2019高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 圆的方程课件 理

1、考点圆的方程考点圆的方程1.圆的标准方程(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)表示圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程;(2)特别地,以原点为圆心,r(r0)为半径的圆的标准方程为x2+y2=r2.2.圆的一般方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为+=.故有:(1)当D2+E2-4F0时,方程表示以为圆心,以22Dx22Ey2244DEF,22DE知识清单为半径的圆;(2)当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点;(3)当D2+E2-4Fr2,则点P在圆外;(2)若(x0-a)2+(y0-b)2=r2,则点P在圆上;(3)若(x0-a)2+(y0-b)2r2,则点P在圆

2、内.2242DEF,22DE1.方程选择原则求圆的方程时,如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程,常选用标准方程;如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系,常选用一般方程.2.求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤如下:(1)根据题意,选择标准方程或一般方程;(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组;(3)解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程.求圆的方程的方法求圆的方程的方法方法1方法技巧3.求圆的方程时常用到的圆的几个性质(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上;(2)圆心在任一弦的中垂线上;(3)两圆内切或外切时,切点与两圆

3、圆心三点共线.4.常见圆的方程的设法圆心在原点,标准方程:x2+y2=r2;一般方程:x2+y2-r2=0.过原点,标准方程:(x-a)2+(y-b)2=a2+b2;一般方程:x2+y2+Dx+Ey=0.圆心在x轴上,标准方程:(x-a)2+y2=r2;一般方程:x2+y2+Dx+F=0.圆心在y轴上,标准方程:x2+(y-b)2=r2;一般方程:x2+y2+Ey+F=0.与x轴相切,标准方程:(x-a)2+(y-b)2=b2;一般方程:x2+y2+Dx+Ey+D2=0.与y轴相切,标准方程:(x-a)2+(y-b)2=a2;一般方程:x2+y2+Dx+Ey+E2=0.例1(2017广东七校联

4、考,14)一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x上截得的弦长为2,则该圆的方程为.14147解题导引解析解法一:所求圆的圆心在直线x-3y=0上,设所求圆的圆心为(3a,a),又所求圆与y轴相切,半径r=3|a|,又所求圆在直线y=x上截得的弦长为2,圆心(3a,a)到直线y=x的距离d=,d2+()2=r2,即2a2+7=9a2,a=1.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.解法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到直线y=x的距离为,r2=+7,即2r2=(a-b)2+14.由于所求圆与y轴相切

5、,r2=a2,7|2 |2a7|2ab2()2ab又所求圆的圆心在直线x-3y=0上,a-3b=0,联立,解得或故所求圆的方程为(x+3)2+(y+1)2=9或(x-3)2+(y-1)2=9.解法三:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心坐标为,半径r=.在圆的方程中,令x=0,得y2+Ey+F=0.由于所求圆与y轴相切,=0,则E2=4F.圆心到直线y=x的距离为d=,23,1,9abr23,1,9.abr ,22DE12224DEF,22DE222DE由已知得d2+()2=r2,即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F).又圆心在直线x-3y=0上,D-3E=0.联立,

6、解得或故所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0.7,22DE6,2,1DEF 6,2,1.DEF答案x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0涉及与圆有关的最值问题,一般要借助图形性质,利用数形结合和函数思想求解,一般地:(1)形如u=型的,转化为直线斜率的最值问题求解;(2)形如t=ax+by型的,转化为动直线截距的最值问题求解;(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2型的,转化为两点间的距离平方的最值问题求解.例2已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求的最大值和最小值;(2)求y-x的最大值和最小值;(3)求x2+y2的最大值和最小值.ybxayx解决与圆有关的最值问题的方法解决与圆有关的最值问题的方法方法2解题导引解析(1)原方程化为(x-2)2+y2=3,表示以点(2,0)为圆心,为半径的圆.设=k,则y=kx,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最值,此时有=,解得k=,故的最大值为,最小值为-.(2)设y-x=b,则y=x+b,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最值,此时=,解得b=-2.所以y-x的最大值为-2+,最小值为-2-.(3)x2+y2表示圆上一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在