第三章 投影作图

1、第三章 投影作图3-1 轴测投影的基本知识3-2 正等测图的画法3-3 点的投影 3-4 直线投影 3-5 平面的投影 3-6 基本几何的投影及尺寸标注 3-7 截割与相贯基本体的尺寸标注基本体的尺寸标注2021-7-61第三章第三章 轴测投影图轴测投影图3-1 轴测投影的基本知识轴测投影的基本知识一一. .概述概述轴测图的形成轴测图的形成正轴测图正轴测图斜轴测图斜轴测图3-1 轴测投影的基本知识轴测投影的基本知识轴测图的形成轴测图的形成轴测轴轴测轴 o1x1、 o1y1、 o1z1轴间角轴间角 x1o1z1 x1o1y1 y1o1z1ZYXOz1x1y1o1三轴间角之和为三轴间角之和为360

2、一一. .概述概述3-1 轴测投影的基本知识轴测投影的基本知识一一 概述概述轴测图的形成轴测图的形成轴测轴轴测轴 轴间角轴间角ZYXOz1x1y1o1轴向变形系数轴向变形系数p=ex / e ; q=ey / e ; r =ez / e 分类分类: (1) 当当 p=q=r 时时 , 称为正称为正(或斜或斜)等轴测图等轴测图 (2) 当当 p=rq 时时 , 称为正称为正(或斜或斜)二等轴测图二等轴测图 (3) 当当 prq时时 , 称为正称为正(或斜或斜)三等轴测图三等轴测图 3-1 正等测图的画法正等测图的画法一一 正等测图的轴向变形系数和轴间角正等测图的轴向变形系数和轴间角正等测图的三轴

3、间角均为正等测图的三轴间角均为120 , Z1轴竖直。轴竖直。p = q = r = 0.82 (证明略)z1y1x1o13-1 正等测图的画法正等测图的画法一一 正等测图的轴向变形系数和轴间角正等测图的轴向变形系数和轴间角二二 平面立体的平面立体的正等测图正等测图轴测图的基本作法是轴测图的基本作法是坐标法坐标法。 根据立体上每一顶点的坐标沿轴线根据立体上每一顶点的坐标沿轴线向定出它们在轴测图中的位置向定出它们在轴测图中的位置 , 并利并利用轴测图的投影特性作图。用轴测图的投影特性作图。例例1 1 求作图示三棱锥的正等测图求作图示三棱锥的正等测图xxyzooz1y1x1o1abcsabcsAC

4、BS例例1 1 求作图示三棱锥的正等测图求作图示三棱锥的正等测图xxyzooabcsabcsACBS例例2 2 求作图示正六棱柱的正等测图求作图示正六棱柱的正等测图xzxyz1y1x1o1例例2 2 求作图示正六棱柱的正等测图求作图示正六棱柱的正等测图xzxz1y1x1o13-2 正等测图的画法正等测图的画法一一 正等测图的轴向变形系数和轴间角正等测图的轴向变形系数和轴间角二二 平面立体的平面立体的正等测图正等测图三三 曲面立体的曲面立体的正等测图正等测图水平圆正等轴测图的画法水平圆正等轴测图的画法利用四心法利用四心法z1y1x1o1xyo水平圆正等轴测图的画法水平圆正等轴测图的画法利用四心法

5、利用四心法z1y1x1o1yo圆柱正等轴测图的画法圆柱正等轴测图的画法 切口圆柱正等轴测图的画法切口圆柱正等轴测图的画法 切口圆柱正等轴测图的画法切口圆柱正等轴测图的画法 圆角正等轴测图的画法圆角正等轴测图的画法 空间几何体是由点、空间几何体是由点、直线和平面构成的，如图直线和平面构成的，如图3.1所示的三棱锥。既可看所示的三棱锥。既可看成由四个点所构成，又可成由四个点所构成，又可看成由六条直线或四个平看成由六条直线或四个平面所构成。因此，表达几面所构成。因此，表达几何体的三面投影，实际上何体的三面投影，实际上就是画出构成几何体的点、就是画出构成几何体的点、直线和平面的投影。所以，直线和平面的

