二次函数专题教案和典型习题

1、二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分基础知识1.定义：一般地，如果y ax2 bx c(a, b,c是常数，a 0)，那么y叫做x的二次函数.2.二次函数y2ax的性质(1)抛物线2y ax的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数yax2的图像与a的符号关系.当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点;当a0时 抛物线开口向下顶点为其最高点.(3 )顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为ax2（ a 0）.3.二次函数 yax2 bx c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.4.二次函数yax2 bx c用配方法可化成：y a xh2k的形式，其中4ac b24a5.二次函

2、数由特殊到一般，可分为以下几种形式：yax22； y ax k ；2 2 yaxh : yaxh k ；2 y ax bx c.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当0时，开口向下;a相等，抛物线的开口大小、形状相同平行于y轴(或重合)的直线记作 xh.特别地，y轴记作直线0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同8.求抛物线的顶点、对称轴的方法2(1)公式法：y axbx c2b2a，顶点是(4ab 4ac b2）2a 4a 对称轴是直线x2a(2

3、)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y ax h 2 k的形式，得到顶点为(h, k)，对称轴是直线x h.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9.抛物线yax2 bx c中，a,b,c的作用(1) a决定开口方向及开口大小，这与y ax2中的a完全一样.(2) b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y ax2 bx c的对称轴是直线x ，故：b 0时，对称轴为y轴；-0 (即a、b同号)时，对称轴 2aa在y轴左侧

4、；-0 (即a、b异号)时，对称轴在 y轴右侧.a(3) c的大小决定抛物线 y ax2 bx c与y轴交点的位置.当x 0时，y c,抛物线y ax2 bx c与y轴有且只有一个交点(0, c)： c 0 ,抛物线经过原点；c 0,与y轴交于正半轴； c 0 ,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2y ax当a 0时开口向上当a 0时开口向下x 0 (y 轴)(0,0)y ax kx 0 ( y 轴)(0, k).2y ax hx h(h,0)2y a x hkx

5、h(h, k)y ax2 bx cbx2a/ b 4ac b2(c ，)2a4a11. 用待定系数法求二次函数的解析式(1 )一般式：y ax2 bx c.已知图像上三点或三对 x、y的值，通常选择一般式（2 ）顶点式：y ax h 2 k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式（3 ）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x2，通常选用交点式：y ax x1 x x2 .12. 直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线 y ax2 bx c得交点为（0, c）.（2）与y轴平行的直线x h与抛物线y ax2 bx c有且只有一个交点（h , ah 2 bh c）.（3 ）抛物线与x轴的交点二次函数y

6、ax2 bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标 x1、x2，是对应一元 二次方程ax2 bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一 元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点0抛物线与x轴相交； 有一个交点（顶点在 x轴上）0抛物线与x轴相切； 没有交点0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（3） 一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐k的两个实数根.2 .ax bx c a 0的图像G的标相等，设纵坐标为 k，则横坐标是ax2 bx c（5）次函数y kx n k 0的图像I与二次函数yy kx n交点，由方程组彳2的解的数

7、目来确定：方程组有两组不同的解时ax bx cI与G有两个交点；方程组只有一组解时I与G只有一个交点；方程组无解时 I与G没有交点.（6 ）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线ax2 bx c与x轴两交点为A x1?0，2B x2,0，由于x1 x2是方程axbx c0的两个根，故X1X2bc,X1 X2aaAB x1X2片 x2 2_ x1 x2 2 4x1x22b 4cb2 4ac第二部分典型习题1 .抛物线y= x2+ 2x 2的顶点坐标是(D )A. (2, 2)B. (1, 2) C. (1, 3)D. ( 1 , 3)2 .已知二次函数y ax2 bx c的图象如图所示，则下列结

8、论正确的是(C )D. abv 0, cv 0A. ab0, c0 B. ab0, cv 0 C. abv 0, c0第2 , 3题图D第4题图函数的图象大致为(D )EF 8 2x,Cx2 4x5 .抛物线y x22x3与x轴分别交于A B两点，贝U AB的长为_43 .二次函数y= ax2+ bx+ c的图象如图所示，则下列结论正确的是(D )A. a0,bv 0,c0B. av 0,bv0,c0C. av 0,b 0,c v 0D. a v 0,b0,c 04 .如图，已知 ABC中，BC=8 BC上的高h 4 , D为BC上 一点，EF/BC，交AB于DEF的面积y关于x的点E,交AC

9、于点F (EF不过A、B),设E到BC的距离为x ,则6.已知二次函数y= kx2+ (2k 1)x 1与x轴交点的横坐标为 洛、x2 ( xv x2),则对于下列结论：当 x = 2时，y = 1;当xx2时，y0;方程kx2+ (2k1)x 1= 0有1+ 4k 2两个不相等的实数根 x1、x2 :x1v 1 , x2 1 :x2为=,其中所有正k确的结论是(只需填写序号).7.已知直线y 2x b b 0与x轴交于点 A,与y轴交于点 B； 抛物线的解析式为2y x b 10 x c.(1 )若该抛物线过点 B,且它的顶点 P在直线y 2x b上，试确定这条抛物线的解析式；(2) 过点B

10、作直线BC丄AB交x轴交于点C,若抛物线的对称轴恰好过 C点，试确定直线y 2x b的解析式b 16b 100)，由题意得解: (1) y x210或 y x2 4x 6将(0, b)代入，得c b 顶点坐标为(一102b 102b216b 100，解得D410,b26.(2) y 2x 28.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为y，且y是x的二次函数，已知输入值为2,0, 1时，相应的输出值分别为5,3, 4 (1)求此二次函数的解析式；(2 )在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值 y为正数时输入值x的取值范围.解：(1)设所求二次函数的解析式为y ax2 b

