【大学课件】统计数据的描述

1、第四章第四章 统计数据的描述统计数据的描述 第一节第一节 总量指标总量指标 1.1.按反映的内容不同按反映的内容不同, ,分分: : 总体总量总体总量: :即总体单位数即总体单位数, ,由每个总体单位加总由每个总体单位加总 而得到的而得到的. . 标志总量标志总量: :是指总体各单位某一数量标志值的是指总体各单位某一数量标志值的 总和总和. . 如：研究某地区的工业企业职工工资情况，如：研究某地区的工业企业职工工资情况， “职工人数职工人数 “ “工资总额工资总额 注意：注意： 一个总量指标到底是属于总体总量还是标志一个总量指标到底是属于总体总量还是标志 总量总量, ,并不是固定不变的并不是固

2、定不变的, ,它随着研究目的的不它随着研究目的的不 同而变化同而变化, ,研究目的变了研究目的变了, ,总体和总体单位总体和总体单位, ,总总 体总量和标志总量就会随之而变体总量和标志总量就会随之而变 一个总体中只有一个总体单位总量，但可以有一个总体中只有一个总体单位总量，但可以有 多个标志总量，它们由总体单位的数量标志值多个标志总量，它们由总体单位的数量标志值 汇总而来。汇总而来。 学生的数量标志：学生的数量标志： 年龄、身高、体重、年龄、身高、体重、 考试分数、生活费考试分数、生活费 支出等等支出等等 学生总体的标志总学生总体的标志总 量：总年龄、总身量：总年龄、总身 高、总体重、考试高、

3、总体重、考试 总分数、生活费总总分数、生活费总 支出等等支出等等 注意其用法注意其用法 (1)(1)时期指标反映社会经济现象总体一段时期内开展过程的总量。时期指标反映社会经济现象总体一段时期内开展过程的总量。 时期指标的特点时期指标的特点 1. 1.不同的时期指标数值具有可加性；不同的时期指标数值具有可加性； 2. 2.时期指标数值大小与时期长短有直接关系；时期指标数值大小与时期长短有直接关系； 3. 3.时期指标数值是连续登记、累计的结果。时期指标数值是连续登记、累计的结果。 (2)(2)时点指标说明社会经济现象总体在某一时点的总量。时点指标说明社会经济现象总体在某一时点的总量。 时点指标的

4、特点时点指标的特点 1. 1.不同时点的指标数值不具有可加性。不同时点的指标数值不具有可加性。 2. 2.时点指标的数值的大小与其时间间隔长短无关。时点指标的数值的大小与其时间间隔长短无关。 3. 3.时点指标的数值是间断计数的。时点指标的数值是间断计数的。 实物指标是指采用实物单位计量的总量指标。实物指标是指采用实物单位计量的总量指标。 自然计量单位：按照现象的自然表现形态来计量其数量。自然计量单位：按照现象的自然表现形态来计量其数量。 度量衡计量单位：按统一的度量衡制度的规定来计量度量衡计量单位：按统一的度量衡制度的规定来计量 复合单位：两种度量衡单位复合起来计量。复合单位：两种度量衡单位

5、复合起来计量。 标准实物计量单位：在同一性质或同一用途的产品中挑选一种产标准实物计量单位：在同一性质或同一用途的产品中挑选一种产 品作为标准产品品作为标准产品, ,其它产品那么按照一定的换算系数换算为以标准其它产品那么按照一定的换算系数换算为以标准 产品的实物单位来表示产量的一种计量单位。产品的实物单位来表示产量的一种计量单位。 价值指标是指采用货币单位计量的总量指标。价值指标是指采用货币单位计量的总量指标。 劳动量指标：以劳动时间为单位计量的总量指标。劳动量指标：以劳动时间为单位计量的总量指标。 (1)(1)正确确定指标的含义与计算范围正确确定指标的含义与计算范围. . (2)(2)计算实物

6、总量指标时只有同类才能相加计算实物总量指标时只有同类才能相加. . (3)(3)使用统一的计量单位使用统一的计量单位. . (4)(4)总量指标与相对指标总量指标与相对指标, ,平均指标要综合运用平均指标要综合运用. . 甲企业甲企业 当比较两厂经济效益时当比较两厂经济效益时 利润总额利润总额资金占用资金占用 资金利润率资金利润率 500万元万元 5000万元万元 3000万元万元 40000万元万元 16.7% 12.5% 不可比不可比不可比不可比可比可比 无名数无名数: :是一种抽象化的数值是一种抽象化的数值. .通常表示为成数通常表示为成数, ,系系 数数, ,倍数倍数, ,百分数百分数

