专题03 因式分解（原卷版）

1、第一篇 数与式专题03 因式分解知识点名师点晴因式分解的概念 就是把一个多项式化为几个整式的乘积的形式 因式分解与整式乘法是互逆运算因式分解是将一个多项式化成几个整式积的形式的恒等变形,若结果不是积的形式,则不是因式分解,还要注意分解要彻底因式分解的方法1提取公因式法：mambmc=m（a+b-c）确定好公因式是解题的关键2公式法：（1）平方差公式：a2b2=（a+b）（a-b）；（2）完全平方公式：a22abb2=（ab）2.要熟记公式的特点,两项式时考虑平方差公式,三项式进考虑完全平方公式化3十字相乘法：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）这个是课后的内容,不做硬性的要求,熟练运

2、用在高中学习就会轻松许多一定要熟记公式的特点 因式分解的步骤一“提”（取公因式）,二“用”（公式）一“提”（取公因式）,二“用”（公式）要分解到不能在分解为止归纳 1：因式分解的有关概念基础知识归纳： 因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做因式分解,因式分解与整式乘法是互逆运算注意问题归纳：1符合因式分解的等式左边是多项式,右边是整式积的形式2因式分解与整式乘法是互逆运算【例1】下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是（）Ax2+2x1=（x1）2B（a+b）（ab）=a2b2Cx2+4x+4=（x+2）2Dax2a=a（x21）归纳 2：提取公因式法分解因式基础知识归纳： 将多项

3、式各项中的公因式提出来这个方法是提公因式法,公因式系数是各项系数的最大条约数,相同字母取最低次幂提取公因式法：mambmc=m（a+b-c）注意问题归纳：1提公因式要注意系数；2要注意查找相同字母,要提净【例2】（2018吉林省,第9题,3分）若a+b=4,ab=1,则a2b+ab2= 【例3】（2018山东省潍坊市,第13题,3分）因式分解：（x+2）xx2= 归纳 3：运用公式法分解因式基础知识归纳：运用平方差公式：a2b2=（a+b）（a-b）；运用完全平方公式：a22abb2=（ab）2注意问题归纳：首先要看是否有公因式,有公因式必须要先提公因式,然后才能运用公式,注意公式的特点,要选

4、项择合适的方法进行因式分解【例4】（2019江苏省无锡市,第3题,3分）分解因式4x2y2的结果是（）A（4x+y）（4xy）B4（x+y）（xy）C（2x+y）（2xy）D2（x+y）（xy）【例5】（2019山东省济南市,第13题,4分）分解因式：m24m+4= 归纳 4：综合运用多种方法分解因式基础知识归纳：因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式公式包括平方差公式与完全平方公式,要能用公式法分解必须有平方项,如果是平方差就用平方差公式来分解,如果是平方和需要看还有没有两数乘积的2倍,如果没有两数乘积的2倍还不能分解解答这类题时一些学生往往因分解因式的步骤、方法掌握不熟练,对一些乘法公式的

5、特点记不准确而误选其它选项注意问题归纳：可以提取公因式的要先提取公因式,注意一定要分解彻底【例6】（2019广州,第13题,3分）分解因式：x2y+2xy+y= 【例7】分解因式：【例8】分解因式：（1）；（2）【例9】分解因式：（1）；（2）；（3）【2019年题组】一、选择题1（2019山东省潍坊市,第6题,3分）下列因式分解正确的是（）A3ax26ax=3（ax22ax）Bx2+y2=（x+y）（xy）Ca2+2ab4b2=（a+2b）2Dax2+2axa=a（x1）22（2019湖北省荆门市,第11题,3分）下列运算不正确的是（）Axy+xy1=（x1）（y+1）Bx2+y2+z2+x

6、y+yz+zx（x+y+z）2C（x+y）（x2xy+y2）=x3+y3D（xy）3=x33x2y+3xy2y33（2019山东省临沂市,第5题,3分）将a3bab进行因式分解,正确的是（）Aa（a2bb）Bab（a1）2Cab（a+1）（a1）Dab（a21）4（2019四川省泸州市,第7题,3分）把2a28分解因式,结果正确的是（）A2（a24）B2（a2）2C2（a+2）（a2）D2（a+2）25（2019台湾,第8题,3分）若多项式5x2+17x12可因式分解成（x+a）（bx+c）,其中a、b、c均为整数,则a+c之值为何？（）A1B7C11D136（2019安徽省,第9题,4分）已