6、投影。所以，点、直线、平面的投影是点、直线、平面的投影是画图的基础。本章着重研画图的基础。本章着重研究它们的投影规律和特点究它们的投影规律和特点。 3-3 点点 的的 投投 影影3-3点点 的的 投投 影影例题一例题一例题二例题二HVOXA A点的水平投影点的水平投影 aA A点的正面投影点的正面投影 aaaAaX点在两面体系中的投影点在两面体系中的投影HVOXaaax展开展开OXaaax投影规律投影规律:1. aaox2. aaxAa; axaAaA A点的水平投影点的水平投影 a A A点的正面投影点的正面投影 a A A点的侧面投影点的侧面投影 a HaaaVWXOZYWYH点在三面体系

7、中的坐标和投影点在三面体系中的坐标和投影YXHVOZWaaaA1. aaz=aay=x aaz=aax=y aax=aay=z aaaXOZYWYHaxayazay2 aa ox aa oz投影规律投影规律投影图投影图两点中两点中X X值大的点值大的点 在左在左两点中两点中Y Y值大的点值大的点 在前在前 两点中两点中Z Z值大的点值大的点 在上在上XZYWYHOaaabbbXOZYaaabbbBA两点的相对位置两点的相对位置例题例题1 已知点已知点A的正面与侧面投影，求点的正面与侧面投影，求点A的水平投影的水平投影ZXOaaaYHYWaaaXZYWYHObbb例题例题2 2 已知已知A A点

8、在点在B B点前方点前方5 5毫米，上方毫米，上方9 9毫米，右方毫米，右方8 8毫毫米，求米，求A A点的投影。点的投影。8953-4 直直 线线 的的 投投 影影 1 a b=ABcos ;ab=ABcos ; a b=ABcos 2 、a b、ab、a b均倾斜于投影轴均倾斜于投影轴 3 、 不反映不反映 、 、 实角实角投影特性投影特性：水平线水平线投影特性：投影特性： 1、ab/OX， ab/OY 2、ab=AB 3、反映反映 、 角的真实大小角的真实大小正平线正平线投影特性：投影特性： 1、ab/OX ， ab/OZ。 2、ab=AB。 3、反映、反映 、 角的真实大小角的真实大小

9、。侧平线侧平线投影特性投影特性：1、ab/OZ ， ab/OY。 2、ab=AB。 3 、反映、反映 、 角的真实大小。角的真实大小。侧平线侧平线投影特性投影特性：1、ab/OZ ， ab/OY。 2、ab=AB。 3 、反映、反映 、 角的真实大小。角的真实大小。铅垂线铅垂线正垂线正垂线投影特性：投影特性：1、a b 积聚积聚 成一点成一点 2 、 a b OX ; a b OZ 3 、 a b = a b =ABb （a）侧垂线侧垂线投影特性：投影特性：1、a b 积聚积聚 成一点成一点 2 、 a b OY ; a b OZ 3 、 a b = a b =AB（ b ） a3-5 各种位

10、置平面的投影特性各种位置平面的投影特性投影特性：投影特性： 1、 abc、 abc积聚为一条线，且积聚为一条线，且abcOX ; abcOY 。 2 、 水平投影水平投影abc反映反映 ABC实形实形 ZacYXabbbaoYccc(1)正面投影反映实形正面投影反映实形;(2)水平投影积聚为一水平投影积聚为一直线直线 , 且且/OX ; 侧面投影积聚为一直侧面投影积聚为一直线线,且且/OZ.(1) 侧面投影反映实形侧面投影反映实形;(2)正面投影积聚为一直正面投影积聚为一直线且线且/OZ ; 水平投影积水平投影积聚为一直线且聚为一直线且/YH 。cYW正正平平面面 (V) bYHZabboac

11、caX侧侧平平面面(W)投影特性投影特性：zyWxababaoyHcccb （1）水平投影积聚为一直线）水平投影积聚为一直线,水平投影与水平投影与X的夹角反映平面的夹角反映平面V面的夹角面的夹角,与与 YH的夹角反映平面与侧面的夹角的夹角反映平面与侧面的夹角。 ( 2 ) 正面投影、侧面投影不反映实形正面投影、侧面投影不反映实形,但为其类似形。但为其类似形。 1) 正面投影积聚为正面投影积聚为一直线与一直线与OX夹角反夹角反映映,与与OZ夹角反映夹角反映；（2） 水平投影和水平投影和侧面投影不反映实侧面投影不反映实形形,但为其类似形但为其类似形。 正正垂垂面面(V) YWZb b Xa a b