7、, ,千分数等千分数等. .比照双方为同类事物，比照双方为同类事物， 性质、形态、计量单位相同性质、形态、计量单位相同 有名数有名数: :是指有具体内容的计量单位的数值是指有具体内容的计量单位的数值. .它有单它有单 名数和复名数之分名数和复名数之分. .比照双方非同类事物，不存在比照双方非同类事物，不存在 可比性可比性 人口数 人口密度人 平方公里 国土面积 一方案完成相对数一方案完成相对数 二结构相对数二结构相对数 三比例相对数三比例相对数 四比较相对数四比较相对数 五动态相对数五动态相对数 六强度相对数六强度相对数 二、相对指标的种类二、相对指标的种类 (一一)方案完成相对数方案完成相对

8、数 1方案完成相对数也称方案完成百分比，它是将 某一时期的实际完成数与同期方案数进行比照，一般 用百分数表示。 2根本计算公式为： 方案完成相对数实际完成数同期方案数 100 例例1 某公司某公司2000年方案销售某种产品年方案销售某种产品30万件，实万件，实 际销售际销售32万件。那么万件。那么: 该公司该公司2000年销售方案完成相对数，超额年销售方案完成相对数，超额67 完成方案。完成方案。 A.A.方案数为绝对数方案数为绝对数 方案完成相对数实际完成数同期方案数方案完成相对数实际完成数同期方案数100100 适用于研究分析社会经济现象的规模或水平的方案完成程度。适用于研究分析社会经济现

9、象的规模或水平的方案完成程度。 B.B.方案数为平均数方案数为平均数 方案完成相对数实际平均水平方案平均水平方案完成相对数实际平均水平方案平均水平100100 适用于方案任务用平均数来表示的情形，例如：劳动生产适用于方案任务用平均数来表示的情形，例如：劳动生产 力、单位产品本钱、单位产品原材料消耗量等。力、单位产品本钱、单位产品原材料消耗量等。 C.C.方案数为相对数方案数为相对数 方案完成相对数实际完成数方案完成数方案完成相对数实际完成数方案完成数 100100 适用于当方案任务是用方案提高的百分数或方案降低的百分适用于当方案任务是用方案提高的百分数或方案降低的百分 数规定的时候。如劳动生产

10、率方案提高百分数、产品的本钱数规定的时候。如劳动生产率方案提高百分数、产品的本钱 降低率、流通费用降低率。降低率、流通费用降低率。 例例2 2某企业某种产品的产值方案要求增长某企业某种产品的产值方案要求增长1010， 该种产品的单位本钱方案要求下降该种产品的单位本钱方案要求下降5 5，而实际产，而实际产 值增长了值增长了1515，实际单位本钱下降了，实际单位本钱下降了3 3，那么方案，那么方案 完成程度指标为：完成程度指标为： 产值方案完成相对数产值方案完成相对数115115110110 单位本钱方案完成相对数单位本钱方案完成相对数1001003 3100100 5 5 例例3 3某企业要求劳

11、动生产率到达某企业要求劳动生产率到达50005000元元人，某种产品的人，某种产品的 方案单位本钱为方案单位本钱为100100元，该企业实际的劳动生产率到达元，该企业实际的劳动生产率到达60006000元元 人，某种产品的实际单位本钱为人，某种产品的实际单位本钱为8080元，它们的方案完成程元，它们的方案完成程 度指标如下：度指标如下： 劳动生产率方案完成相对数劳动生产率方案完成相对数6000600050005000120120正指标正指标 单位本钱方案完成相对数单位本钱方案完成相对数80801001008080逆指标逆指标 小结：如果方案规定的任务是提高率，结果要等于或大于小结：如果方案规定

12、的任务是提高率，结果要等于或大于100100 才算超额完成任务；如果方案规定的任务是降低率，结果等才算超额完成任务；如果方案规定的任务是降低率，结果等 于或小于于或小于100100才算超额完成任务。才算超额完成任务。 水平法：假设方案指标是按整个方案期的末年应到达的水平法：假设方案指标是按整个方案期的末年应到达的 水平来规定的，用水平法。水平来规定的，用水平法。 公式为：公式为： 方案完成相对数方案期末年实际到达的水平方方案完成相对数方案期末年实际到达的水平方 案中规定的末年水平案中规定的末年水平100100 提前完成方案的时间方案期月数实际完成月数提前完成方案的时间方案期月数实际完成月数 +

13、 +超额完成方案数达标月季日均产量上年同月超额完成方案数达标月季日均产量上年同月 季日均产量季日均产量 例例4 4某种产品按五年方案规定，最后一年产量应某种产品按五年方案规定，最后一年产量应 达达200200万吨，方案执行情况如下：万吨，方案执行情况如下： 时时 间间 第第 一一 年年 第第 二二 年年 第第 三三 年年 上上 半半 年年 第第 三三 年年 下下 半半 年年 第第 四四 年年 一一 季季 度度 第第 四四 年年 二二 季季 度度 第第 四四 年年 三三 季季 度度 第第 四四 年年 四四 季季 度度 第第 五五 年年 一一 季季 度度 第第 五五 年年 二二 季季 度度 第第