7、知三个实数a,b,c满足a2b+c=0,a+2b+c0,则（）Ab0,b2ac0Bb0,b2ac0Cb0,b2ac0Db0,b2ac0二、填空题7（2019吉林省长春市,第10题,3分）分解因式：ab+2b= 8（2019吉林省,第7题,3分）分解因式：a21= 9（2019云南,第2题,3分）分解因式：x22x+1= 10（2019内蒙古呼和浩特市,第11题,3分）因式分解：x2y4y3= 11（2019内蒙古赤峰市,第15题,3分）因式分解：x32x2y+xy2= 12（2019四川省内江市,第13题,5分）分解因式：xy22xy+x= 13（2019四川省宜宾市,第9题,3分）分解因式：

8、b2+c2+2bca2= 14（2019四川省广元市,第11题,3分）分解因式：a34a= 15（2019广安,第12题,3分）因式分解：3a43b4= 16（2019山东省东营市,第12题,3分）因式分解：x（x3）x+3= 17（2019辽宁省朝阳市,第12题,3分）因式分解：x2+2= 18（2019辽宁省沈阳市,第11题,3分）因式分解：x24y2+4xy= 19（2019山东省威海市,第14题,3分）分解因式：2x22x 20（2019山东省淄博市,第14题,4分）分解因式：x3+5x2+6x= 21（2019广西桂林市,第16题,3分）若x2+ax+4=（x2）2,则a= 22（2

9、019南京,第9题,2分）分解因式（ab）2+4ab的结果是 23（2019金华,第13题,4分）当x=1,y时,代数式x2+2xy+y2的值是 24（2019湖北省咸宁市,第11题,3分）若整式x2+my2（m为常数,且m0）能在有理数范围内分解因式,则m的值可以是 （写一个即可）25（2019湖南省常德市,第15题,3分）若x2+x=1,则3x4+3x3+3x+1的值为 26（2019贵州省毕节市,第16题,5分）分解因式：x416= 27（2019黑龙江省大庆市,第12题,3分）分解因式：a2b+ab2ab= 三、解答题28（2019广西河池市,第20题,6分）分解因式：（x1）2+2（

10、x5）29（2019黑龙江省齐齐哈尔市,第18题,10分）（1）计算：（）16tan60+|24|；（2）因式分解：a2+12a+4（a1）30（2019湖南省湘潭市,第18题,6分）阅读材料：运用公式法分解因式,除了常用的平方差公式和完全平方公式以外,还可以应用其他公式,如立方和与立方差公式,其公式如下：立方和公式：x3+y3=（x+y）（x2xy+y2）立方差公式：x3y3=（xy）（x2+xy+y2）根据材料和已学知识,先化简,再求值：,其中x=331（2019湖北省随州市,第23题,10分）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m,n,我们可将这个两位数记为,易知10m+n；同理,一个三

11、位数、四位数等均可以用此记法,如100a+10b+c【基础训练】（1）解方程填空：若45,则x= ；若26,则y= ；若,则t= 【能力提升】（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字,可得到一个新数,则一定能被 整除,一定能被 整除,mn一定能被 整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时,人类拍摄的首张黑洞照片问世,黑洞是一种引力极大的天体,连光都逃脱不了它的束缚数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数,要求个、十、百位的数字各不相同,把这个三位数的三个数字按大小重新排列,得出一个最大的数和一个最小的数,用得出的最大的数减去最小的数

12、得到一个新数（例如若选的数为325,则用532235=297）,再将这个新数按上述方式重新排列,再相减,像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数,这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ；设任选的三位数为（不妨设abc）,试说明其均可产生该黑洞数【2018年题组】一、选择题1（2018安徽省,第5题,4分）下列分解因式正确的是（）Ax2+4x=x（x+4） Bx2+xy+x=x（x+y）Cx（xy）+y（yx）=（xy）2Dx24x+4=（x+2）（x2）2（2018广西贺州市,第7题,3分）下列各式分解因式正确的是（）Ax2+6xy+9y2=（x+3y）2B2x24xy

