2021年人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2《等差数列的前n项和公式》（2）教学设计

1、4.2.2等差数列的前n项和公式（2） 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习等差数列的前n项和公式（2）数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。数列是培养学生数学能力的良好题材。等差数列前n项和公式的推导过程中，让学生经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。课程目标学科素养A.等差数列掌握等差数列前n项和的性质及

2、应用.B.会求等差数列前n项和的最值.1.数学抽象：等差数列前n项和公式2.逻辑推理：等差数列前n项和公式与二次函数3.数学运算：等差数列前n项的应用4.数学建模：等差数列前n项的具体应用重点： 求等差数列前n项和的最值 难点： 等差数列前n项和的性质及应用多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 课前小测1思考辨析(1)若Sn为等差数列an的前n项和，则数列也是等差数列()(2)若a10，d480，在24小时内能构筑成第二道防线例9.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a110，公差d2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.分析：由a10和

3、d0，可以证明an是递减数列，且存在正整数k，使得当nk时，an0,Sn递减，这样，就把求Sn的最大值转化为求an的所有正数项的和。另一方面，等差数列的前n项和公式可写成Sn=d2n2+a1d2n，所以当d0时， Sn可以看成二次函数y=d2x2+a1d2x(xR)，当x= n时函数值。如图，当d 0时， Sn关于n的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点，因此，可以利用二次函数求相应的n, Sn的值。解法1.由d2，得an1an20，得an1an ，所以an是递减数列. 由a110，d2，得an10(n1)(2) 2n12.可知，当n6时，an0；当n6时，an0；当n6时，an0.所以, S

4、1S2S5S6 S7也就是说，当n5或6时，Sn最大.因为S5=52210+(51)(2) =30所以Sn的最大值为30.解法2：因为由a110，d2，因为Sn=d2n2+a1d2n=n2+11n=n1122+1214所以，当n取与112 最接近的整数，即5或6时，Sn最大，最大值为30. 1.在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法：(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小)(2)借助二次函数的图象及性质求最值2寻求正、负项分界点的方法： (1)寻找正、负项的分界点来寻找 (2)利用到yax2bx(a0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近

5、且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点跟踪训练2. 数列an的前n项和Sn33nn2，(1)求an的通项公式；(2)问an的前多少项和最大；(3)设bn|an|，求数列bn的前n项和Sn.分析：(1)利用Sn与an的关系求通项，也可由Sn的结构特征求a1，d，从而求出通项(2)利用Sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解(3)利用an判断哪些项是正数，哪些项是负数，再求解，也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解解(1)法一：(公式法)当n2时，anSnSn1342n， 又当n1时，a1S1323421满足an342n.故an的通项公式为an342n.法二：(结

6、构特征法)由Snn233n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以an是等差数列，由Sn的结构特征知解得a132，d2，所以an342n.(2)法一：(公式法)令an0，得342n0，所以n17，故数列an的前17项大于或等于零又a170，故数列an的前16项或前17项的和最大法二：(函数性质法)由yx233x的对称轴为x.距离最近的整数为16,17.由Snn233n的图象可知：当n17时，an0，当n18时，an0，故数列an的前16项或前17项的和最大(3)由(2)知，当n17时，an0；当n18时，anS7S5，有下列四个命题正确的是()A.d0； C.S12S7，a7S5，a6a70

7、，a60，d0，B正确S12(a1a12)6(a6a7)0，C不正确Sn中最大项为S6，D不正确故正确的是AB2已知等差数列an中，|a5|a9|，公差d0，则使得前n项和Sn取得最小值的正整数n的值是_【答案】6或7由|a5|a9|且d0得a50，且a5a902a112d0a16d0，即a70，故S6S7且最小3已知数列an的前n项和公式为Snn230n.(1)求数列 an的通项公式an；(2)求Sn的最小值及对应的n值.【答案】(1)Snn230n，当n1时，a1S129.当n2时，anSnSn1(n230n)(n1)230(n1)2n31.n1也适合，an2n31，nN*. (2)法一：

8、Snn230n2225当n15时，Sn最小，且最小值为S15225.法二：an2n31，a1a2a1515时，an0.当n15时，Sn最小，且最小值为S15225.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结等差数列前n项和Sn的最值(1)若a10，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值(2)若a10，d0，d0，则S1是Sn的最小值；若a10，d0，则S1是Sn的最大值五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景-建立模型-求解-解释-应用”的教学模式，启发引