14、五五 年年 三三 季季 度度 第第 五五 年年 四四 季季 度度 5 5 年年 合合 计计 产产 量量 110110 122122 66667474 3737383842424949 5353 585865657272775775 要求：要求：1.1.计算该产品方案完成程度计算该产品方案完成程度 2. 2.计算提前完成方案的时间计算提前完成方案的时间 解：解：1.1.产量方案完成程度产量方案完成程度53+58+65+7253+58+65+72200200 124124 2. 2.从第四年第三季度至第五年第二季度产量之从第四年第三季度至第五年第二季度产量之 和：和：42+49+53+5842+4

15、9+53+58202202万吨万吨 提前完成方案时间提前完成方案时间60-5460-54+2+2 58-3858-38 90906 6个月零个月零9 9天天 例例5 5 某市某五年方案规定整个方案期间基建投资总额到达某市某五年方案规定整个方案期间基建投资总额到达500500 亿元，实际执行情况如下：亿元，实际执行情况如下： 时间时间第第 1 年年 第第 2 年年 第第 3 年年 第第 4年年 第第 5 年年 5 年年 合合 计计 一一 季季 度度 二二 季季 度度 三三 季季 度度 四四 季季 度度 投资额投资额140135708040221820525 试计算该市试计算该市5 5年基建投资额

16、方案完成相对数和提前完成时间。年基建投资额方案完成相对数和提前完成时间。 解：解： 1. 1. 方案完成相对数方案完成相对数525525500500105105 2. 2. 从第一年的第一季度起至第从第一年的第一季度起至第5 5年的第三季度年的第三季度 投资额之和投资额之和505505亿元，比方案数亿元，比方案数500500亿元多亿元多5 5亿元，亿元， 那么：提前完成方案时间那么：提前完成方案时间60-5760-57+5+5500500 365 365 5 5=3=3个月零个月零1818天天 公式为：公式为： 方案执行进度方案期内某月止累计完成数本期方案执行进度方案期内某月止累计完成数本期

17、方案数方案数100100 例例66某公司某公司20002000年方案完成商品销售额年方案完成商品销售额15001500万元，万元，1-1- 9 9月止累计完成月止累计完成11251125万元。那么：万元。那么： 1-9 1-9月方案执行进度月方案执行进度11251125150015001001007575 1 1是总体内某一局部数值与总体全部数值比照的结果，是总体内某一局部数值与总体全部数值比照的结果， 反映总体内部的构成和类型特征，亦称比重指标。反映总体内部的构成和类型特征，亦称比重指标。 2 2其公式为：其公式为： 结构相对数总体中某一局部数值总体全部数值结构相对数总体中某一局部数值总体全

18、部数值 100100 例例7 7某企业有职工某企业有职工10001000人，其中男职工人，其中男职工700700人，人， 女职工女职工300300人，那么结构相对数如下：人，那么结构相对数如下： 男职工占全部职工的比重男职工占全部职工的比重700700100010007070 女职工占全体职工的比重女职工占全体职工的比重300300100010003030 课本课本P87 P87 例例4-8 4-9 4-8 4-9 1. 1. 可以说明在一定的时间、地点和条件下总体结构特征。可以说明在一定的时间、地点和条件下总体结构特征。 2. 2. 不同时期的结构相对数的变化，可以反映实物性质的开展趋势，分

19、不同时期的结构相对数的变化，可以反映实物性质的开展趋势，分 析经济结构的演变规律。析经济结构的演变规律。 3. 3. 根据个构成局部所占比重的大小以及是否合理，可以反映所研究现根据个构成局部所占比重的大小以及是否合理，可以反映所研究现 象总体的质量以及人、财、物的利用情况。象总体的质量以及人、财、物的利用情况。 4. 4.利用结构相对数，有助于分清主次，确定工作重点。利用结构相对数，有助于分清主次，确定工作重点。 结构相对数有如下作用：结构相对数有如下作用： 3 3比例相对数的特点：比例相对数的特点： 1. 1.比照的分子分母属于同一总体与结构相对数一致。比照的分子分母属于同一总体与结构相对数

20、一致。 2. 2.分子分母可以互换。分子分母可以互换。 3. 3.比例相对数的数值，一般用百分数或几比几形式表示。比例相对数的数值，一般用百分数或几比几形式表示。 1 1将不同地区、单位或企业之间的同类指标值作静态比将不同地区、单位或企业之间的同类指标值作静态比 照而得出的综合指标，说明同类事物在不同空间照而得出的综合指标，说明同类事物在不同空间 条件下的差异程度或相对状态。条件下的差异程度或相对状态。 2 2其公式为：其公式为： 比较相对数某一条件下某一指标数值另一条件下同类指比较相对数某一条件下某一指标数值另一条件下同类指 标数值标数值 例例9 9两个类型相同的工业企业，甲企业全员劳动生产