13、+9y2=（2x3y）2C2x28y2=2（x+4y）（x4y）Dx（xy）+y（yx）=（xy）（x+y）3（2018山东省济宁市,第5题,3分）多项式4aa3分解因式的结果是（）Aa（4a2）Ba（2a）（2+a）Ca（a2）（a+2）Da（2a）24（2018广西百色,第6题,3分）因式分解x4x3的最后结果是（）Ax（12x）2Bx（2x1）（2x+1）Cx（12x）（2x+1）Dx（14x2）5（2018湖南省邵阳市,第3题,3分）将多项式xx3因式分解正确的是（）Ax（x21）Bx（1x2）Cx（x+1）（x1）Dx（1+x）（1x）6（2018台湾省,第4题,3分）已知某文具店贩

14、售的笔记本每本售价均相等且超过10元,小锦和小勤在此文具店分别购买若干本笔记本若小绵购买笔记本的花费为36元,则小勤购买笔记本的花费可能为下列何者？（）A16元B27元C30元D48元7（2018四川省凉山州,第6题,4分）多项式3x2y6y在实数范围内分解因式正确的是（）AB3y（x22）Cy（3x26）D二、填空题8（2018云南省,第4题,3分）分解因式：x24= 9（2018内蒙古呼和浩特市,第11题,3分）分解因式：a2b9b= 10（2018内蒙古赤峰市,第13题,3分）分解因式：2a28b2= 11（2018四川省宜宾市,第9题,3分）分解因式：2a3b4a2b2+2ab3= 1

15、2（2018四川省巴中市,第12题,3分）分解因式：2a38a= 13（2018四川省德阳市,第13题,3分）分解因式：2xy2+4xy+2x= 14（2018四川省成都市,第21题,4分）已知x+y=0.2,x+3y=1,则代数式x2+4xy+4y2的值为 15（2018四川省攀枝花市,第11题,4分）分解因式：x3y2x2y+xy= 16（2018四川省绵阳市,第13题,3分）因式分解：x2y4y3= 17（2018四川省自贡市,第13题,4分）分解因式：ax2+2axy+ay2= 18（2018山东省威海市,第13题,3分）分解因式：a2+2a2= 19（2018山东省淄博市,第14题,

16、4分）分解因式：2x36x2+4x= 20（2018山东省菏泽市,第10题,3分）若a+b=2,ab=3,则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为 21（2018江苏省苏州市,第14题,3分）若a+b=4,ab=1,则（a+1）2（b1）2的值为 22（2018浙江省杭州市,第13题,4分）因式分解：（ab）2（ba）= 23（2018湖南省株洲市,第13题,3分）因式分解：a2（ab）4（ab）= 24（2018青海省,第2题,4分）分解因式：x3y4xy= ；不等式组的解集是 三、解答题25（2018江苏省无锡市,第20题,8分）（1）分解因式：3x327x；（2）解不等式组：26（201

17、8黑龙江省齐齐哈尔市,第18题,10分）（1）计算：（）2+（）02cos60|3|；（2）分解因式：6（ab）2+3（ab）27（2018浙江省临安区,第22题,6分）阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为ABC的三边,且满足a2c2b2c2=a4b4,试判断ABC的形状解：a2c2b2c2=a4b4 （A）,c2（a2b2）=（a2+b2）（a2b2） （B）,c2=a2+b2 （C）,ABC是直角三角形问：（1）上述解题过程,从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；（2）错误的原因为： ；（3）本题正确的结论为： 28（2018辽宁省大连市,第22题,9分）【观察】149=49,2

18、48=96,347=141,2327=621,2426=624,2525=625,2624=624,2723=621,473=141,282=96,491=49【发现】根据你的阅读回答问题：（1）上述内容中,两数相乘,积的最大值为 ；（2）设参与上述运算的第一个因数为a,第二个因数为b,用等式表示a与b的数量关系是 【类比】观察下列两数的积：159,258,357,456,mn,564,573,582,591（3）猜想mn的最大值为 ,并用你学过的知识加以证明一、选择题1（2019安徽二模,第5题,4分）下列因式分解正确的是（）A12a2b8ac+4a=4a（3ab2c）B4x2+1=（1+2

19、x）（12x）C4b2+4b1=（2b1）2Da2+ab+b2=（a+b）2二、填空题2（2019石景山区二模,第10题,2分）分解因式：a36a2+9a= 3（2019成都石室联中一诊,第11题,4分）分解因式：m2nn3= 4（2019合肥五十中二模,第12题,5分）分解因式：x3y2x2y2+xy3= 5（2019历下区三模,第13题,4分）分解因式：2x38x= 6（2019深圳中考预测一,第13题,3分）分解因式：ab29a= 7（2019玄武区二模,第9题,2分）分解因式（ab）（a9b）+4ab的结果是 8（2019丹东模拟,第9题,3分）因式分解2x24x+2= 三、解答题9（

