第03章刚体力学基础(转动定理新法)

1、任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化模型）。任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化模型）。刚体力学的研究方法刚体力学的研究方法刚体与一般质点系的区别刚体与一般质点系的区别质心质心ABABAB选哪个点来代表？选哪个点来代表？平动特点：平动特点：其上其上各个质点各个质点的运动状态完全相同，故的运动状态完全相同，故可用可用任意一点任意一点的运动代表刚体整体的运动。的运动代表刚体整体的运动。 通常用质心的运通常用质心的运动来代表整体的运动。动来代表整体的运动。21.1.平动：平动：在运动时，刚体上任意两点的连线方向在在运动时，刚体上任意两点的连线方向在各个时刻的位置始终保持平行。各个时刻的位

2、置始终保持平行。作平动的刚体可简化为质点作平动的刚体可简化为质点 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动动. 转动又分定轴转动和非定轴转动转动又分定轴转动和非定轴转动 . 刚体的一般运动刚体的一般运动 质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+o转轴ZimP P x适用于质点的圆周运动适用于质点的圆周运动通过一个共同的通过一个共同的角位移、角速度和角加速度角位移、角速度和角加速度 来描述刚体的转动来描述刚体的转动轴上所有各点都保持不动轴上所有各点都保持不动轴外所有各点都在轴外所有各点都在转动平面转动平面内做圆周运动内做圆周运动 ( (转心、半径）

3、转心、半径）t轴外所有各点在同一时间间隔轴外所有各点在同一时间间隔 内走过的弧长虽不同，但对转内走过的弧长虽不同，但对转心的位矢转过的角度都相等。心的位矢转过的角度都相等。(1) 角位置角位置定轴转动的运动方程定轴转动的运动方程(3) 角速度角速度(4) 角加速度角加速度单位：单位： 弧度弧度(rad)(2) 角位移角位移 )(t 22dtddtd w wb b 0limtt w w ()( )ttt6ddt 转轴转轴刚刚 体体参考参考方向方向xp 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向w定轴转动中角量与线量的基本关系定轴转动中角量与线量的基本关系ddSr ddddrSvrtt w w dddd

4、()rvartt w wb b222()nrvarrw ww w w wdSd OrP7wrv 2wbraran,2210ttbw，2210attvxxavv2202tbww0tavv0bwavx,bww2202wbamR15. 000wsnst/rev10,5 . 0R=1.26102 (rad/s2 ) N=2=2.5 (rev) n=2(1)解：解：（1）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；）飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；0,0wsrevnst/10,5.0=tn2t23.1410 0.51.26102(0.5)2 = 5 21t2=21t0wtbww0Rv= 0.151.

5、26103 =1.89102 (m/s) an2=R= 0.15(1.26103)2 =2.38105 (m/s2) =1.26103 (rad/s) at=R= 0.151.26102=18.9 (m/s2 )（2）从拉动后经）从拉动后经 t =10s时飞轮的角速度及轮边缘时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。上一点的速度和加速度。21026. 1bmR15. 0,=1.2610210t= + +Law of rotation on Rigid body with fixed-axisPz*OFdFrMsinMFrd : 力臂力臂d 刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在

6、刚体上点作用在刚体上点 P , 且在转动且在转动平面内平面内, 为由点为由点O 到力的到力的作用点作用点 P 的径矢的径矢 . FrFrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 F0,0iiMF0,0iiMFFFFF 一一 力矩力矩 M- 1. 力在转动平面内力在转动平面内( (与转轴垂直与转轴垂直）转动转动平面平面FM=rF=12rF)(+ 在定轴转动问题中，如不加说明，所指的力矩在定轴转动问题中，如不加说明，所指的力矩是指是指力在转动平面内的分力力在转动平面内的分力对转轴的力矩。对转轴的力矩。FrFF21F1rF+=21rrF=2rF转动转动平面平面FrFF21iiiFrMiF ir 合合力矩等