11、x c,a( 2) b( 2) c 5c3a1即2ab4,解得b2ab1c3则 a 02 b 0 ca b c 43 ,故所求的解析式为：y2 x2x 3.(2)函数图象如图所示由图象可得，当输出值y为正数时，输入值x的取值范围是x1 或 x 3 9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体温变化情况 相同.他们将一头骆驼前两昼夜的体温变 化情况绘制成下图请根据图象回答： 第一天中，在什么时间范围内这头骆驼第9题225 , BC的体温是上升的？它的体温从最低上升到最高需要多少时间第三天12时这头骆驼的体温是多少 ？兴趣小组又在研究中

12、发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式.解：第一天中，从 4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时第三天12时这头骆驼的体温是 39 C1 2 y x2 2x 24 10 x 221610.已知抛物线yB两点，与y轴交于点C.是否存在实数a,使得 ABC为直角三角形.若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.解：依题意，得点 C的坐标为（0, 4）.设点A B的坐标分别为（x-i , 0） , （ x2 , 0）,24由ax (3 3a)x 40,解得4点A、B的坐标分别为(-3 , 0) (, 0).3aAB | 3|, ACAO2 OC2

13、 5 ,3aBC . BO2 OC2. |4 |2 42 .V 3a242164AB2 |3|22 2 393a9a23a2216AC225, BC2-6t 16.9a2169a2i当 AB2 AC22BC 时，/ ACB= 904与x轴交于A、43a162 5(9616).non 由 AB AC BC , 得卑8 99a a1解得a 1.44009116262524时，点B的坐标八5，0)，AB -9-，ac于是 AB2 AC2 BC2 .1二 当a 时， ABC为直角三角形.4ii当 AC2 AB2 BC2 时，/ ABC= 90 .亠 2 2 2 16 8 16由 AC2 AB2 BC2

14、，得 25 (29) (216).9a2 a9a24解得a -.9444当a 时，3，点B (-3 , 0)与点A重合，不合题意.93a 3 49iii当 BC2 AC2 AB2 时，/ BAG= 90 ., 2 2 2 16 16 8 由 BC AC AB ,得 2 16 25 (29).9a29a2 a4解得 a .不合题意.91综合i、ii、iii，当a 时， ABC为直角三角形.411. 已知抛物线 y = x2 + mx m+ 2.(1)若抛物线与x轴的两个交点 A B分别在原点的两侧，并且 AB= ,5，试求m的值;(2)设C为抛物线与y轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M

15、 N,并且 MNC解：(1) A( X1, 0) ,B(X2, 0).CMON的面积等于27,试求m的值.则X1 , X2是方程x2 mx+ m- 2= 0的两根.t X1 + X2 = m , x 1 X2 =m- 2 v 0 即 m 2 ;又 AB=| X1 x2 1= .4x X. 5/ nf 4m+ 3=0 .解得：m=1或m=3(舍去)， m的值为1 .(2) M(a, b)，则 N( a, b)./ M N是抛物线上的两点，a2 ma m 2 b,L a2 ma m 2 b.L +得：一2a2 2m+ 4 = 0 . a2= m+ 2 .当m 2时，才存在满足条件中的两点M N.

16、a .、2 m这时MN到y轴的距离均为J2 m ,又点C坐标为(0, 2 m ,而m n c = 27 ,1 2X X( 2 m X 2=27 .2解得m=- 7 .12. 已知：抛物线 y= ax2+ 4ax+1与x轴的一个交点为 A ( 1, 0).(1) 求抛物线与x轴的另一个交点 B的坐标；(2) D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以 AB为 一底的梯形ABCD勺面积为9，求此抛物线的解析式；(3) E是第二象限内到 x轴、y轴的距离的比为 5 : 2的点，如果 点E在(2)中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，冋：在抛物线的对称轴上是否存在点P,使厶APE的周长

17、最小？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.解法一：(1)依题意，抛物线的对称轴为x = 2./ 抛物线与x轴的一个交点为A ( 1 , 0), 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点 B的坐标为(一3, 0).(2)v 抛物线y= ax2+ 4ax+1与x轴的一个交点为 A ( 1, 0 ),a( 1)2+ 4a( 1)+1 = 0 . t = 3a.y= ax? + 4ax + 3a .D ( 0, 3a).梯形 ABCD中, AB/ CD 且点 C在抛物线 y= ax2+ 4ax + 3a上,y。= 5x 25y0= 2x0.C ( 4, 3a). AB = 2, CD=

18、 4.1 1梯形 ABCD勺面积为 9,.(AB CD) OD =9 . (2+4)3a =9 .-a 1.-所求抛物线的解析式为 y= x2+ 4x+3或y= x2 4ax 3 .(3)设点E坐标为(x, y).依题意，x00 时，c0;当 av 0 时，cv 0.（2）证明：设点A的坐标为（x1, 0），点B的坐标为（x2 , 0），则0v x1v x2 .OA x1, OB x2, OC c .2c据题意，X1、X2是方程ax + bx+ c 0（a 0）的两个根./捲X2a由题意，得 OA OB = OC2，即一=c = c2 .a所以当线段OC长是线段OA OB长的比例中项时，a、c互为倒数.b 4（3）当 b 4 时，由（2）知，x1 + x2= = 0 ,. a 0.a a解法一：AB= OB- OA= x2 X=.（为 + x2）2 4x-ix2 ,AB石二忑可妙亜.a aaaAB 4 . 3 ,. =4. 3 .得 a c = 2.a2解法二：由求根公式，4、16 4ac 4.16 42,3x=2a2aaXi=，X2=AB = OB - OA = X2- xi=2亠