20、2019大庆三模）若3x2x=1,求代数式6x3+7x25x+2019的值10（2019邯郸模拟）对于实数a,b,表示运算：2a+b,如：（1）列式计算：（2）将式子分解因式11（2019齐齐哈尔一模）因式分解：a243（a+2）12已知a,b,c为ABC的三边,且满足a2c2b2c2=a4b4,试判定ABC的形状13（2019南岸区模拟）如果一个正整数m能写成m=a2b2（a、b均为正整数,且ab）,我们称这个数为“平方差数”,则a、b为m的一个平方差分解,规定：F（m）例如：8=81=42,由8=a2b2=（a+b）（ab）,可得或因为a、b为正整数,解得：,所以F（8）又例如：48=13

21、2112=8242=7212,所以F（48）或或（1）判断：6 平方差数（填“是“或“不是“）,并求F（45）的值；（2）若s是一个三位数,t是一个两位数,s=100x+5,t=10y+x（1x4,1y9,x、y是整数）,且满足s+t是11的倍数,求F（t）的最大值14（2019重庆模拟）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解,如x22xy+y216,我们细心观察这个式子,会发现,前三项符合完全平方公式,进行变形后可以与第四项结合,再应用平方差公式进行分解过程如下：x22xy+y216=（xy）2一16=（xy+4）（xy4）这种分解因式的方法叫

22、分组分解法利用这种分组的思想方法解决下列问题：（1）9a2+4b225m2n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分别是ABC三边的长且2a2+b2+c22a（b+c）=0,请判断ABC的形状,并说明理由15（2019沙坪坝区校级模拟）材料一：一个大于1的正整数,若被N除余1,被（N1）除余1,被（N2）除余1,被3除余1,被2除余1,那么称这个正整数为“明N礼”数（N取最大）,例如：73（被5除余3）被4除余1,被3除余1,被2除余1,那么73为“明四礼”数材料二：设N,（N1）,（N2）,3,2的最小公倍数为k,那么“明N礼”数可以表示为kn+1,（n为正整数）,例如：6,5,4,3

23、,2的最小公倍数为60,那么“明六礼”数可以表示为60n+1（n为正整数）（1）17 “明三礼”数（填“是”或“不是”）；721是“明 礼”数；（2）求出最小的三位“明三礼”数；（3）一个“明三礼”数与“明四礼”数的和为32,求出这两个数16（2019青岛模拟）“十字相乘法”能把二次三项式分解因式,对于形如ax2+bxy+cy2的x,y二次三项式来说,方法的关键是把x2项系数a分解成两个因数a1,a2的积,即a=a1a2,把y2项系数c分解成两个因数,c1,c2的积,即c=c1c2,并使a1c2+a2c1正好等于xy项的系数b,那么可以直接写成结果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（

24、a2x+c2y）例：分解因式：x22xy8y2解：如右图,其中1=11,8=（4）2,而2=1（4）+12x22xy8y2=（x4y）（x+2y）而对于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x,y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解,如图1,将a分解成mn乘积作为一列,c分解成pq乘积作为第二列,f分解成jk乘积作为第三列,如果mq+np=b,pk+qj=e,mk+nj=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都满足十字相乘规则,则原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）；例：分解因式：x2+2xy3y2+3x+y+2解：如图2,其中1=11,3=（1）3,2=12；而2=13+1（1

25、）,1=（1）2+31,3=12+11；x2+2xy3y2+3x+y+2=（xy+1）（x+3y+2）请同学们通过阅读上述材料,完成下列问题：（1）分解因式：6x27xy+2y2= ,x26xy+8y25x+14y+6= ；（2）若关于x,y的二元二次式x2+7xy18y25x+my24可以分解成两个一次因式的积,求m的值（3）已知x,y为整数,且满足x2+3xy+2y2+2x+4y=1,求x,y17（2019莲池区一模）我们生活在一个充满轴对称的世界中,从自然景观到分子结构,从建筑物到艺术作品,甚至日常生活用品,都可以找到轴对称的影子我们把形如aa,bcb,bccb,abcba的正整数叫“轴对称数”,例如：33,151,244256765,（1）写出一个