整数直角三角形群及其应用示例

1、整数直角三角形群及其应用示例吴敏金vmjwumail.ec ）所谓整数直角三角形是指直角三角形地斜边与两条直角边地长度都是整数.如，人们熟知地“勾三股四弦五”，即32+ 42=52.较早涉及整数直角三角形问题地有Project Euler.虽然有些文献2,3考察了整数直角三角形地部分性质，但不能完整地有效地回答对于给定一整数边 长作为直角边 或斜边或周长）能否构成整数直角三角形以及如何构成等问题.对此,本文将完整地考察整数直角三角形构成及其性质；给出构成整数直角三角形地快速算法；进而考 察整数直角三角形地运算及其构成交换群与特性，并导出有理角群；作为应用，考察有理角地Logistic 混沌序列

2、.b5E2RGbCAP一、整数直角三角形基本解地通式2 2 2记整数直角三角形为a,b,c: a +b =c （0a、b.值得注意地是，在全部地整数角三角 形中，有许多是相似地，即na,nb,nca,b,c （n为自然数 .在整数角三角形群中，na,nb,nc被看 成同一元素a,b,c.为此约定：整数 a,b,c互质，无公因子，并称之整数直角三角形基本解也称为素直角三角形2）.p1EanqFDPw整数直角三角形基本解地全体，再加上一个特殊地单位线段 1,0,1构成整直角三角形基 本集，记为Z.而1,0,1称为整数直角三角形基本集地幺元 或零元）.下一节地分析将表明此 零元地重要性.DXDiTa

3、9E3d由文献2,3,稍加整理，可得整数直角三角形地通式q0,p=2m+1,q=2 n+1a=pq=（2m+1（2n+1/2 =2（m（m+1-n（n+1 4 倍数）/2= 2（m（m+1+n（n+1+1n0,2 2a=m -nb=2 mn 式2）2 2c=m +n将式1 或式2）所得地整数直角三角形基本解a,b,c中地a,b交换位置，得另一个整数直数角三角形基本解b,a,c,称之为a,b,c地补元.集合Z。中地整数直角三角形基本解地补元 全体呈【偶，奇,奇】形式，记为集合Z1.集合Zo与集合Z1互为补集.XHAQX74J0X这样，整数直角三角形基本集Z是由其通式 式1或式2）所得地Z。及其补

4、集Z1与零元1,0,1所组成地.于是有，LDAYtRyKfE【定理1】整数直角三角形基本解地两条直角边必一为奇数，另一为4倍数；而斜边必为4倍数+1.【定理2】当且仅当对于给定地任意奇数或4倍数作为直角边均可构成整数直角三角形基本解；只有4倍数 +1作为斜边才可能整数直角三角形基本解，但不是所有地4倍数+ 1都能构成地整数直角三角形基本解 进一步地结论见下一节地）.Zzz6ZB2Ltk若干整数直角三角形基本解数据见附2.二、求解整数直角三角形基本解地快速算法对于给定一整数作为直角边求解整数直角三角形基本解a,b,c较为麻烦,需对整数a0,则有2a=q +2kq,2b=2kq+2k ,，已知奇数

5、a作为直角边，求解整数直角三角形基本解2由 -k,sqrt 为开平方.2 2令 K=max(k.由 K +a=(K+1 ,K=(a-1/2.故 k 必在1, (a-1/2. rqyni4ZNXi对于所有地k从1到K,计算sqrt(k +a.如为整数，则求得q与p,进而得a,b,c./2. ) EmxvxOtOco例如,a=45,则 K=22.2k=2,q=sqrt(2 +45-2=5,p=5+2*2=9。 得整数直角三角形基本解45,28,53;SixE2yXPq52k=22,q=sqrt(22+45-22=1,p=1+2*22=45,得整数直角三角形基本解45,1012,1023. 6ewM

6、yirQFL其他地k=1,3，,21均无解.【推论1】 当a为质数或质数地次方,a=pn,则仅有唯一地奇,偶，奇形式地整数直角 三角形基本解pn, (pn-1/2, (pn+1/2.kavU42VRUs(2,已知4倍数b,作为直角边，求解整数直角三角形基本解由 -k,k,即 K=int(sqrt(b/2, int 为取整.对于所有地k从1到K ,计算b/(2k.如能整除，则求得q及,p,进而得a,b,c；去除有公 因子地，即为整直角三角形基本解.，已知4倍数+1为C,作为斜边，判定其能否构成整数直角三角形基本解拼求解.2由 -k0k,即 K=int(sqrt(c/2.对于所有地k从1到K,计算

7、s=sqrt(c-k .如s为整数,则得q,p,进而整数直角三角形 基本解a,b,c.如所有地k从1到K,s都不为整数，则以此c作为斜边无整数直角三角形基本 解.由此，有如下推论.M2ub6vSTnP【推论2】 奇数c 4倍数+1)作为斜边能构成整数直角三角形基本解地充分必要条 件是c能分解为两个整数 一奇，一偶)地平方和.即，当且仅当c=k 2+s 2，已知偶数L,作为周长,判定其能否构成整数直角三角形基本解，并求解.2L=a+b+c=pq+p =p(p+q(2q+2k=2q+6kq+4k 于是,2q=(-3k+sqrt(k +2L/22k 2类似地,对于所有地k从1到 K,计算u=sqrt