7、于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和3 刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jririjijFjiFdOijMjiM0jijjiijMMMOrmz二二 定轴转动定律定轴转动定律FFnFsinMrFrFFmamrb2eijjj jMMm rb 2）刚体刚体质量元受质量元受外外力力 ，内内力力jF外jF内M 1）单个质点单个质点 与转与转轴刚性连接轴刚性连接m外外力矩力矩内内力矩力矩2MmrbOzjmjrjF外jF内 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反

8、比 .2eijjjjjjMMm rb0jijjiijMMM2e(jjjjMm r)b 转动定律转动定律MIb2jjjIm r定义转动惯量定义转动惯量2dIrmOzjmjrjF外jF内在刚体运动中，转动定理的地位与质点运动中牛在刚体运动中，转动定理的地位与质点运动中牛顿第二定律相当。顿第二定律相当。注意：注意： 是对同一转轴的。是对同一转轴的。IM , ,b(1)质点：力质点：力F是产生是产生a的原因，的原因，m是物体惯性的量度是物体惯性的量度(2)刚体：力矩刚体：力矩M是产生是产生的原因，的原因，I是转动惯性的量度是转动惯性的量度,MFImabFma质点：质点：刚体：刚体：MIbIMb22,d

9、jjjIm rIrm例：轻杆上固定三质点，可绕例：轻杆上固定三质点，可绕 l 轴转动轴转动 a a 2a 1m2m3ml232221)2()()2(amamamIl 质量离散分布刚体的转动惯量质量离散分布刚体的转动惯量2221 12 2jjjIm rm rm r 质量连续分布刚体的转动惯量质量连续分布刚体的转动惯量2dIr m：质量元：质量元md2Ir dm（2）连续型）连续型原则：原则： （1 1）任取小质元任取小质元 dm dm 并并 写出其表达式写出其表达式（2 2）取）取 ， r r 是是dmdm到转轴的垂直距离。到转轴的垂直距离。dmrdI2（3 3）统一变量后积分统一变量后积分 2

10、Ir dmovdmrr转轴Z质量元质量元dm 的计算方法如下：的计算方法如下：ddml 质量为质量为线分布线分布ddmS 质量为质量为面分布面分布ddmV 质量为质量为体分布体分布线密度线密度面密度面密度体密度体密度lO O 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 rrmdd20dlIrrrd/223/21d12llIrrl231mlr22dddIrmrr 例例2 一一质量为质量为 、长为长为 的的均匀细长棒，求均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .mlrd2l2lO O2121ml如转

11、轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒例例3. . 求质量为求质量为m、半径为半径为R的均匀圆环的转动的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过环心。惯量。轴与圆环平面垂直并通过环心。解：解：d2IR m若若是半径为是半径为R的薄圆筒的薄圆筒（不计厚度不计厚度）结果如何？）结果如何？ORdmORd2Rm2ImR 在圆环上取质量元在圆环上取质量元dmdm结果形式不变！结果形式不变！d2Irm13OROR3402d2RIrrRr dr 例例4 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通的均匀圆盘，求通过盘中心过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量 .mR 解

12、解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环rrd2 Rm而而rrmd2d圆环质量圆环质量212ImR所以所以23dd2dIrmrr圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量2zcIImd212cImR2212zImRmR223mRzIcIzxyIII212ZImR214xyIImR2122xyxIIImRzyx竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？LRmm匀质薄圆盘匀质薄圆盘匀质细直棒匀质细直棒转轴通过中心垂直盘面转轴通过中心垂直盘面22J =mR123J =mL1转轴通

13、过端点与棒垂直转轴通过端点与棒垂直两个常用的结果两个常用的结果18 对（刚体对（刚体+ +质点）组成的系统，用隔离物体法质点）组成的系统，用隔离物体法 对刚体：力矩分析，用转动定律对刚体：力矩分析，用转动定律对质点：受力分析对质点：受力分析, , 用牛顿第二定律用牛顿第二定律辅助方程：线量与角量的关系辅助方程：线量与角量的关系 FmaMIbaRb例例1 1 薄圆盘质量为薄圆盘质量为M M，半径为，半径为R R，绳子绕在盘上，绳，绳子绕在盘上，绳子一端在接力作用下运动的加速度是子一端在接力作用下运动的加速度是a a，求拉力，求拉力F F。 aF由转动定理有由转动定理有21IMR2MFRIaM21

