微分经济数学赵树嫄课件

1、蚌埠学院 高等数学2021-10-111一、微分的概念一、微分的概念 二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用四、微分在估计误差中的应用四、微分在估计误差中的应用 第二章 蚌埠学院 高等数学2021-10-112 恩格斯在自然辩证法中，对微分作了一个形象的解释： 硫磺在一定温度下被蒸发为硫磺气，取一块正方形硫磺薄板，放入容器，立刻降低容器内的温度，则硫磺气凝固为硫磺，一部分附着于薄板，设薄板的一对相邻的两边和两面均被某种不能附着硫磺的物质遮盖，再设另一对相邻两边的那一层硫磺分子，而误差就是附着在角点的一个硫磺分子。因为两条直线上的分子很多，误差的这一

2、个分子和它们相比，是微不足道的。蚌埠学院 高等数学2021-10-113边长由一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: :一块正方形金属薄片受温度变化的影响,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为 x , 面积为 A , 则,2xA0 xx面积的增量为220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x关于关于x 的的线性主部线性主部高阶无穷小高阶无穷小0 x时为时为故xxA02称为函数在 的微分0 x当 x 在0 x取得增量x时,0 x变到,0 xx其蚌埠学院 高等数学2021-10-114的微分微分,定义定义: :若函数)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00

3、 xfxxfy( A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数)则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xf0 x点记作yd,df或即xAyd)( xoxA在点0 x可微可微, ,注注1：;)(,0有关和但与无关的常数是与xxfxA;的线性函数是自变量的改变量 xdy注注2：蚌埠学院 高等数学2021-10-115定理定理: :函数证证: :“必要性必要性” 已知)(xfy 在点 可微,0 x则)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在点 的可导,0 x且)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x

4、且, )(0 xfA即xxfy)(d0蚌埠学院 高等数学2021-10-116定理定理: :函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 线性主部线性主部 即xxfy)(d0在点 的可导,0 x)0)(0时 xf则蚌埠学院 高等数学2021-10-117).(.0 xfA 可可微微可可导导.)(),(,)(dxxfdyxdfdyxxfy即或记作微分称为函数的的微分在任意点函数注注1：,)

5、(dxxfdy).(xfdxdy.2微商导数也叫该函数的导数之商等于与自变量的微分：函数的微分注dxdy函数的变化率问题函数的增量问题微分微分:导数导数:注注3：导数与微分的区别蚌埠学院 高等数学2021-10-118注注4：0)(0 xf时 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x时yyd很小时,有近似公式xyyd与是等价无穷小,当故当蚌埠学院 高等数学2021-10-119微分的几何意义xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydxtan当 很小时,xyyd，时当xy 则有xxfyd)(d从而)

6、(ddxfxy导数也叫作微商切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,为称 x记作xdxyxd记)(xo 蚌埠学院 高等数学2021-10-1110例如例如, ,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctanxy ydxxd112基本初等函数的微分公式 (见 P115表)又如又如, ,蚌埠学院 高等数学2021-10-1111二、二、 微分运算法则微分运算法则设 u(x) , v(x) 均可微 ,则)(d. 1vu )(d. 2uC(C 为常数)(d. 3vu)0()(d. 4vvu分别可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分为xyyxddxxufd

7、)()(uduufyd)(d微分形式不变性微分形式不变性5. 复合函数的微分则复合函数vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv的微分形式总是不变。函数是自变量还是中间变量无论)(,ufyu结结论论：蚌埠学院 高等数学2021-10-1112例例1., )1(ln2xey求 .dy解解: :211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeexxxd12222xe例例2. 设,0)cos(sinyxxy求 .dy解解: :利用一阶微分形式不变性,有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(c

8、osyxxyxyxsin)sin(蚌埠学院 高等数学2021-10-1113例例2. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()2(221xtsin1CC说明说明: : 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.注意注意: : 数学中的反问题往往出现多值性.例如)(22 44)(22)(4sin22)sin(k2422蚌埠学院 高等数学2021-10-1114三、三、 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用)()(0 xoxxfy当x很小时,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原则使用原则:

