第六章 常微分方程 -例题与练习

1、16 例题与练习例题与练习2( (一一) )可分离变量的方程可分离变量的方程: :(1)分离变量分离变量;(2)两端积分两端积分-隐式通解隐式通解.解法解法:( (分离变量法分离变量法) )dxxfdyyg)()( 一一.基本概念：基本概念：微分方程；微分方程；微分方程的阶微分方程的阶; ;微分方程的解；微分方程的解；通解通解; ;初始条件初始条件; ;特解特解; ;常微分方程；常微分方程；线性微分方程；线性微分方程；常系数线性微分方程；常系数线性微分方程；线性相关线性相关, ,可分离变量的方程；可分离变量的方程；线性无关线性无关; ;齐次线性方程齐次线性方程非齐次线性方程非齐次线性方程; ;

2、 特征方程特征方程, ,特征根特征根. .二二.基本公式和方法基本公式和方法:回顾本章知识内容回顾本章知识内容32.线性非齐次方程线性非齐次方程 dxxPexCy)()(令令1.齐次的方程齐次的方程.)( dxxPCey解法解法:常数变易法常数变易法.0)(的的通通解解为为 yxPdxdy).()(xQyxPdxdy )()()(CdxexQeydxxPdxxP 通解为通解为:(三三).一阶线性方程一阶线性方程（二）齐次方程（二）齐次方程)(xyfdxdy 解法解法 作变换作变换,u xy 4解法解法),(xPy 令令特点特点. y不显含未知函数不显含未知函数),()2(yxfy 型型)()1

3、()(xfyn 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).(,(xPxfP ,)(dxdPxPy ),(yPy 令令特点特点.x不不显显含含自自变变量量),()3(yyfy 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).,(PyfdydpP ,dydpPy ( (四四) )可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程解法解法；降阶法；降阶法接连积分接连积分n次，得通解次，得通解.5(五五)二阶线性微分方程解的性质二阶线性微分方程解的性质0)()( yxqyxpy2211yCyCy 通通解解为为：)()()(xfyxqyxpy *2211yyCyCy 通通解解为为：(六六)二阶常系数齐次微分方程二阶

4、常系数齐次微分方程解法解法:特征方程法特征方程法02 qprr),(0为为常常数数qpqyypy 特特征征根根的的情情况况 通通解解的的表表达达式式实实根根21rr 实实根根21rr 复复根根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 6( (七七) )二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程)(xfqyypy 型型)()() 1 (xPexfmx 解法解法待定系数法待定系数法, )(*xQexymxk 设设 是特征重根是特征重根是特征单根是特征单根不是特征根不是特征根 2,10k型型sincos)()2(xBxAe

5、xfx ,sincos*xDxCexyxk 设设 .1;0是是特特征征方方程程的的单单根根时时不不是是特特征征方方程程的的根根时时 iik7基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.线性方程线性方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构二阶常系数线性齐次方程的解f(x)f(x)的形式及的形式及二阶常系数非齐次二阶常系数非齐次线性方程的解线性方程的解二阶方程二阶方程待定系数法待定系数法特征方程法特

6、征方程法本章主要内容本章主要内容8例例1.求微分方程求微分方程 的通解的通解.0 yy解解:分离变量分离变量dxydy dxydy两边积分两边积分0 ydxdy因因1lnCxy 1Cxey xCeey 1)( 为为任任意意常常数数CCeyx 另解另解: (特征方程法特征方程法)0 yy因为因为 所对应的特征方程为所对应的特征方程为r+1=0,特征根特征根r= -1, 为所求通解为所求通解.)( 为为任任意意常常数数CCeyx 解解三三:代代公公式式9例例2.求微分方程求微分方程 的通解的通解.xyysin 解一解一:齐次方程的通解为齐次方程的通解为因该方程对应的齐次方程因该方程对应的齐次方程

7、的特征方程为的特征方程为0 yy012 r特征根为特征根为irir 21,xCxCYsincos21 又因为又因为,sinsin0 xexyy )1, 0( 其中其中ii恰是特征单根恰是特征单根故设特解为故设特解为)sincos(xBxAxy 代入原方程得代入原方程得0,21 BAxxycos21 所求通解为所求通解为xxxCxCyYycos21sincos21 10解二解二: 该方程对应的齐次方程该方程对应的齐次方程 的的通解为通解为xCxCYsincos21 0 yy因为该方程的自由项因为该方程的自由项f(x)=sinx为为 的虚部的虚部ixe可设辅助方程可设辅助方程)0(ieeyyixx 由于由于 恰是特征方程恰是特征方程 特征单根特征单根012 ri 设设 为为的一个特解的一个特解.ixpAxey 将其代入将其代入整理得整理得12 iA2iA 即即ixpAxey ixxei2 )sin(cos2xixxi )cos21(sin21xxixx 11xxycos21 为方程为方程 的一个特解的一个特解xyysin 所求通解为所求通解为xx