21、率为两个类型相同的工业企业，甲企业全员劳动生产率为 1854218542元元人人. .年，乙企业全员劳动生产率为年，乙企业全员劳动生产率为2156021560元元人人. .年，年， 那么两个企业全员劳动生产率的比较相对数为：那么两个企业全员劳动生产率的比较相对数为： 18542 1854221560215608686 3 3比较相对数的特点：比较相对数的特点： 1.1.分子分母的数值分别属于不同的总体。分子分母的数值分别属于不同的总体。 2.2.分子分母是同类指标。分子分母是同类指标。 3.3.分子分母可以互换。分子分母可以互换。 1 1动态相对数是将总体不同时期的同一类指标比照而计算出动态相

22、对数是将总体不同时期的同一类指标比照而计算出 的数值，用于说明现象在时间上开展变动的程度。的数值，用于说明现象在时间上开展变动的程度。 2 2其公式为：其公式为： 动态相对数某一现象报告期数值同一现象基期数值动态相对数某一现象报告期数值同一现象基期数值 100100 3动态相对数的特点：动态相对数的特点： 分子分母的数值是同类但不同时期的。分子分母的数值是同类但不同时期的。 报告期是指计算的那一期，基期可以是报告期的前一期、报告期是指计算的那一期，基期可以是报告期的前一期、 历史上最好的时期或某一特定时期。历史上最好的时期或某一特定时期。 例例101019961996年我国国民生产总值为亿元，

23、年我国国民生产总值为亿元， 19951995年为亿元，如果选年为亿元，如果选19951995年作基期，那么年作基期，那么19961996年的国民年的国民 生产总值与生产总值与19951995年比照，得出动态相对数为，说明在年比照，得出动态相对数为，说明在 19951995年的根底上年的根底上19961996年国民生产总值的开展速度。年国民生产总值的开展速度。 1强度相对数是两个性质不同而有联系的总量指标比照的结强度相对数是两个性质不同而有联系的总量指标比照的结 果。能够反映现象的强度、密度和普遍程度。果。能够反映现象的强度、密度和普遍程度。 2其公式为：其公式为： 强度相对数某一总量指标数值另

24、一性质不同而有联系的总量强度相对数某一总量指标数值另一性质不同而有联系的总量 指标数值指标数值 3强度相对数的特点强度相对数的特点 1.强度相对数一般采用有名数的计量单位，即由分子分母原有强度相对数一般采用有名数的计量单位，即由分子分母原有 的计量单位构成。如的计量单位构成。如“公斤公斤人、人、“人人平方公里等。平方公里等。 2.有的强度相对数有正、逆指标，正指标的比值的大小与其反有的强度相对数有正、逆指标，正指标的比值的大小与其反 映的强度、密度和普遍程度成正比，而逆指标正好相反。映的强度、密度和普遍程度成正比，而逆指标正好相反。 例例1111我国土地面积为我国土地面积为960960万平方公

25、里，万平方公里，19961996年年 底人口总数为底人口总数为122389122389万人，那么万人，那么 我国我国19961996年末人口密度年末人口密度 122389122389960960127127人人平方公里平方公里 4有少数反映社会效劳行业的负担情况或保证程度的 强度相对指标，其分子分母可以互换，即采用正算法计算 正指标，采用倒算法计算逆指标。 如： 商业网密度正指标 地区人口数（千人） 零售商业机构数（个） 商业网密度逆指标商业网密度逆指标 零售商业机构数（个） 地区人口数（千人） 例例1212某市人口数为某市人口数为158000158000人，有零售商店人，有零售商店79079

26、0个，个， 那么该市零售商业网点密度是：那么该市零售商业网点密度是： 正指标零售商业网点数正指标零售商业网点数人口数人口数 7901587901585 5个个千人千人 逆指标逆指标 人口数人口数零售商业网点数零售商业网点数 158000790158000790200200人人个个 一可比性原那么内容、口径、方法等；一可比性原那么内容、口径、方法等； 二定性分析与数量分析相结合的原那么；二定性分析与数量分析相结合的原那么； 三相对指标和总量指标结合运用的原那么；三相对指标和总量指标结合运用的原那么； 四各种相对指标综合运用的原那么。四各种相对指标综合运用的原那么。 部门卷烟库存量其中：霉变量（箱

27、）霉变量占库存量% A B C 50 60 80 1 1 2 2 1.7 2.5 第二节第二节 平均指标平均指标 同质性，同质性，即总体内各单位的性质是相同的，如即总体内各单位的性质是相同的，如 果各单位性质上存在着差异，就不能计算平均果各单位性质上存在着差异，就不能计算平均 数。数。 抽象性，抽象性，即总体内各同质单位虽然存在数量差即总体内各同质单位虽然存在数量差 异，但在计算平均数时并不考虑这种差异，即异，但在计算平均数时并不考虑这种差异，即 把这种差异平均掉了。把这种差异平均掉了。 代表性，代表性，即尽管各总体单位的标志值大小不一，即尽管各总体单位的标志值大小不一， 但我们可以用平均数这

