2020高考数学难点题型拔高练(二)(理)(含解析)

1、难点题型拔高练(二)1.已知 A, B, C, D四点均在以点 O为球心的球面上，且 AB= AC= AD= 2半，BC= BD =4农，CD= 8.若球Q在球O内且与平面 BCD相切，则球 Q直径的最大值为()A. 1B. 2C. 4D. 8解析：选D由题意，得BC+ bD= CD,所以BCL BD,所以 BCD 为等腰直角三角形.如图，设CD的中点为Q则QBCD勺外心，且外接圆半径r = 4.连接AQ BQ因为AC= AD= 2 5，所以AQL CD AQ= 2,又BQ= 4，所以AQ + BQ= aB，所以AQL BQ所以AQL平面 BCD所以球心Q在直线AQ上.设球Q的半径为R则有r2

2、+ 0宀 氏， 即16+ (R- 2)2= R2,解得R= 5.当球Q直径最大时，球Q与平面BCD相切，且与球Q内切， 此时A, Q O, Q四点共线，所以球 Q直径的最大值为 R+ Qg 8.2.已知函数 f(x) = (x a) 3x + a(a0)在1, b上的值域为2 2a, 0，贝U b 的 取值范围是()A. 0,3B. 0,2C. 2,3D. ( 1,32解析：选 A 由题意，得 f (x) = 3(x a) 3 = 3(x a+1)( x a 1).由 f (x) = 0, 得 x= a+1 或 x = a 1,所以当 a 1xa+ 1 时，f(x)0,当 xa+ 1 时，f(

3、x)0, 所以函数f (x)在(a 1, a+ 1)上单调递减，在(g, a 1), (a+ 1, +)上单调递增.又3f (a + 1) = 2a 2 , (a 1) = 2a + 2.右 f ( 1) = 2a 2 即(1 a) + 3+ a = 2a 2, 则 a= 1，此时 f (x) = (x 1) 3x+ 1，且 f(x) = 4 时，x = 1 或 x = 2；由 f (x) = 0,解得x= 0或x = 3.因为函数f (x)在1, b上的值域为4,0，所以0W bw 3.若f( 1)2a 2,因为a0,所以a11,要使函数f (x)在1,b上的值域为2 2a,0,f 1/ 2

4、a 2,需 a+1 w b,此时 a 1 1, b，所以 ci ”卄f a1辻，1 a + 3 + a 2a 2, 即无解综上所述，b的取值范围是0,3.2a + 2W 0,3.在平面四边形 ABCDh AB= 1, AC= 5 ,BDL BCBD= 2BC则AD的最小值为 n解析：设/ BAC= a，/ AB= 3 ( 3 (0 , n )，则/ ABC= 3 +三.在厶 ABC中，由余弦定理，得 bC= aB+ aC 2AB- ACcos a = 6 2：5cos a，由正弦定理，得BCsin asinAC5sin，即 BC=-n3+勺a ,cos 3 -.仁 ABD中,由余弦定理，得aD

5、= aB + dB 2AB DBCos 3=1 + 4BC 4BGCos 3 = 1+ 4(6 2 5cos aJ5si n a厂)40T3 cos 3=255cos a4 5sin a = 25 20sin( a + 0 )(其中 sin0 =, cos 0 =5，所以当sin( a + 0 )=1，即 sin a,cos a 5,AD取得最小值5,所以AD的最小值为 5.答案：. 54.椭圆E:F,上、下顶点分别是 B, C, |AB2孑+=1(ab0)的右顶点为 A,右焦点为=.7，直线CF交线段AB于点D,且I BD = 2| DA(1)求E的标准方程；是否存在直线I，使得I交椭圆于M

6、 N两点，且F恰是 BMN勺垂心？若存在，求l的方程；若不存在，说明理由.解：法一：由题意知 F( c, 0) , A(a, 0) , B(0 , b),C(0， b),所以直线AB的方程为J= 1,直线CF的方程为b= 1,x ya+b=1, 由c-2ac得, xd=A A因为 IBD = 2| DA，所以 BD = 2 DA, 2 2ac 2所以 BD = 31 BA|，得 a+c=3a,解得 a= 2c,所以 b=a2 c2= , 3c.因为 | AE| = ,.7，即Ja? + b = , 7,所以亠J7c =7,所以 c= 1, a= 2, b= .3,2 2所以椭圆E的标准方程为x

7、4+ 3 =1.法二：如图，设椭圆 E的左焦点为 G连接BG由椭圆的对称性得 BG/CF即IGF = 2| FA| , 由题意知F(c, 0)，则| GF = 2C, | FA = a c,所以 2c= 2( a c)，得 a= 2c,所以 b= a2 c2 = , 3c.因为 |AB = 7,即 a2 + b2 = 7,即天=7, 所以 c= 1, a= 2, b= . 3,2 2所以椭圆E的标准方程为牛+ 3 = 1.假设存在直线l，使得F是厶BMN垂心，连接BF,并延长，连接 MF并延长，如图，贝U BF! MN MFL BN由(1)知，B(0 ,3) , F(1,0),所以直线BF的斜

8、率kBF=3,易知I的斜率存在，设为k，则kBF k = 1,所以设I的方程为y=x + m, M1,屮),N(x2,椚,3丫=亍+ m 由22x y + -= 1,.43消去 y 得 13x2 + 8 3m灶 12(吊3) = 0,由 = (8Wm24X 13X 12( m 3)0 得,3939m 因为M! BN 所以 MF BN = 0,因为 MF = (1 X1, y , BN= (X2, y23), 所以(1 X1)X2 y1( y23) = 0,1 亍X2 +即(1 Xl)X2 i+ m1+ m = 0,整理得 j1 m(X1 + X2) 3x1x2 m+ _ 3m= 0,I 3丿3

9、寻-警-4X1X2.所以 整理得 21mi- 5&m- 48= 0,解得 m= ：.：;3或 n=.当n= 3时，M或N与B重合，不符合题意，舍去;当 n=-磐时，满足一-|9n-39.2 133所以存在直线l，使得F是厶BMW垂心，I的方程为丫二壬仪5.已知函数 f(x) = (ax2 + 2ax + 1)ex-2.(1)讨论f(x)的单调区间；1 若a-7，求证：当x0时，f (x)0 , f (x)0，所以f (x)的单调递增区间为(8,+ ).2 当 a0 时， = (4 a) 4a(2 a+ 1) = 4a(2a 1), (i )当 a2时， 0,令 u(x)所以当 x ( 8, X

10、1)U (X2,+8)时，u(x)0 , f(x)0,当 x (X1, X2)时，u(x)0 , f ( x)0 ,所以f(X)的单调递增区间为一8, 2a 2a , 2a+ 2a ,+8 ，单调当 a0,令 u(x) = 0,得 X1 =aa(ii)当 00, f (x) 0, 所以f (X)的单调递增区间为(一8,+8 ).所以f(x)的单调递增区间为所以当 x (x2, xj 时，u(x)0 , f(x)0,当 x ( 8, X2) U (X1,+8)时，u(x)0 , f (x) 2时，f(x)的单调递增区间为2已+2a a,+o，单调递减区间为-2a- 2a - a - 2a+ 2a - a a ，1当Ow aw 2时，f (x)的单调递增区间为(o,+o)；当a0时,x 2e (x + 2x) 0,1所以当a0时，f (x)0时,x 2 ce x + 2x7x+ e 2w 0,即证当 x0 时，ex(x2 +