12、aOYH c c c(1) 侧面投影积聚为侧面投影积聚为一直线与一直线与OYw的夹角的夹角反映反映，与，与OZ夹角反夹角反映映； (2) 正面投影与水平正面投影与水平投影不反映实形投影不反映实形,但为但为其类似形。其类似形。侧侧垂垂面面(W)azbbYWxabaoYHccc投影特性投影特性 1 、 abc、a b c 、a b c 均为均为 ABC的类似形。的类似形。 2 、 不反映不反映 、 、 的真实角度的真实角度 。 3-6 基本体及其表面上的点和线基本体及其表面上的点和线一一 平面立体平面立体 平面立体平面立体：各表面均为平面的几何体，如棱柱、棱锥等。二二 曲面立体曲面立体 曲面立体曲

13、面立体：各表面均为曲面或由平面与曲面共同围成的几何体，如圆柱、圆锥、圆球等。三 尺寸标注VWH一一 平面立体平面立体棱 柱1. (1) 棱柱的投影空间分析 作图时，先画反映特征的水平投影，再按投影规律完成其它两个投影。YHYW1. 棱 柱 (1) 棱柱的投影 (2) 棱柱表面上的点YH 如图所示，已知前棱面上的点A的正面投影a，左前棱面上的点B的正面投影b，求它们的水平投影和侧面投影。ab作图分析作图分析:(1) 由于前棱面的水平投影和侧面投影均具有积聚性,故可直接求出a和a。 (2) 由于左前棱面只有水平投影有积聚性,故只能利用积聚性求出b,再根据YH=YW,由b和b求出b。baaYWb(

14、)b 2. 棱 锥(1) 棱锥的投影SABCa (c)bscbsascba分析分析: 锥底面ABC为水平面,棱面SAC为侧垂面,另外两棱面为一般位置平面。作图作图: 一般先画出底面的各个顶点的投影,再定出锥顶S的投影,并将锥顶与底面各顶点的同面投影相连即可。 (2) 棱锥表面上的点和线 2. 棱 锥(1) 棱锥的投影 如图所示，已知棱面SAB上点M的正面投影m和棱面SAC上的点N的正面投影n，求作M、N两点的其余投影。aacbs bm（n）a（c）sc bss I is （1）棱面SAC为侧垂面,利用积聚性可直接求出n，再由n、n求得n。 （2） M点所在棱面SAB为一般位置平面，可作辅助线的

15、方法求解。YWYHm mSABCM baacbsbm（n）a（c）scsnmnm ikkkscbabscbascanmhnmmh( n )h 二二 曲面立体曲面立体 工程上常用的曲面立体一般为回转体回转体。回转体回转体由回转面或回转面与平面围成。 一条动线（直线或曲线）绕一条固定的直线作回转运动所形成的曲面称为回转面回转面。 形成回转面的动线称为母线母线，定直线称为回转回转轴轴，母线在回转面上的任一位置称为素线素线，母线上任一点的运动轨迹都是圆，称为纬圆纬圆。母线 素线回转轴回转轴母线 素线圆 柱 面圆 锥 面圆 球 面 表表5 1回转轴母线 素线 1. 圆 柱 (1) 圆柱的投影 二二 曲面

16、立体曲面立体AA1a(a1)aa1aa1最左素线最左素线的正面投影aa1aa1a (a1)空间分析1. 圆柱各表面的投影特性2. 圆柱的投影3. 圆柱表面上的四根特殊位置素线(2) 圆柱表面上的点和线 1. 圆 柱 (1) 圆柱的投影 例一 如下图所示,已知圆柱表面上点A和点B的正面投影a和b,试求出a和a及b和b。解题分析解题分析(1) 分析基本体的投影特性 主要分析是否有积聚性表面,图示圆柱面为侧垂面,其侧面投影积聚为圆周。(2) 判定点的空间位置 A点在上半圆柱面的前方,B点在圆柱的最前素线上。(3) 作图 利用积聚性直接求出a,再由a和a ; b和b直接投影到圆柱最前素线的同面投影上。