28、一指标值来代表总体一但我们可以用平均数这一指标值来代表总体一 般水平。般水平。 平平 均均 指指 标标 静态平均数静态平均数 动态平均数动态平均数 位置平均数位置平均数 数值平均数数值平均数 几何平均数几何平均数 调和平均数调和平均数 算术平均数算术平均数 中位数中位数 众数众数 一算术平均数一算术平均数 算术平均数是计算平均指标最常用的方法，算术平均数是计算平均指标最常用的方法， 其根本公式是：其根本公式是： 算术平均数与强度相对数的比较算术平均数与强度相对数的比较 算术平均数的计算有简单算术平均数和加权算术平均数的计算有简单算术平均数和加权 平均数之分。平均数之分。 总总体体标标志志总总量

29、量 算算术术平平均均数数 总总体体单单位位总总量量 1 1、概念不同。强度相对数是两个有联系而性质不同的总体比、概念不同。强度相对数是两个有联系而性质不同的总体比 照而形成相对数指标。算术平均数是反映同质总体单位标志值照而形成相对数指标。算术平均数是反映同质总体单位标志值 一般水平的指标。一般水平的指标。 2 2、主要作用不同。强度相对数反映两不同总表达象形成的密、主要作用不同。强度相对数反映两不同总表达象形成的密 度、强度。算术平均数反映同一现象在同一总体中的一般水平度、强度。算术平均数反映同一现象在同一总体中的一般水平 3 3、计算公式及内容不同。算术平均数分子、分母分别是同一、计算公式及

30、内容不同。算术平均数分子、分母分别是同一 总体的标志总量和总体单位数，分子、分母的元素具有一一对总体的标志总量和总体单位数，分子、分母的元素具有一一对 应的关系，即分母每一个总体单位都在分子可找到与之对应的应的关系，即分母每一个总体单位都在分子可找到与之对应的 标志值，反之，分子每一个标志值都可以在分母中找到与之对标志值，反之，分子每一个标志值都可以在分母中找到与之对 应的总体单位。而强度相对数是两个总表达象之比，分子分母应的总体单位。而强度相对数是两个总表达象之比，分子分母 没有一一对应关系。没有一一对应关系。 算术平均数与强度相对数比较算术平均数与强度相对数比较 1 1、简单算术平均法、简

31、单算术平均法 计算公式：计算公式： 其中：其中： 代表算术平均数，代表算术平均数，xixi代代 表各单位标志值变量值，表各单位标志值变量值，n n代表代表 总体单位数项数。总体单位数项数。 适用条件：当统计资料未分组时可适用条件：当统计资料未分组时可 用简单算术平均法计算；如果是组用简单算术平均法计算；如果是组 距式资料距式资料, ,那么要计算组中值作为代那么要计算组中值作为代 表标志值进行计算。表标志值进行计算。 n x x n 1 n x.xx X n 1i i n21 X 计算公式：计算公式： 其中：其中： 代表算术平均数，代表算术平均数，x x 代表各单位标代表各单位标 志值变量值，志

32、值变量值，f f 代表各组单位数项数。代表各组单位数项数。 f xf f.ff fx.fxfx X n21 nn2211 X 2 2、加权算术平均法、加权算术平均法 例：某公司下属各店职工按工龄分组情况例：某公司下属各店职工按工龄分组情况 工龄工龄组中值组中值x x 人人 数数 f f 一店一店二店二店三店三店四店四店五店五店 0 02 2年年 2 2 5 5年年 5 5 1010年年 10 10 2020年年 1.01.0 3.53.5 7.57.5 15.015.0 1 1 1 1 1 1 1 1 7 7 7 7 7 7 7 7 2525 2525 2525 2525 1 1 3 3 6

33、6 1010 1010 6 6 3 3 1 1 合计合计4 4282810010020202020 平均工龄平均工龄6.756.756.756.756.756.7510.32510.3253.4253.425 一、二、三店人数相差很远，但平均工龄相等。一、二、三店人数相差很远，但平均工龄相等。 四、五店人数相等，但平均工龄相差很大。四、五店人数相等，但平均工龄相差很大。 结论：平均数水平上下受两个因素的影响：结论：平均数水平上下受两个因素的影响： 1 1变量变量 x x 2 2权数权数 f f，绝对权数表现为次数、频数，相对，绝对权数表现为次数、频数，相对 权数表现为频率。权数表现为频率。 )

34、(425. 3 20 5 .68 13610 11535 . 765 . 3101 年年五店平均工龄五店平均工龄 f xf 平均数与总体单位数的积等于标志总量平均数与总体单位数的积等于标志总量 假设每个变量值假设每个变量值 X X 加减一任意常数加减一任意常数，那么平均数也增减一，那么平均数也增减一 个个 假设每个变量值假设每个变量值 X X乘以一任意常数乘以一任意常数，那么平均数也乘以一，那么平均数也乘以一 个个 假设每个变量值假设每个变量值 X X除以一任意常数除以一任意常数，那么平均数也除以一，那么平均数也除以一 个个 各个变量值各个变量值X X与算术平均数的离差和为零与算术平均数的离差