14、F 则得则得Raat盘边缘的切向加速度等于绳子下移的加速度，盘边缘的切向加速度等于绳子下移的加速度，例例2 2 已知：定滑轮质量为已知：定滑轮质量为M,M,半径为半径为R,R,视为刚体。视为刚体。求：求：m m的加速度的加速度a=?a=?解：解：选选M M为研究对象为研究对象221MRI 选选m m为研究对象为研究对象22mgRamRIbITR (1)(1)maTmg(2)(2)bRa (3)(3)联立方程联立方程(1)(1)、（、（2 2）、（）、（3 3）可得）可得例例 3 如图，如图，1m、2m、M、和、和R都已知，绳子与滑轮间无相对滑都已知，绳子与滑轮间无相对滑动，求动，求1m（2m）

15、的加速度。）的加速度。 2/,2212122111MRJRaJRTRTamgmTamTgmbb 2/)(2121Mmmgmma gm11Tgm22T1T2TMgQ解：解：1211112()/2mm gTm gmmmM1222212()/2mm gTm gmmmM12TT力力 的元功的元功力对转动刚体所作的功用力对转动刚体所作的功用力矩的功力矩的功来计算来计算若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，作的总功为作的总功为wMdtdMdtdAPwMP wMP FvP 0MdAxxFdxA0iizMMM合外0MdA思考思考: :sin2LMmg210sin2(1cos)2AMdLmgdLmg 重重力力

16、矩矩做做的的功功(1 cos )2cLAmghmg)cos1 (2Lhcch重重力力做做的的功功力矩做功实质上仍是力所做的功力矩做功实质上仍是力所做的功刚体中任一质元 的速率该质元的动能对所有质元的动能求和转动惯量 II得得三三 、定轴转动动能定理定轴转动动能定理 dtdIIMwbdtdw21dWM21222121wwII刚体定轴转动动能定理：刚体定轴转动动能定理： 12kkEEW 合外力矩的功合外力矩的功转动动能的增量转动动能的增量orFxox11, w22, w2211ddddIItwwww w外力矩作的总功从水平摆至垂直由得代入得本题利用的关系还可算出此时杆上各点的线速度水平位置静止释放

17、摆至垂直位置时杆的匀直细杆一端为轴这时，功能原理、机械能守恒定律仍然适用。这时，功能原理、机械能守恒定律仍然适用。机械外力非保守内力矩力力矩动势动势质点刚体质点刚体势CEEEpkcMghghmIvmciiii222121w势例例 1 如图，质量为如图，质量为 m，长为，长为的均匀细棒绕过的均匀细棒绕过 O 点的点的转轴自水平位置以零角速度自由下摆。转轴自水平位置以零角速度自由下摆。 （1）求细棒运）求细棒运动到与水平夹角为动到与水平夹角为 时的角加速度和角速度； （时的角加速度和角速度； （2） 此时） 此时细棒末端细棒末端 A 的速度和加速度。的速度和加速度。 gmgmsin21cos200

18、mgldlmgdMA2220)31(2121, 0wwmlJEEkk0kkEEAlg/sin3wlgdddtddddtd2cos3wwwwbwsin3gllvAwbsin32/cos32glaglangm若：系统若：系统00内非外，WW则：则： cMghghmIvmciiii222121w例例2 2 如图示，均匀直杆质量为如图示，均匀直杆质量为m m，长为，长为l l，初始水，初始水平静止。轴光滑，平静止。轴光滑， 求杆下摆到求杆下摆到 角时，角时，角速度角速度 4/ lAO ?w解解：取（杆取（杆+ +地球），只有重地球），只有重力作功，力作功，E E 守恒。守恒。 初态：初态： 末态：末态