17、YWYHaab bba( C )CC 例二 如图所示,已知圆柱表面上的线ABC的正面投影,试求其余两面投影。解题分析解题分析(1) 分析基本体的投影特性 圆柱面的水平投影有积聚性(2) 分析线的位置及投影 线ABC位于前半个圆柱面上,空间为一段曲线,点A在圆柱面的最左素线上,点B在最前素线上(3) 作图 1 利用积聚性直接求出ABC的水平投影,再求其侧面投影; 2 求曲线上一般点的投影 ; 3 判别可见性,光滑连线。(c)a bcabcab12112(2)(1) 圆锥的投影 2. 圆 锥 sA aSs aMm s asa sa投影分析：投影分析：(1) 圆锥各表面的投影特性(2) 圆锥的投影(

18、3) 圆锥表面上的四根特殊位置素线(2) 圆锥表面上的点和线 (1) 圆锥的投影 2. 圆 锥例三 如图所示，已知圆锥面上一点K的正面投影k，求点K的水平投影k和侧面投影k。s kss解题分析解题分析 由于圆锥面的三面投影均无积聚性，且K点也不在特殊位置素线上，故必须通过作辅助线的方法求解。 SK (1) 辅助素线法辅助素线法 作图作图 锥顶S与锥面上任一点的连线都是直线,如图中SK , 交底圆于M点。 (2) 辅助纬圆法辅助纬圆法 由于母线上任一点绕轴线旋转轨迹都是垂直于轴线的圆,图示圆锥轴线为铅垂线,故过K点的辅助纬圆为水平圆,其水平投影是圆。(k) Ms kssmmmYWYHk(1) 圆

19、球的投影 3. 圆 球主子午线赤道圆 侧子午线 如图所示,圆球的三面投影都是与球的直径相等的圆.这三圆分别为球面上平行于正面、水平面、和侧面的最大圆周的投影,分别称为主子午线、赤道圆、侧子午线. 先确定球心的三面投影,再画出三个与球的直径相等的圆.(2) 圆球表面上的点和线(1) 圆球的投影 3. 圆 球 如图所示,已知球面上点A的正面投影a,求它的水平及侧面投影a和a. 圆球的三面投影均无积聚性,故球面上的取点通常采用辅助纬圆法 , A点在球的左、前、上方。(1) 过点A作一水平辅助圆 , 正面投影作过a的水平线段 ,水平投影以线段的长R1为半径画圆 ;(2) 求出水平投影a和侧面投影a。R

20、1解题分析解题分析作作 图图aaa 三三 基本体的尺寸标注基本体的尺寸标注 一般情况下，长、宽、高三个尺寸都要标注，但有些基本体的三个尺寸是互相关联的，标注时有些变化。1591616142018(18.48)1625251610255101015143-7 截割与相贯二二 相贯线相贯线三三 立体表面交线的分析立体表面交线的分析一一 截交线截交线立体表面交线分为两类立体表面交线分为两类平面和立体相交在立体表面形成交线平面和立体相交在立体表面形成交线截交线截交线立体和立体相交在立体表面形成交线立体和立体相交在立体表面形成交线相贯线相贯线截交线截交线相贯线相贯线p一一. .平面与平面与平面立体相交平

21、面立体相交所得截交线形状所得截交线形状 3 3 截平面相对投影面有平截平面相对投影面有平行行, , 垂直垂直, ,一般位置。一般位置。 2 2 截平面由一个或多个组成截平面由一个或多个组成1 1 截交线形状是封闭的平面多边形截交线形状是封闭的平面多边形平面立体是由平面所围成的平面立体是由平面所围成的. .截交线是一个封闭的平面多边形。截交线是一个封闭的平面多边形。多边形的顶点是截平面与各棱线多边形的顶点是截平面与各棱线的交点。的交点。如图所示：平面与三棱锥相交如图所示：平面与三棱锥相交 截交线其各边是截平截交线其各边是截平面与三棱锥各面与三棱锥各棱面的交线棱面的交线, ,也就是截平面与三棱锥各

22、棱也就是截平面与三棱锥各棱线的线的交点的连线。交点的连线。 截交线是一个封闭的截交线是一个封闭的平面三角形。平面三角形。SMABC求截交线的关键：求截交线的关键： 截平面与棱线的交点，截平面与棱面的交线截平面与棱线的交点，截平面与棱面的交线。截交线的特点：截交线的特点：1 平面立体形体分析（棱柱，棱锥，积聚性）平面立体形体分析（棱柱，棱锥，积聚性）2 截平面相对投影面的位置（平行，垂直）截平面相对投影面的位置（平行，垂直）3 截交线的空间分析及投影分析（积聚性）截交线的空间分析及投影分析（积聚性）4 求棱线的交点连线或求棱面的交线求棱线的交点连线或求棱面的交线 (线上取点或棱面上取线）线上取点