35、和为零 各个变量值各个变量值X X与算术平均数的离差平方和为最小值与算术平均数的离差平方和为最小值 xnX n x X 5 5、交替标志平均数、交替标志平均数 1 1、概念：、概念：交替标志又称是非标志，它是一个只有两种答交替标志又称是非标志，它是一个只有两种答 案的标志。如：性别只有男、女；一批产品只有合格品、案的标志。如：性别只有男、女；一批产品只有合格品、 不合格品等就可用是非标志来反映。不合格品等就可用是非标志来反映。 2 2、表示形式：、表示形式： 1 1：具有某种属性的单位标志值。：具有某种属性的单位标志值。 0 0：不具有某种属性的单位标志值。：不具有某种属性的单位标志值。 N

36、N：全部总体单位数。：全部总体单位数。 N N1 1：具有某种属性的总体单位数。：具有某种属性的总体单位数。 N N2 2：不具有某种属性的总体单位数。：不具有某种属性的总体单位数。 P= NP= N1 1 /N /N：具有某种属性的单位数所占的比重。：具有某种属性的单位数所占的比重。 Q= NQ= N2 2 /N /N：不具有某种属性的单位数所占的比重。：不具有某种属性的单位数所占的比重。 其中：其中：P+Q=1P+Q=1 10 p xfPQ xP fPQ 2 2、调和平均数、调和平均数 1 1调和平均数的概念及计算方法调和平均数的概念及计算方法 调和平均数又称倒数平均数，是变量倒数的算调和

37、平均数又称倒数平均数，是变量倒数的算 术平均数的倒数。术平均数的倒数。 )( f x 1 f f f x 1 1 H )( x 1 n n x 1 1 H 加权平均式 简单平均式 2 2调和平均数与算术平均数的比较调和平均数与算术平均数的比较 变量不同：算术平均数是变量不同：算术平均数是x x，调和平均数是，调和平均数是 1/x 1/x 。 权数不同：算术平均数是权数不同：算术平均数是f f或或n n，代表次数，代表次数 单位数，调和平均数是单位数，调和平均数是xfxf或或M M，代表标，代表标 志总量。志总量。 联系：调和平均数作为算术平均数的变形使联系：调和平均数作为算术平均数的变形使 用

38、：用： H M x M xxfM xf x xf x xf xf f xf x x xf f 1 1 则令 3 3应用调和平均数应注意问题应用调和平均数应注意问题 1 1、变量、变量x x的值不能为的值不能为0 0。 2 2、调和平均数易受极端值的影响。、调和平均数易受极端值的影响。 3 3、要注意其运用的条件。、要注意其运用的条件。 例例1 1 水果甲级每元水果甲级每元1 1公斤，乙级每元公斤，丙级每元公斤，乙级每元公斤，丙级每元2 2公公 斤。问：斤。问： 1 1假设各买假设各买1 1公斤，平均每元可买多少公斤？公斤，平均每元可买多少公斤？ 2 2各买公斤，平均每元可买多少公斤？各买公斤，

39、平均每元可买多少公斤？ 3 3甲级甲级3 3公斤，乙级公斤，乙级2 2公斤，丙级公斤，丙级1 1公斤，平均每元可买公斤，平均每元可买 几公斤？几公斤？ 4 4甲乙丙三级各买甲乙丙三级各买1 1元，每元可买几公斤？元，每元可买几公斤？ 例例2 2 自行车赛时速：甲自行车赛时速：甲3030公里，乙公里，乙2828公里，丙公里，丙2020公里，公里， 全程全程200200公里，问三人平均时速是多少？假设甲乙丙三人公里，问三人平均时速是多少？假设甲乙丙三人 各骑车各骑车2 2小时，平均时速是多少？小时，平均时速是多少？ 解答：例解答：例1 1 1 2 3 4 )/(38. 1 1667. 2 3 2

40、1 5 . 1 1 1 1 3 1 元元公斤公斤 n n H )/(38. 1 0833.14 5 .19 5 . 6 2 1 5 . 6 5 . 1 1 5 . 6 1 1 5 . 65 . 65 . 6 1 元元公斤公斤 f x f H )/(24. 1 83. 4 6 1 2 1 2 5 . 1 1 3 1 1 123 1 元元公斤公斤 f x f H 元）元）（公斤（公斤/5 . 1 3 25 . 11 n x x 例例2 2 )/(2 .25 81.23 600 200 20 1 200 28 1 200 30 1 200200200 1 小时小时公里公里 f x f H )/(26