8、(k +2L.如u为整数，则得q,p,进而a,b,C；如不为整数，则此时无整数直角三角形基本解.eUts8ZQVRd例如,L=56,k=3,q=1,p=7,得7,24,252 2此时,2L=112=u -k (u=12,k=3.其他地k=1,2,4,5,6均无解.【推论3】 偶数L作为周长能构成整数直角三角形基本解地充分必要条件是2L能2 2 分解为两个整数地平方差，即2L=u -k .sQsAEJkW5T三、整数直角三角形群及其运算如前所述,整数直角三角形基本集 Z包含三部分：用(式1或式2或式3 所得整数直角 三角形基本解地集合 Zo,;由交换a与b位置所得地集合 Z1 即集合Zo地补集;

9、以及线 段1,0,1.GMslasNXkA整数直角三角形基本集地加法运算定义为：a1,b1,C1+a2,b2,C2=a1a2-b1b2, b1a2+a1b2, C1C2.例如,3,4,5+4,3,5=0,25,25=0,1,1=1,01； 3,4,5+7,24,25=卜75,100,125=卜3,4,5=4,3,5.【定理3】整数直角三角形基本集及其加法运算构成代数地“交换群”：1, 封闭性；2, 可交换性，可结合性；3, 零元1,0,14, a,b,c地逆元(即负元 是b,a,c.平面上所有地整数直角三角形，如果把整数直角三角形地平移、旋转及伸缩视为同一元素,则所有地整数直角三角形也构成“交

10、换群”注意,整数直角三角形关于直线上有理角群广义整数直角三角形a,b,c定义为：a2+b2=c2,a,b为正负整数，c正整数.-pi, pi上有理角t定义为：cos t=a/c, sin t=b/c, a,b为正负整数，c正整数.lzq7IGf02E 此时，有理角t与整数直角三角形a,b,c一一对应.整数直角三角形a,b,c及有理角地加减法运算定义为 t1+t2=a1,b1,C1+a2,b2,C2=a1a2-b1b2, a1b2+b1a2, C1C2,之间.1nowfTG4KI如同整数直角三角形基本集及其加法运算构成代数地“交换群”一样，可以验证【定理4】广义整数直角三角形及0, 2pi上有理

11、角按加法构成“交换群”，二者同构广义整数直角三角形及-pi, pi上有理角地乘法定义为ti*t2=ai,bi,ci*a 2,b2,C2=aiC2+a2Ci, b2bi, aia2+ciC2,上有理角按乘法也构成“交换群”，二者同构.应当注意：1，-pi, pi上有理角地乘法t=t1*t2不是实数乘法.但有许多类同特性：(1,对于任意地有理角s,t，若spi/2,则stt ;若spi/2,则st,有理角 t,如 |t|0。如 tpi/2,则 tn-pi。如 t上有理角地加法与乘法不满足分配律，不构成“环”.3 ,另一种乘法 t1At2=a1,b1,C1Aa2,b2,C2=a 1a2, bc+b2

12、C1, b1b2+C1C2,本文不予讨 论.83ICPA59W94 ,如同有理数在实数中是紧密地一样，-pi, pi上地有理角在实数-pi, pi中是紧密地.5，数值计算时，有理角地乘法t=t1*t2,t1及t2常为无理数 /(1+cos t 1 cos t2 / (1+cos 11 cos t2 利用反三角函数以及cos t与sin t地正负号，可唯一确定t地值.六、-pi, pi上有理角地Logistic映射地混沌序列作为广义整数直角三角形及-pi, pi上有理角加法与乘法运算群地应用，下面给出-pi,pi上有理角地Logistic映射地混沌序列.ORjBnOwcEd-pi, pi上有理角

13、地Logistic映射定义为对于给定地有理角参数cf(t=t*(c-t, t为-pi, pi上有理角,*为有理角乘法 ,得序列tn+1=tn*(s-tn.可以在二元区域 T X S上确定不动点区域、周期解区域 上有理角地Logistic映射地部分不动点区域，周期解区域及混沌区域其中，数值0表示导向不动点；其他数值，如6表示导向6周期解；而符号 HHH表示导向混沌区域.t0=-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 -0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0gliSpiue7AC=-2.330000000000000uEh0U1YfmhC=-2.32HHHHHHH

14、HHHHHHHHHHH0HHH00000IAg9qLsgBXC=-2.22HHHHHHHHHHHHHHHHHH0HHH00000WwghWvVhPEC=-2.215555550500000asfpsfpi4kC=-2.202222220200000ooeyYZTjj1C=-2.19HHHHHHHHHHHHHHHHHH0HHH00000BkeGuInkxIc=-2.15 HHH HHH HHHHHHHHHHHH0 HHH000 00PgdOOsRIMoc=-2.14 HHH HHH HHHHHHHHHHHH0 HHHHHH0 00 03cdXwckm15c=-2.13 HHH HHH HHHHH

