大一高数上实用PPT学习教案

1、会计学1大一高数上大一高数上 实用实用第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质1. 问题的提出问题的提出2.2. 定积分的定定积分的定义义3.3. 定积分的性定积分的性质质第1页/共29页1 1、 求平面图形的面积求平面图形的面积一、问题的提出一、问题的提出会求梯形的面积，会求梯形的面积， 曲边曲边梯形梯形的面积怎样求？的面积怎样求？考虑如下曲边梯形面积的求法。考虑如下曲边梯形面积的求法。 abxyo? A)(xfy 第2页/共29页abxyoabxyo思路：思路：利用极限由近似到精确。利用极限由近似到精确。 一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲一般地，小矩形越多，小矩形面积和越

2、接近曲边梯形面积边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）用用矩形矩形面积面积近似代替近似代替曲边梯形曲边梯形面积：面积：第3页/共29页 y = f(x)bax yOx1xi-1xixn-1x2 x xi f(x xi)x x1x x2 f(x x1) f(x x2) f(x xi) xi在在 a, b中任意插入中任意插入 n - -1个个分点记为分点记为得得n个小区间：个小区间： xi- -1 , xi (i=1, 2 , , n)把曲边梯形分成把曲边梯形分成 n 个窄曲边梯形个窄曲边梯形 任取任取x xi xi- -1，xi , 以以f(x x i) xi近似代替

3、第近似代替第i个窄曲边梯形的面个窄曲边梯形的面积积区间区间xi- -1 , xi 的长的长度度 xi xi - -xi- -1 曲边梯形的面积近似为：曲边梯形的面积近似为：A niiixf1)(x0121,nnaxxxxxb-第4页/共29页记记 max x1, x2， , x n 则则曲边梯形的面积的精确值为：曲边梯形的面积的精确值为：A=曲边梯形的面积近似为：曲边梯形的面积近似为：A niiixf1)(xniiixf10)(limx y = f(x)bax yOx1xi-1xixn-1x2 x xi f(x xi)x x1x x2 f(x x1) f(x x2) f(x xi) xi在在

4、a, b中任意插中任意插入入 n - -1个分点个分点得得n个小区间：个小区间： xi- -1 , xi (i=1, 2 , , n)区间区间xi- -1 , xi 的长的长度度 xi xi - -xi- -1 第5页/共29页2 2 、 求求变速变速直线运动的路程直线运动的路程 设某物体作设某物体作变速变速直线运动，已知速度直线运动，已知速度 v=v(t) 是时间是时间间隔间隔 T1, T2 上上 t 的一个的一个连续连续函数，且函数，且 0)( tv，求物，求物体在这段时间内所经过的路程体在这段时间内所经过的路程. 思路思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度把整段时间分割成若干小段，

5、每小段上速度以其中某时刻的速度来近似，求出各小段上路程的以其中某时刻的速度来近似，求出各小段上路程的近似，再相加，便得到路程的近似值，最后通过对近似，再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值时间的无限细分过程求得路程的精确值第6页/共29页（1）分割：）分割：212101TtttttTnn - -1- - - iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某时刻的速度某时刻的速度iinitvs )(1 ,max 21nttt 记记iniitvs )(lim10 路程的精确值路程的精确值（2）求和：）求和：（3）取极限：）取极限：8/29第7页/共29页问题

6、问题 以上两个例子，一个是以上两个例子，一个是几何几何问题，求的问题，求的是以曲线是以曲线 y = f(x)为曲边，以为曲边，以 a,b 为底边的为底边的曲边梯形的面积。一个是曲边梯形的面积。一个是物理物理问题，求的是问题，求的是速度函数为速度函数为v(t)的变速直线运动的物体在时的变速直线运动的物体在时间区间间区间 a,b 所走过的路程所走过的路程.归纳归纳 它们求的都是展布在某个区间上的总它们求的都是展布在某个区间上的总量（总面积或总路程）量（总面积或总路程）.解决方法：解决方法： 通过通过局部取近似局部取近似, 求和取极限求和取极限的方法，把总的方法，把总量归结为求一种特定和式的极限量归

7、结为求一种特定和式的极限.第8页/共29页 类似的例子还可以举出很多（几何、物类似的例子还可以举出很多（几何、物理的，在下一章定积分应用中即可见到）理的，在下一章定积分应用中即可见到）. 这些问题虽然研究的对象不同，但解决这些问题虽然研究的对象不同，但解决问题的思路及形式都有共同之处。为了一般问题的思路及形式都有共同之处。为了一般地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体地解决这类问题，就有必要撇开它们的具体含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念含义，而加以概括、抽象得出定积分的概念.第9页/共29页 设函数设函数f(x)在在a，b上有界，在上有界，在a，b中任意插入中任意插入n-1个分点个分点a

8、 x0 x1x2 xn- -1xn b，把区间把区间a，b分成分成n个小区间个小区间x0，x1，x1，x2， ，xn- -1，xn ，各小段区间的长依次为各小段区间的长依次为 x1 x1- -x0， x2 x2- -x1， ， xn xn - -xn- -1 任取任取x xi xi- -1，xi (i 1，2， ，n) ，作函数值，作函数值 f (x xi)与小区间与小区间长度长度 xi的乘积的乘积 f (x xi) xi (i 1，2， ，n) ，并作出和并作出和S =niiixf1)(x记记 max x 1, x 2 , , x n.第10页/共29页 baIdxxf)(iinixf )(