41、 6 156 222 220228230 小时小时公里公里 f xf x 一什么是几何平均法？一什么是几何平均法？ 几何平均法是几何平均法是n n个变量连乘积的个变量连乘积的n n次根。次根。 几何平均法一般适用于各变量值之间存在环比几何平均法一般适用于各变量值之间存在环比 关系的事物。如：银行平均利率、各年平均关系的事物。如：银行平均利率、各年平均 开展速度、产品平均合格率等的计算就采用开展速度、产品平均合格率等的计算就采用 几何平均法。几何平均法。 1 1、简单几何平均法、简单几何平均法 2 2、加权几何平均法、加权几何平均法 n n 1i i n n21 XXXXG n 1i in21

42、f n 1i f i f f n f 2 f 1 xxxxG 二应注意的问题二应注意的问题 1 1、变量数列中任何一个变量值不能为、变量数列中任何一个变量值不能为0 0，一个为，一个为0 0， 那么几何平均数为那么几何平均数为0 0。 2 2、用环比指数计算的几何平均易受最初水平和最、用环比指数计算的几何平均易受最初水平和最 末水平的影响。末水平的影响。 3 3、几何平均法主要用于动态平均数的计算。、几何平均法主要用于动态平均数的计算。 例例3 3： 假定某地储蓄年利率按复利计算：假定某地储蓄年利率按复利计算：5%5%持续持续 年，年，3%3%持续年，持续年，2.2%2.2%持续持续1 1年。

43、请问此年。请问此5 5年内该地年内该地 平均储蓄年利率。平均储蓄年利率。 %43.103%100183935. 1 %100022. 103. 105. 1 5 15 . 25 . 115 . 25 . 1 G 率解：该地平均储蓄年利 四、众数和中位数四、众数和中位数 进行具体计算，找出众数点的标志值。进行具体计算，找出众数点的标志值。 4.4.计算公式：计算公式： 公式公式1 1上限公式：用众数所在组的上限为起点值计算上限公式：用众数所在组的上限为起点值计算 公式公式2 2下限公式：用众数所在组的下限为起点值计算下限公式：用众数所在组的下限为起点值计算 U U为众数所在组组距的上限，为众数所

44、在组组距的上限，L L为众数所在组组距的下限，为众数所在组组距的下限，f f 为众数所在组的次数，为众数所在组的次数，f-1 f-1 为众数所在组前一组次数，为众数所在组前一组次数， f+1 f+1 为众数所在组后一组次数，为众数所在组后一组次数，i i 为组距。为组距。 i )ff ()ff ( ff UM 11 1 o i )ff ()ff ( ff LM 11 1 o 例例 现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时间，现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时间， 得到资料如下表所示：得到资料如下表所示： 众数位于第三组众数位于第三组 L=800 U=1000 i=1000-800=200 244

45、-16183 244-15787 耐用时间耐用时间产品个数（个）产品个数（个） 600600以下以下8484 600-800600-800161161 800-1000800-1000244244 1000-12001000-1200157157 1200-14001200-14003636 14001400以上以上1818 合计合计700700 1 2 代入公式得：代入公式得： 1 0 12 1 12 83 800200 897.65 83 87 87 1000200 897.65 83 87 o MLi MUi （小时） 或者： （小时） 也可以作图求解众数也可以作图求解众数 0 50 1

46、00 150 200 250 300 600以下600-800800-1000 1000-1200 1200-1400 1400以上 耐用时间 产品个数 M M0 0=897.65=897.65 方法方法:即先画相邻三组次数分布直方图即先画相邻三组次数分布直方图,然后连接相邻两组次数差的然后连接相邻两组次数差的 对角线对角线,再以对角线的交点向再以对角线的交点向x轴引一条垂线轴引一条垂线,它与它与X轴的交点即为众数轴的交点即为众数. ( (二二) )中位数中位数 1 1、中位数：将总体单位的某一数量标志的各个、中位数：将总体单位的某一数量标志的各个 数值按照大小顺序排列，居于中间位置的那个数数

47、值按照大小顺序排列，居于中间位置的那个数 值就是中位数。值就是中位数。 2 2、计算方法、计算方法 1 1由未分组资料确定中位数由未分组资料确定中位数 排序：确定中位数位置排序：确定中位数位置 奇数：中间位置的标志值为中位数。奇数：中间位置的标志值为中位数。 偶数：中间位置相邻两个变量值的简单平均数偶数：中间位置相邻两个变量值的简单平均数 是中位数。是中位数。 2 1n Om 第一步：确定中位数所处位置，按 确定f为次数。 第二步：采用公式计算 上限法：用“以上累计法确定中位数。 下限法：用“以下累计法确定中位数。 其中：U是中位数所在组的上限，L是中位数所在组的下限，fm是中位数所 在组的次

48、数，Sm+1是中位数所在组后面各组累计数， Sm-1是中位数所在 组前面各组累计数，i是中位数所在组的组距。 2 f Om i f S 2 f UM m 1m e i f S 2 f LM m 1m e 例例 现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时间，现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时间， 得到资料如下表所示：得到资料如下表所示： 耐用时间产品个数累计次数 以下累计以上累计 600以下8484700 600-800161161245245（S Sm-1 m-1) ) 616616 800-1000244(fm)244(fm)489489455455 1000-12001571576466462