9、:;好算)(, )() 100 xfxf.)20靠近与xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:蚌埠学院 高等数学2021-10-1115特别当xx,00很小时,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式: :x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x证明证明: : 令)1 ()(xxf得, 1)0(f)0(f很小时,当 xxx1)1 (蚌埠学院 高等数学2021-10-1116180dx29sin的近似值 .解解: :设,sin)(xxf取300 x,629x则1802918029sin6sin6cos2123)0

10、175. 0(485. 0)180(例例4. 求29sin4848. 029sin蚌埠学院 高等数学2021-10-11175245的近似值 .解解: :24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048. 3例例5. 计算xx1)1 (蚌埠学院 高等数学2021-10-1118例例6. 有一批半径为1cm 的球, , 为了提高球面的光洁度,解解: :已知球体体积为334RV镀铜体积为 V 在01. 0, 1RR时体积的增量,VVVd01. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因此每只球需用铜约为16. 113. 09 . 8( g )用铜多少

11、克. )cmg9 . 8(3:铜的密度估计一下,每只球需要镀上一层铜, 厚度定为 0.01cm , 蚌埠学院 高等数学2021-10-1119四、微分在估计误差中的应用四、微分在估计误差中的应用某量的精确值为 A , 其近似值为 a ,aA称为a 的绝对误差绝对误差aaA称为a 的相对误差相对误差若AaAA称为测量 A 的绝对误差限绝对误差限aA称为测量 A 的相对误差限相对误差限蚌埠学院 高等数学2021-10-1120误差传递公式误差传递公式 : :已知测量误差限为,x按公式)(xfy 计算 y 值时的误差yydxxf)(xxf)(故 y 的绝对误差限约为xyxf)(相对误差限约为xyxf

12、xfy)()(若直接测量某量得 x ,蚌埠学院 高等数学2021-10-1121例例7. 设测得圆钢截面的直径 mm,0 .60D测量D 的 绝对误差限,mm05. 0D欲利用公式24DA圆钢截面积 ,解解: : 计算 A 的绝对误差限约为DAADD205. 00 .602715. 4 A 的相对误差限约为242DDADADD20 .6005. 02%17. 0试估计面积的误差 . 计算(mm)蚌埠学院 高等数学2021-10-1122内容小结内容小结1. 微分概念 微分的定义及几何意义 可导可微2. 微分运算法则微分形式不变性:uufufd)()(d( u 是自变量或中间变量 )3. 微分的

13、应用近似计算估计误差蚌埠学院 高等数学2021-10-1123思考与练习思考与练习1. 设函数)(xfy 的图形如下,试在图中标出的点0 x处的yy ,d及,dyy 并说明其正负 .yd0 xx00 xxyoy00yyd蚌埠学院 高等数学2021-10-11242.xxeed )d(arctanxe211xd xxee21xxsindtand. 3x3secxxd2sin) (d. 4Cx2cos215. 设)(xyy 由方程063sin33yxyx确定,.d0 xy解解: :方程两边求微分,xx d32当0 x时,0y由上式得xyxd21d0求yy d32xxd3cos30d6y得蚌埠学院

14、高等数学2021-10-11256. 设 ,0a且,nab 则nnba1nanba作业作业 P122 1 ; 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 4 ; 5; 8(1) ; 9(2) ; 12蚌埠学院 高等数学2021-10-1126基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式dxxfdy)( 先先计算函数的计算函数的导数导数, , 再再 乘以自乘以自变量的微分变量的微分. .xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(

15、0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( arc蚌埠学院 高等数学2021-10-1127解法解法2另例另例解解法法1.),12sin(dyxy求求设设 . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx )12cos(2 )12sin( xxdxdyy.)12cos(2dxxdy 另例另例.),ln(2dyexyx求求设设 解解)1(11)1ln(22