19、： ，01 kE0 1PE令,2122wOkIE sin42lmgEP 则：则： （1 1） 0sin4212wlmgIO由平行轴定理由平行轴定理 2mdIICO有：有： （2）222487)4(121mllmmlIO(1)(1)、(2) (2) 解得：解得： lg7sin62 w w 一质量为一质量为M M，半径为，半径为R R的圆柱，可绕一无摩擦的的圆柱，可绕一无摩擦的水平轴水平轴O O转动。绳索一端在圆柱的边缘上，另一端悬挂转动。绳索一端在圆柱的边缘上，另一端悬挂质量为质量为m m的物体。问物体的物体。问物体m m由静止下落高度由静止下落高度h h时，其速度时，其速度为多大？设绳的质量可

20、以忽略，且绳不伸长。为多大？设绳的质量可以忽略，且绳不伸长。取取m末位置为重力势能零点，末位置为重力势能零点，221122mghmvIw代入代入2/,/2v RIMRw解得解得mMmghv22hTTmgM R忽略摩擦外力力矩非保守内力矩力对对m与圆盘分别应用动能定理与圆盘分别应用动能定理22001122TRdIIww解得解得mMmghv22hTTmgM R考虑到考虑到0020,0,/ ,/2vvRh R IMRww2022121)(mvmvhTmg外力对外力对m作功：作功：力矩对力矩对M作功：作功： angular momentum in rotation of a rigid body 回顾

21、: 质点的角动量质点的角动量xzyod=Lmvr=Lpp sinL=rm=vr sinLmrdprpL定义定义 大小大小: : 方向方向: : 右手法则右手法则单位单位: : kgkg m m2 2/s /s 或或 J J s s iiiivmrLiiiiiivmrLLiiiivmrL:大小iiiiiiirmrmrL2:ww大小wIL LI=o转轴ZvimirLzrirw()dLd IdIIMdtdtdtwwb 角动量定理：角动量定理：作用在刚体的合外力的冲量作用在刚体的合外力的冲量矩等于在作用时间内，刚体角动量的增量。矩等于在作用时间内，刚体角动量的增量。 21212211:dtttMtLL

22、IIww外冲量矩冲量矩 dtLdMwIL 00ttMdtIIww 0MLICw dtLdM 当刚体所受的合外力矩 等于零时， 刚体的角动量 保持不变。 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量. 守守 恒条件恒条件0M若若 不变，不变， 不变；若不变；若 变，变， 也变，但也变，但 不变不变.IwwwILI讨论讨论exinMM 在在冲击冲击等问题中等问题中L常量常量变小则变大，乘积保持不变，变大则变小。收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小变小则变大，乘积保持不变，变大则变小

23、。收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小花 样 滑 冰收臂大小张臂大小先使自己转动起来收臂大小2:mvdmdLIww质点或刚体ML合外力矩合外力矩总角动量总角动量共轴系统若外则恒矢量(1). (1). 如何求角动量？如何求角动量？ L角动量与转轴有关，与点有关。角动量与转轴有关，与点有关。认定转轴认定转轴取逆时针为转动取逆时针为转动“+”+”方向，有方向，有 碰前碰前: : 碰后碰后: : 011xmvLw)31(222MlxmvL例例: : 碰前后瞬时碰前后瞬时m m在点在点A A，设，设OAOA = = x x mxvLmvx(2).(2).角动量定理和角动量守恒定理解题步骤角动量定理和角动量守恒定理解题步骤 (1) (1) 隔离物体，受力分析隔离物体，受力分析 (2) (2) 认定转轴，建立坐标系，确定转动正方向。认定转轴，建立坐标系，确定转动正方向。 (4) (4) 分别写出系统在初、末态的总角动量。分别写出系统在初、末态的总角动量。 (5)(5)列方程，求结果。列方程，求结果。 (3) (3) 计算合