49、11 211 （S Sm+1 m+1) ) 12001400以上1870018 合计700 1 1 700 350 22 8001000 245 2 200886.07 244 211 2 200886.07 244 m m e m m e m f O f S MLi f f S MUi f 中位数位置： 中位数在第三组，即小时之间 代入公式得： 700 2 800+（小时） 700 2 1000-（小时） 五、计算和应用平均数的原那五、计算和应用平均数的原那 么么 一、只能在同质总体中计算。一、只能在同质总体中计算。 二、总平均数要与组平均数结合运用。二、总平均数要

50、与组平均数结合运用。 三、平均数必须同绝对数和具体事例结合应用。三、平均数必须同绝对数和具体事例结合应用。 众数众数 不受极端值影响不受极端值影响 具有不惟一性具有不惟一性 数据分布偏斜程度较大时应用数据分布偏斜程度较大时应用 中位数中位数 不受极端值影响不受极端值影响 数据分布偏斜程度较大时应用数据分布偏斜程度较大时应用 平均数平均数 易受极端值影响易受极端值影响 数学性质优良数学性质优良 数据对称分布或接近对称分布时应用数据对称分布或接近对称分布时应用 六、几种平均数的关系六、几种平均数的关系 一对称分布情况下一对称分布情况下 二偏态分布情况下二偏态分布情况下 三三者近似关系三三者近似关系

51、 0e xMM 0 0 e e MMx xMM 右偏分布： 左偏分布： 0 3() e MxxM 2.算术平均数、众数、中位数数值关系算术平均数、众数、中位数数值关系 众数、中位数和平均数的关系图示众数、中位数和平均数的关系图示 左偏分布左偏分布 均值均值 中位数中位数 众数众数 对称分布对称分布 均值均值= 中位数中位数= 众数众数 右偏分布右偏分布 众数众数 中位数中位数 均值均值 第四节第四节 变异度指标变异度指标 一、变异度指标的概念一、变异度指标的概念 变异度指标又称标志变动度指标，是综合反映变异度指标又称标志变动度指标，是综合反映 总体各单位标志值及其分布的差异程度的指标。总体各单

52、位标志值及其分布的差异程度的指标。 如：七个人的工资分别为：如：七个人的工资分别为：320320元，元，320320元，元，400400 元，元，400400元，元，500500元，元，500500元，元，20002000元。元。 平均工资为元平均指标平均工资为元平均指标 ，集中趋势，集中趋势 最高和最低之差为最高和最低之差为16801680元变异度指标，内部元变异度指标，内部 差异，离中趋势。差异，离中趋势。 1 1、衡量平均数代表性的大小、衡量平均数代表性的大小 变异度指标值与平均数的代表性大小成反比。变异度指标值与平均数的代表性大小成反比。 2 2、衡量现象变动的稳定性和均衡程度。、衡量

53、现象变动的稳定性和均衡程度。 变异度指标越小，现象变动的稳定性和均衡程变异度指标越小，现象变动的稳定性和均衡程 度越高度越高 3 3、计算抽样误差和确定样本容量的依据。、计算抽样误差和确定样本容量的依据。 三、变异度指标的种类三、变异度指标的种类 1 1、全距、全距 2 2、四分位差、四分位差 3 3、平均差、平均差 4 4、标准差、标准差 5 5、方差、方差 6 6、离散系数、离散系数 7 7、偏度、偏度 8 8、峰度、峰度 掌握它们的计 算、特点和适 用范围。 全距是总体各单位标志值中最大值与最小值之差， 又称极差。 全距全距 R=R=最大值最大值x xmax max最小值 最小值x xm

54、in min 优、缺点：计算简便，意义清楚，反映现象的差异 程度较粗略，实用价值甚小。 1 1、全距、全距 2 2、四分位差、四分位差Q Q 1 1四分位差是四分位数中间两个分位之差。四分位差是四分位数中间两个分位之差。 四分位差四分位差Q=Q=第三个四分位数第三个四分位数Q3Q3第一个四分位数第一个四分位数Q1Q1 2 2优缺：计算简单，意义清楚，反映现象的差异程度较粗优缺：计算简单，意义清楚，反映现象的差异程度较粗 略和不全面，实用价值甚小。略和不全面，实用价值甚小。 全距和四分位差均 只使用局部数据进 行计算。 3 3、平均差、平均差A.D.A.D. 1、平均差是总体各单位标志值对其算术平数的离差绝 对值的算术平均数。 平均差 简单式 加权式 2、 含义明确，计算也较简便，能充分、客观反映总体 各单位标志值之间的差异程度，但以绝对值为计算根 底不利于进一步的代数运算。 n xx DA . f fxx DA. 4 4、标准差和方差、标准差和方差 1 1标准差是总体各单位标志值对其算平均数离差标准差是总体各单位标志值对其算平均数离差 平方的算术平均数的平方根又称均方差或均方根平方