福建省三明市高三5月质检理科数学试题及答案

1、2015年三明市普通高中毕业班质量检查理 科 数 学 本试卷分第i卷(选择题)和第ii卷(非选择题)，第ii卷第21题为选考题，其他题为必考题本试卷共6页满分150分考试时间120分钟注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2考生作答时，将答案答在答题卡上请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试题卷上答题无效. 3选择题答案使用2b铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用05毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚 4做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2b铅笔在答题卡上把所

2、选题目对应的题号涂黑5保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回参考公式：样本数据，的标准差 锥体体积公式 其中为样本平均数 其中s为底面面积，h为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式 ，其中s为底面面积，h为高 其中r为球的半径 第卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合，那么等于a b c d2已知样本m的数据如下：80，82，82，84，84，84，86，86，86，86，若将样本m的数据分别加上4后得到样本n的数据，那么两样本m，n的数字特征对应相同的是a平均数 b

3、众数 c标准差 d中位数3已知函数，则是a奇函数 b偶函数c既是奇函数也是偶函数 d既不是奇函数也不是偶函数4已知数列的前项和，则数列的前10项和为a b c d5设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且，则“”是“”的a充分不必要条件 b必要不充分条件 c充分必要条件 d既不充分也不必要条件6已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，若侧视图的面积为，三棱锥的体积为，则的值为ab c d17已知，那么函数的图象不可能是ab c d8已知函数将函数的零点按从小到大的顺序排列，构成数列，则该数列的通项公式为a bc dan2n29已知区域，区域，在内随机投掷一点

4、，则点落在区域内的概率是a b c d10若曲线在点处切线的斜率为，曲线在点处切线的斜率为（），将的值称为这两曲线在，间的“异线曲度”，记作现给出以下四个命题：已知曲线，且，则；存在两个函数，其图像上任意两点间的“异线曲度”为常数；已知抛物线，若，则；对于曲线，当时，若存在实数，使得恒成立，则的取值范围是其中正确命题的个数是 a1 b2 c3 d4第卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在答题卡相应位置11二项式的展开式中，的系数是，则实数_12某学校为调查高中三年级男生的身高情况，选取了名男生作为样本，右图是此次调查统计的流程图，若输出的结果是，则

5、身高在以下的频率为13若命题“”为假命题，则实数的取值范围 是 14过双曲线 的一个焦点作一条渐近线的垂线，若垂 足恰在线段(为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 15如图，三条平行直线把平面分成、四个区域（不含边界），且直线到的距离相等点 在直线上，点在直线上，为平 面区域内的点，且满足 若所在的区域为,则的取值范围是是 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分）已知集合，从中随机抽取两个不同的元素，作为复数(为虚数单位)的实部和虚部（）求复数在复平面内的对应点位于第一象限的概率；（）设，求的分布列及其数学期望.17（本小题满

6、分13分）如图1，在矩形中，将沿矩形的对角线翻折，得到如图2所示的几何体，使得() 求证：；() 若在上存在点，使得，求二面角的余弦值图1图218.（本小题满分13分）已知点在以为右焦点的椭圆上，斜率为1的直线过点与椭圆交于两点，且与直线交于点() 求椭圆的离心率；() 试判断直线，的斜率是否成等差数列？若成等差数列，给出证明；若不成等差数列，请说明理由19（本小题满分13分）如图是某种可固定在墙上的广告金属支架模型，其中，是的中点，设，且() 若，求的长；() 求的长，并求的最小值；() 经市场调查发现，某地对该种金属支架的需求量与有关，且需求量的函数关系式为（单位：万件），试探究是否存在某

7、种规格的金属支架在当地需求量为零？并说明理由20（本小题满分14分）已知函数（）当时，求函数的单调区间；（）当时，函数图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数的取值范围（）将函数的导函数的图象向右平移一个单位后，再向上平移一个单位，得到函数 的图象，试证明：当时， 21本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分如果多做，则按所做的前两题记分作答时，先用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中 （1）（本小题满分7分）选修42：矩阵与变换已知矩阵（）（）当时，求矩阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量；（）当时，曲线在矩阵的对应

8、变换作用下得到曲线：，求的值（2）（本小题满分7分) 选修44：极坐标与参数方程在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)以直角坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（）求曲线的直角坐标方程；（）若是直线与曲线的内部的公共点，求的取值范围（3）（本小题满分7分)选修45：不等式选讲已知不等式的解集与不等式的解集相同（）求，的值；（）求函数的最大值及取得最大值时的值2015年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学试题参考答案及评分标准一选择题：15 bcacb610 ddabc二、填空题：11； 12； 13；14；15；三解答题： 16解：（）从集合中随机抽取

9、两个不同的元素，组成复平面内的对应点有种，其中位于第一象限的点有种，所以所求的概率为.6分（）, 7分,，251013 11分 . 13分17解：（）当时，又，平面，而平面，5分（）如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，由（）知，又，平面，平面，平面平面，过作，则轴， 7分在中，可得故，为中点，设平面的法向量为，则即 9分取，则，又平面的法向量为， 11分则故二面角的余弦值为 13分18解：（）因为点在椭圆上，所以.整理得，即，解得或 (舍)，所以离心率.5分（）直线，的斜率成等差数列，证明如下：由(）知，椭圆直线的方程为代入椭圆方程并整理，得. 6分设，直线，的斜率

10、分别为k1，k2，k3，则有. 8分可知的坐标为所以， 12分.故直线，的斜率成等差数列 13分19解法一：（）在中，已知，由正弦定理得：，故. 2分当时, 故的长为 4分（）在中，已知，由余弦定理得： 5分 7分因为，所以，即，则的最小值为，此时=1，即.9分(用其它方法求出的表达式及最小值酌情给分)（）设x=6,令, ,问题转化为在是否存在的值，使是,10分当时, |sinx|1，必有；当时, ，因为，所以，从而,在恒成立，在区间递减，于是综上，在 ,恒成立，故不存在某种规格的金属支架,在当地需求量为零. 13分解法二：（），（）同解一（）设x=6,，令, ,问题转化为在是否存在x的值，使

11、得使是,10分,令，得,故存在,使得,易知在单调递，在(递减，在递增，故在,注意到,且 , ,这样12分综上：在 ,恒成立，故不存在某种规格的金属支架, 在当地需求量为零13分20解法一：（）当时，故函数的单调递增区间为.3分（）因函数图象上的点都在所表示的平面区域内，则当时，不等式恒成立，即恒成立，、设()，只需即可由，4分() 当时， ，当时，函数在上单调递减，故成立 5分() 当时，由，因，所以， 若，即时，在区间上，则函数在上单调递增，在上无最大值，当时，此时不满足条件； 若，即时，函数在上单调递减，在区间上单调递增，同样在上无最大值，当时，不满足条件7分() 当时，由，故函数在上单调递减，故成立8分综上所述，实数的取值范围是9分（）， 当时，10分 . 令，则.， . ，即. 14分 解法二：（），（）同解一 （）， 当时， 10分 设，当时，结论成立；当时，当时，当时，上式显然成立.当时，；当时，. 14分解法三：（），（）同解一（），当时， 10分以下用数学归纳法证明不等式.当时，左边，右边，不等式成立； 假设当时，不等式成立，即，则 . 也就是说，当时，不等式也成立.由可得，对，都成立. 14分21（1）解：（），令0，得或，当时，由，得，当时，由，得，所以对应特征值为2的一个特征向量是；对应特征值为3的一个特征向量是 4分（）设曲线上的点在矩阵的作