4)把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程2 cos(1)3 sinxycos(2)4sinxy2264100(4)1yx22925(3)1yx15练习练习2：已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为 ( 是是参数参数) ，则此椭圆

6、的长轴长为（，则此椭圆的长轴长为（ ），短轴长为），短轴长为（ ），焦点坐标是（），焦点坐标是（ ），离心率是），离心率是（ ）。）。2cos sinxy4232( , 0)31622234 cos2 sin3cos0,()_xyxy练习 ：已知圆的方程为为参数 ，那么圆心的轨迹的普通方程为1714)(sincos21)sin()cos2(0cos3sin2cos42222222yxyxyxyxyx化为普通方程是为参数所以圆心的参数方程为可以化为解：方程 例例1 1 在椭圆在椭圆 上求一点上求一点M M，使点使点M M到直线到直线x x2y2y10100 0的距离最小，的距离最小，并求出最小距

7、离并求出最小距离. .22194xyx xy yO OM M9 8( , )5 5M最小值为最小值为519例例2、如图，在椭圆如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点上求一点P，使，使P到直线到直线 l：x-y+4=0的距离最小的距离最小.xyOP分析分析1：),y,y(288P设设2882|4yy|d则则分析分析2：),sin,cos(P 22设设222|4sincos| d则则分析分析3：平移直线平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求至首次与椭圆相切，切点即为所求.小结：小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示，利用三角

8、知识加以解决。点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。20例例3、已知椭圆已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。22110064xy:10cos ,8sinA解 设20cos,16sin2016sincos160sin 2ADABS,ABCD160所以 矩形最大面积为yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX21练习练习3:已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭在第一象限的椭圆弧上求一点圆弧上求一点P,使四边形使四边形OAPB的面积最大的面积最大.22941yx:,ABOABP

9、解 椭圆参数方程 设点P(3cos ,2sin) S面积一定 需求 S最大即可264132212360|cossin6 |2 sin()23,yxPABxyddP3322即求点到线的距离最大值线AB的方程为66所以当=时有最大值 面积最大4这时点 的坐标为(, 2)22练习练习41、动点、动点P(x,y)在曲线在曲线 上变化上变化 ，求，求2x+3y的最的最大值和最小值大值和最小值14922yx.,2626最小值最小值最大值最大值2、取一切实数时，连接取一切实数时，连接A(4sin,6cos)和和B(-4cos, 6sin)两点的线段的中点轨迹是两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆圆 B. 椭

10、圆椭圆 C. 直线直线 D. 线段线段B设中点设中点M (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin22y1818x23小结：圆的参数方程：（为参数）cossinxryr（以原点为圆心，r为半径，为旋转角）24小结小结：椭圆的参数方程：cossinxayb（为参数）表明分别是椭圆的长轴长与短轴长，且焦点在轴上，参数是椭圆的离心角，不是旋转角，由例可以可看出，利用椭圆的参数方程解最值问题会比较简单0ab2 , 2abx25二、圆锥曲线的参数方程二、圆锥曲线的参数方程2、双曲线的参数方程26baoxy)MBABAOBBy在中，( , )M x y设| | tanBBOBtan .bOA

11、Ax在中，|cosOAOAcosbsec ,bsec()tanxaMyb所所以以的的轨轨迹迹方方程程是是为为参参数数2a2 22 22 2x xy y消消去去参参数数后后，得得- -= =1 1, ,b b这这是是中中心心在在原原点点，焦焦点点在在x x轴轴上上的的双双曲曲线线。双曲线的参数方程双曲线的参数方程27 双曲线的参数方程双曲线的参数方程 baoxy)MBABAsec()tanxayb为参数2a222xy-=1(a0,b0)的参数方程为：b3 ,2 )22o通常规定且，。 双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式22221xyab22sec1ta

12、n 相比较而得到，所以双曲线的参数方程相比较而得到，所以双曲线的参数方程 的实质是三角代换的实质是三角代换.说明：说明： 这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同的倾斜角不同.281.双曲线 为参数)的渐近线方程 为_.3sec(tanxy例例2、2222100 xyMabOabMABMAOB(,) 如如图图，设设为为双双曲曲线线任任意意一一点点，为为原原点点，过过点点作作双双曲曲线线两两渐渐近近线线的的平平行行线线，分分别别与与两两渐渐近近线线交交于于 ， 两两点点。探探求求平平行行四四边边形形的的面面积积，由由此此可可以以发发现现什什么么结结论论？

13、OBMAxy.byxa 双曲线的渐近线方程为：解：解：tan(sec ).MbybxaaA 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为,则直线的方程为（asec ,btan ）： b将y=x代入，解得点A的横坐标为aAax = （sectan ）2.Bax = （se同理可得，点B的横坐cta2标n为）.ba设 AOx= ,则tan.MAOB所以的面积为MAOBS=|OA|OB|sin2 =ABxxsin2coscos2222a (sec-tan)=sin24costan.2baba22aa=22MAOB由此可见，平行四边形的面积恒为定值，与点M在双曲线上的位置无关。303、抛物线的参数方程、抛物线

14、的参数方程31xyoM(x,y)32 抛物线的参数方程抛物线的参数方程oyx)HM(x，y)M设 （x,y）为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记作 。tan .My因为点 （x,y）在 的终边上，根据三角函数定义可得x.2又设抛物线普通方程为y =2px,().y22px=tan解出x,y得到抛物线（不包括顶点）的参数方程：为参数2ptan1如果设t=,t (- ,0) (0,+ ),则有tan,().ty2x=2pt为参数2pt0t 当时，参数方程表示的点正好就是抛物线的顶点（0，0）。,().ttRy2x=2pt所以，为参数，表示整条抛物线。2pt思考：思考：参数参数t的几

15、何意义是什么的几何意义是什么?33 抛物线的参数方程抛物线的参数方程oyx)HM(x，y)2抛物线y =2px(p0)的参数方程为:1其中参数t=(0),当 =0时，t=0.tan几何意义为：,().ttRy2x=2pt为参数，2pt抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。.x即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t=y342121212121212121,1,)(221ttDttCttBttAMMttMMtptyptx、所在直线的斜率是则弦所对应的参数分别是，两点上异于原点的不同为参数、若曲线( )c352122212122222121121212112222)2 ,2(),2 ,

16、2(,1ttptptptptkptptMptptMMMttMMMM的坐标分别为和，则可得点和别是两点对应的参数方程分解：由于36的轨迹方程。，求点相交于点并于且上异于顶点的两动点，是抛物线是直角坐标原点，、如图例MMABABOMOBOAppxyBAO,)0(2,3237xyoBAM38)8.(.1, 0)2()2(, 0,)(2),(2()2 ,2(),2 ,2(),()0,)(2 ,2(),2 ,2(),(,212122211221222221212121222121t tt tptptOBOAOBOAttpttpABptptOBptptOAyxOMttttptptptptyxBAM所以即所以因为则且的坐标分别为解：根据条件，设点392221211212211222,0,2()2()0()0,(0).(9)(2,2),(2,2),OMABOM ABpx ttpy ttx ttyyttxxAMxptyptMBptxptyA M B 因为所以即所以即因为且三点共线，40的轨迹方程这就是点即得到代入将化简，得所以Mxpxyxxpxyyxtptttyptyxptyptptx)0(0202)(),10()9(),8()10.(.02)()2)(2(