23、或棱面上取线）5 检查漏线和多线检查漏线和多线 6 判断可见性判断可见性二二. .平面与平面与平面立体相交平面立体相交的求法的求法截交线截交线投影分析投影分析:例例7-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。截平面截平面截交线空间及截交线空间及投投影分析影分析:截平面是正垂面，截平面是正垂面，截交线在正立面内截交线在正立面内积聚为一线积聚为一线水平投影和侧面水平投影和侧面投影是小于原形投影是小于原形的类似形的类似形截交线空间是三边形截交线空间是三边形截交线的正面投影截交线的正面投影例例7-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。求三棱锥被正垂面截切截交线的投影

24、。截平面截平面三棱锥表面上取截交三棱锥表面上取截交线的各顶点线的各顶点 s231132abcs123bacSABC作图步骤：作图步骤：abc1. 找出有积聚性的投影找出有积聚性的投影 2. 从已知投影开始，从已知投影开始，确定各棱线的交点确定各棱线的交点1 23。 3. 用线上取点的方法求用线上取点的方法求得其余各投影。得其余各投影。 4. 连接棱面上的交线并连接棱面上的交线并判断可见性。判断可见性。 例例7-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。s完成作图：将多余的线擦去，将不可见的线画成虚线。完成作图：将多余的线擦去，将不可见的线画成虚线。3. 截交线的

25、空间分析及截交线的空间分析及 投影分析（积聚性）投影分析（积聚性） 1. 平面立体形体表平面立体形体表 面性质面性质的分析（积聚性）的分析（积聚性） 124241356712345（6）（7）（3 ）（5 ）6（7 ）例例7-2 ：求四棱柱被截切截交线的投影。求四棱柱被截切截交线的投影。侧平面侧平面正垂面正垂面侧平面侧平面2. 截平面相对投影面的位置截平面相对投影面的位置（平行，垂直）（平行，垂直）4. 求棱线的交点求棱线的交点连线或求棱面的连线或求棱面的交线交线 ( 线上取点或线上取点或棱面上取线）棱面上取线）5. 检查漏线和多检查漏线和多线线 .6. 判断可见性判断可见性.分析：分析：作图

26、：作图：例例7-3 试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影空间分析：空间分析：四棱锥被正垂面切割，四棱锥被正垂面切割，截交线也应是平面多边截交线也应是平面多边形，其正面投影积聚为形，其正面投影积聚为一条线，水平投影侧面一条线，水平投影侧面投影小于实形的类似形投影小于实形的类似形。空间分析：空间分析：四棱锥被水平面切割，四棱锥被水平面切割，截交线应是平面多边形截交线应是平面多边形，其水平投影反映实形，其水平投影反映实形。侧面投影是一条线。侧面投影是一条线。水平面水平面正垂面正垂面56（8）74（3）1（2）例例7-3 试求正四棱锥被两平面切割后的三面投影试求正四

27、棱锥被两平面切割后的三面投影56（8）7876231454（3）121578346（2） 四棱锥表面上取四棱锥表面上取截交线的各顶点截交线的各顶点作图步骤：作图步骤：1. 找出有积聚性的投影找出有积聚性的投影 2. 确定截平面的特点确定截平面的特点，数量。，数量。 3. 各棱线的交点各棱线的交点1,2,3,4,5,6,7,8。 3. 用线上取点的方法用线上取点的方法求得其余各投影。求得其余各投影。 4. 连接棱面上的交线连接棱面上的交线并判断可见性。并判断可见性。ssc(d )absaabcdbc完成作图完成作图:1.1.将各点连成线将各点连成线2.2.检查漏线和多线检查漏线和多线3.3.判断可见性判断可见性多线擦除多线擦除注意不可见的线7-1-3 平面与曲面立体相交平面与曲面立体相交一一 、 概述概述 平面与曲面立体的交线一般为封闭的平面曲线。平面与曲面立体的交线一般为封闭的平面曲线。 截交线上的点是曲面上的素线与截平面的交点。截交线上的点是曲面上的素线与截平面的交点。曲面体曲面体截交线的性质：截交线的性质： 1、封闭的平面图