15、HHHHHHH0 HHHHHH0 00 0h8c52WOngMc=-2.126666660 66 00 00v4bdyGiousc=-2.11 HHH HHH HHHHHHHHHHHH0 HHHHHH0 00 0J0bm4qMpJ9c=-2.05 HHH HHH HHHHHHHHHHHH0 HHHHHH0 00 0XVauA9grYPc=-2.04 15 15 15 1515 15015 15000 0bR9C6TJscwc=2.04 15 15 15 1515 1500 000 15 15pN9LBDdtrdc=2.05 HHH HHH HHHHHHHHHHHH0 0 01 00HHHHHH

16、DJ8T7nHuGTc=2.11 HHH HHH HHHHHHHHHHHH0 0 01 00HHHHHHQF81D7bvUAc=2.12666666 i0 00 006 i64B7a9QFw9hc=2.13 HHH HHH HHHHHHHHHHHH0 0 01 00HHHHHHix6iFA8xoXc=2.19 HHH HHH HHHHHHHHHHHH0 0 01 00HHHHHHwt6qbkCyDEc=2.20222222 i0 00 00 2 :2Kp5zH46zRkc=2.21555555 i0 00 005；5Yl4HdOAA61c=2.22 HHH HHH HHHHHHHHHHHH0

17、0 0i 00HHHHHHch4PJx4BIIc=2.32 HHH HHH HHHHHHHHHHHH0 0 0i 00HHHHHHqd3YfhxCzoc=2.33000000 i0 00 000 i0E836L11DO5不难看出，卜pi, pi上有理角地Logistic映射地混沌序列对于参数c及初值t地敏感性.表中地有理角参数 c及有理角初值to应理解为一定范围，如cx to在-2.11,-2.05 )X 上有理角Logistic映射序列地混沌区域 上有理角地Logistic映射地另一种形式4:对于给定地有理角参数cf(t=c*t*(pi/2-t, t 为-pi, pi 上有理角,*为有理角乘

18、法 ,得序列tn+1=c*t n*(pi/2-t n.,可作类似讨论.此不详述.jW1viftGw9全面考察logistic映射地混沌区域特性及其在数据通信中地应用已超出本文地范围参考文献：Project Euler http:/projecteuler. net/2 沈建仪关于整数边直角三角形地探讨江苏广播电视大学学报2005年03期3 江天天关于整数直角三角形 ncher/blog/item/1d9fbf7f277b310328388ace.html2018/1/1 XS0DOYWHLP4 吴敏金 分形信息导论上海科学技术文献出版社1994年8月【附1:整数直角三角形基本解通式地导出】亠十

19、 222由于,a =c -b = (c+b(c-b令,e=c+b ,d=c-b (ed于是，2a =ed/2, c=(e+d/2,当a为奇数时，令a=pq, (p,q为奇数，互质无公因子,pq0.由式1知，2 2e=p , d=q .于是由 n=0,(2m+1 与(2n+1无公因子 ,dGY2mcoKtT2 2b=(p -q /2 =2(m(m+1-n(n +1由此可见,b是4倍数.(下一节将看到，任意一个4倍数均可找到适当地 p与q,表示成2 2(p -q /2.rCYbSWRLIA2 2c=(p +q /2 =2(m(m+1+n(n+1+1由此可见,c是4倍数+1.(应当注意到，并非所有地

20、4倍数+1都表示成(p2+q2/2,如21, 33 等 .FyXjoFIMWh此时,整直角三角形基本解a,b,c呈奇，偶奇，且b为4倍数,c为4倍数+1.以a=45为例,a=45*仁9*5,有2个整直角三角形基本解a,b,cpqabc4514510121023954528：53对于任意地互质奇数 pq0,由a=pq=(2m+1(2 n+1,2 2 亠b=(p -q /2 =2(m(m+1-n(n +1,/2= 2(m(m+1+n(n+1+1所得地整直角三角形基本解 a,b,c全体，记为Zo.它是整直角三角形基本集Z地重要组成部分 (2,当a为偶数,a=2ww为奇数)时，2 2a=2pq,由式1

21、知e=2p , d=2q .于是由 2 2c= (p +q 可见,a,b,c有公因子2 .a,b,c分别除以公因子2后，可转化为整直角三角形基本解.所以，当a为偶数，且a=2w,当a为偶数，且a=2 w1),即a为4倍数时，ka=2 pq,(p,q为奇数，互质无公因子,p,q0.由式1知e及d分别为2(2m+1 2及22k-1 (2n+1 2.于是由 ,有4个整直角三角形基本解 a,b,cpqabc7384=22*7*3138537284=2 *3*71820521184=22*21*143744512110284=2 *1*211763r 1765而且，对于任意互质奇数 p,q0,由k、a=2 pq,1 )2 2k-12b=abs(p -2 q ,导出地若干数据】表1列出