9、lim10 x x 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量.,积分区间ba也不论在小区间也不论在小区间,1iixx- -上上 点点x xi怎怎样样的的取取法法， 只只要要 ， 总总有有 S 趋趋于于确确定定的的极极限限 I， 就就称称 f 在在 a,b 上上可可积积，并并称称 I 为为f 在在a,b上上的的定定积积分分， 记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和如果如果不论对不论对 a, ,b 怎样的分法怎样的分法， ，dxxfba)(即即第11页/共29页注注：（1） 积分仅与被积函数及积分区间有关，积分仅与被积函数及积分区间有关， badxxf)( badttf)

10、( baduuf)(（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和x xi的的取取法法是是任任意意的的. 而而与与积积分分变变量量的的字字母母的的选选择择无无关关. . baIdxxf)(iinixf )(lim10 x x 根据定积分的定义，曲边梯形的面积为根据定积分的定义，曲边梯形的面积为 变速直线运动的路程为变速直线运动的路程为A ，dxxfba)(dttvTT)(21S dttvTT)(21S 第12页/共29页 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1 1定理定理2 2 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上有界，上有界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可

11、积积. .且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. .第13页/共29页 在区间在区间a，b上，当上，当f(x) 0时，积分时，积分在几何上表示由曲线在几何上表示由曲线y f (x)、两条直线、两条直线x a、x b 与与x 轴所围成的轴所围成的曲边梯形的面积；曲边梯形的面积；ba y = f(x)x yO，dxxfba)(，dxxfba)(第14页/共29页 当当f(x) 0时，由曲线时，由曲线y f (x)、两条直线、两条直线x a、x b 与与x 轴所围轴所围成的曲边梯形位于成的曲边梯形位于x 轴的下方，轴的下方，x yO y = - - f(x

12、)ba y = f(x)定积分在几何上表示上述曲线定积分在几何上表示上述曲线边梯形面积的负值：边梯形面积的负值：iniixf-10)(limxdxxfSba)(- S，dxxfba)(-niiixf10)(limxdxxfSba)(-，dxxfba)(第15页/共29页积积取取负负号号轴轴下下方方的的面面在在轴轴上上方方的的面面积积取取正正号号；在在数数和和之之间间的的各各部部分分面面积积的的代代直直线线的的图图形形及及两两条条轴轴、函函数数它它是是介介于于xxbxaxxfx ,)( - - - 几何意义：几何意义：第16页/共29页例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dx

13、x 解解小区间小区间,1iixx- -的长度的长度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix x x，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1x xiinix 21x x,12iniixx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn0ndxx 102iinix 210limx x nnn121161lim.31 第17页/共29页练习练习 利用定义计算定积分利用定义计算定积分 10dxex解解xexf )(在在 0,1上连续，故上连续，故f(x)在在0,1上可积上可积.将将 0,1n 等分，左侧取点等分，左侧取点nxniii1,1 - - x

14、xniief1)(- - x x1)(12101nnnniniieeeenxf- - x x等比数列求和等比数列求和nnneen111)(11- - - 11)1(1- - - nene niiixf10)(lim x x 11)1(lim1- - - nnene1- - e第18页/共29页 例例2 求积分求积分 解解 以以y=1- -x为曲边，以区间为曲边，以区间0, 1为底的曲边梯形为为底的曲边梯形为 一直角一直角三角形，三角形，21其面积为其面积为 所以所以21 xy=1-xyO11-1 0 )1 (dxx-1 0 )1 (dxx第19页/共29页四、定积分的性质四、定积分的性质补充规

15、定补充规定:（1）当）当ba 时，时，0)( badxxf；（2）当当ba 时时， - - abbadxxfdxxf)()(.说明说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小考虑积分上下限的大小第20页/共29页 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.性质性质1 1 babadxxfkdxxkf)()( (k 为常数为常数). 性质性质2 2 性质性质 1 与与 2 合为合为（定）积分的（定）积分的线性性质线性性质: .)()()()( bababadxxghdxxfkdxxhgxkf （k、h 为常数为常数).

16、 第21页/共29页 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(. , cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( - - cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf则则对对bca ，有有 性质性质3 3（关于积分区间的可加性关于积分区间的可加性）*例例 若若补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.cba,第22页/共29页dxba 1dxba ab- - .则则0)( dxxfba. . 性质性质4 4推论推论1 1（比较定理比较定理）则则dxxfba )( dxxgba )(. . dx

17、xfba )(dxxfba )(. )(ba 性质性质5 5（保号性保号性）推论推论2 2如果在区间如果在区间a,b上上 f (x) 1,则则第23页/共29页解解,xex0, 2- - xdxex - -02,02dxx - - 于是于是dxex - -20.20dxx - - 第24页/共29页设设 M 及及 m 分分别别是是f在在a,b上上的的最最大大值值及及最最小小值值， （此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）则则 )()()(abMdxxfabmba- - - - . . 性质性质6 6 （估值不等式估值不等式）解解, , 0时时当当 x, 1sin

18、03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx第25页/共29页如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，证证Mdxxfabmba - - )(1)()()(abMdxxfabmba- - - - 由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 x x，使使dxxfba )()(abf- - x x. . )(ba x x性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点x x，使使,)(1)( - - x xbadxxfabfdxxfba )()(abf- - x x.即即第26页/共29页 在区间在区间,ba上至少存在一上至少存